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---title: Démonstration du théorème de Gausspublished: falseroutable: falsevisible: false---
Gauss<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$$`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$$`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$$`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$$`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$$`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$
#### Quel est l'intérêt du théorème de Gauss intégral ?
* Le théorème de Gauss est un théorème très général.
* Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique.
* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :<br>$`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale.
* Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. <!--, et notamment les équations de Maxwell qui décrivent l'électromagnétisme.-->
* Il *permet de calculer les champs électrostatiques $`\overrightarrow{E}`$ et gravitationnels $`\overrightarrow{\Gamma}`$* lorsque les distributions de charge et de masse présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes.
#### Quels sont les concepts nécessaires pour comprendre le théorème de Gauss ?
* **Théorème** = *peut être démontré*.
* La démonstration nécessite de connaître les concepts de :<br>\- angle solide.<br>\- surface ouverte et surface fermée.<br>\- flux à travers une surface.<br>\- force centrale décroissante en $`1/r^2`$.<br>\- théorème de superposition.<br>\- divergence d'un champ vectoriel.<br>
#### Qu'est-ce qu'un angle solide ?
##### Que représente-t-il ?
* L’**angle solide** est une notion qui permet de définir et quantifier la *portion d’espace*<br>\- sous laquelle un observateur voit depuis un point O une surface S dans cet espace.<br>\- *contenue à l’intérieur d’un faisceau de demi-droites* d'origine $`O`$.
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##### Comment le définir ?
* L’angle solide $`\Omega`$ est défini comme la surface $`\Sigma`$ obtenue par projection de la surface $`S`$ sur la sphère de centre $`O`$ et de rayon $`R`$, divisé par le rayon $`R`$ élevé au carré.<br><br>**$`\mathbf{\Omega=\dfrac{\Sigma}{R^2}}`$**
* Ainsi exprimé, l’angle solide est une *grandeur physique sans dimension*. La valeur numérique de l’angle solide ainsi obtenue est l’angle solide exprimé en *stéradian (sr)*.
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##### Comment le calculer en pratique ?
*Angle solide élémentaire $`d\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface élémentaire orientée $`\overrightarrow{dS}`$ de l’espace sont donnés, alors : <br><br>**$`\displaystyle\mathbf{d\Omega=\dfrac{|\,\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}\,|}{OM^3}}\quad`$**,avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$
* **En notation algébrique**, l'angle solide élémentaire peut être positif ou négatif :<br><br>**$`\displaystyle\mathbf{d\Omega=\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}}\quad`$**,avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$<br>Lorsque la surface est ouverte, deux sens sont possibles pour l’orientation des $`\overrightarrow{dS}`$, qui conditionnent le signe de l’angle solide.
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*Angle solide $`\Omega`$*
* Si le point $`O`$ et une surface orientée $`S`$ de l’espace sont donnés, alors : <br><br>**$`\displaystyle\mathbf{\Omega=\iint d\Omega=\iint_S \dfrac{|\,\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}\,|}{OM^3}}\quad`$**,avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$
* **En notation algébrique**, l'angle solide peut être positif ou négatif :<br><br>**$`\displaystyle\mathbf{\Omega=\iint d\Omega=\iint_S \dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}}\quad`$**,avec $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$<br>
#### Qu'est-ce qu'une surface ouverte ou fermée ?
* **surface fermée** : *frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur*.<br>$`\Longrightarrow`$ par convention :<br>\- les éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** sont **orientés de l'intérieur vers l'extérieur**.<br>\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le **symbole $`\oiint_S...\,dS`$**
* **surface ouverte** : *n'est pas la frontière d'un volume*.<br>$`\Longrightarrow`$ :<br>\- l'*orientation* des éléments vectoriels de surface **$`\overrightarrow{dS}`$** doit être choisie parmi les **deux sens possibles**.<br>\- l'*intégration* sur une surface fermée utilise le symbole **$`\displaystyle\iint_S...\,dS`$**.
#### Qu'est-ce que le flux d'un champ vectoriel à travers une surface ?
##### Flux élémentaire d'un champ vectoriel
* Le **flux élémentaire $`d\Phi_X`$** d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ est le flux de $`\overrightarrow{X}`$ à travers un élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{dS}`$.
* Par définition, $`d\Phi_X`$ est le *produit scalaire $`\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$* : **$`\mathbf{d\Phi_X=\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$** ---  ---
##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface
* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$
* flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
* flux à travers une *surface fermée* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**.
#### Qu'est-ce qu'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
* **Force centrale** : force d'interaction à distance, toujours *dirigée en direction de sa source élémentaire*.<br> (élémentaire = considérée comme °ponctuelle* à l'échellle d'observation).
* **Force décroissante en $`1/r^2`$** : force d'interaction à distance, dont *l'intensité décroit comme le carré de la distance* à sa source ponctuelle.
* **Expression générale** *d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$* :<br><br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}\quad`$**, avec :<br><br>\- $`O`$ : point où se situe la source élémentaire.<br>\- $`x`$ : grandeur physique qui caractérise la sensibilité de la source élémentaire à l'interaction X.<br>\- $`M`$ : point où est exprimé le champ de la force.<br>\- $`K`$ : constante réelle qui dépend du système d'unités.<br>\- $`OM=||\overrightarrow{OM}||`$.<br><br>et *dans le repère sphérique $`(O,\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$* :<br><br>**$`\mathbf{\overrightarrow{X}=K\cdot\dfrac{x}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}}\quad`$**<br>avec $`r=OM\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM}`$.
!!! Exemples de champs de force centrale décroissantes en $`1/r^2`$ :<br>!!! \- champ gravitationnel : $`\overrightarrow{\Gamma}=-\,G\cdot\dfrac{m}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}`$.<br>!!! \- champ électrostatique : $`\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\;\dfrac{q}{r^2}\cdot\overrightarrow{e_r}`$.<br>!!! <details markdown=1>!!! <summary>!!! Plus d'information sur ces deux expressions!!! </summary>!!! Sont données en coordonnées sphériques :<br>!!! \-expression du champ gravitationnel créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de masse $`m`$ située en !!! $`O`$, G est la constante universelle de gravitation.<br>!!! \-expression du champ électrique créé à une distance $`r`$ d'une source élémentaire de charge électrique $`q`$ immobile en $`O`$, $`\varepsilon_0`$ est la permittivité électrique du vide, encore appelée constante électrique.!!! </details>
#### Quelle propriété particulière possède le flux d'un champ de force centrale décroissante en $`1/r^2`$ ?
Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée
##### Expression du flux élémentaire
* $`d\Phi_X=\overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\quad=\left(K\cdot x\cdot\dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}\right)\cdot\overrightarrow{dS}`$$`\quad=K\cdot x\cdot\left(\dfrac{\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{dS}}{OM^3}\right)`$<br>**$`\mathbf{d\Phi_X=K\cdot x\cdot d\Omega}`$**
##### La surface fermée ne contient pas la source ponctuelle du champ
* Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois .
* Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
* Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,<br>dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$<br><br>$`\Longrightarrow`$**$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$
* *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br><br>**$`\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$**
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##### La surface fermée contient la source ponctuelle du champ
* Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois .
* Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues.
* $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :<br><br>$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**,avec $`d\Phi_{\Delta}>0\;\Longleftrightarrow\;x>0`$.
* Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient la source de $`X`$ est égal à :<br>$`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\cdot x\cdot d\Omega`$
* Depuis le point $`O`$ situé à l'intérieur de la surface fermée $`S`$, l'angle solide $`\Omega_S`$ sous lequel est vue $`S`$ est de $`4\pi`$ stéradians : $`\Omega_S=2\pi\;\text{sr}`$
* *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui contient pas la source de $`X`$ est nul* :<br><br>**$`\mathbf{\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\,x}`$**
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#### Qu'est-ce que le théorème de superposition ?
* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. * $`\Longrightarrow`$ :<br>\- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.<br>\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.<br>
##### La surface fermée ne contient une distribution de sources
#### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ?
##### L'interaction électrostatique
* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique).
* La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**.
* La **force d'interaction électrostatique** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce une particule de charge $`q_1`$ immobile en $`M_1`$ sur une autre particule de charge $`q_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\,q_2\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}}`$**<br>C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
* Cette force se réécrit :<br>$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=q_2\cdot \overrightarrow{E_{1,M_2}}`$<br>où $`\overrightarrow{E_{1,M_2}}`$ est le champ électrostatique créé par la particule immobile en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>$`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $`q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ?
* L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile.
* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement.
##### Le théorème de Gauss en électrostatique
* Soit une *distribution de charges maintenues immobiles* dans l'espace.
* **Théorème de Gauss** :<br>Le flux $`\Phi_E`$ du vecteur champ électrique à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espaceest égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$.<br><br>**$`\mathbf{\Phi_E=\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$**
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#### Que dit le théorème de Gauss intégral en gravitation ?
##### L'interaction gravitationnelle
* La **masse**, de symbole **$`m`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction gravitationnelle*.
* La masse $`m`$ de la matière est *toujours positive*.
* La **force d'interaction gravitationnelle de Newton** $`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}`$ qu'exerce un corps de masse $`m_1`$ en $`M_1`$ sur un autre corps de masse $`m_2`$ située en $`M_2`$ s'écrit :<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=-\;G\cdot m_1\,m_2\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}}`$**<br>où $`G`$ est la constante universelle de la gravitation.<br>C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique.
* Cette force se réécrit :<br>$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$<br>où $`\overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :<br>$`\overrightarrow{\Gamma}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$<br>C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$.
* Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $`m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :<br>**$`\mathbf{\overrightarrow{\Gamma}=-\;G\cdot m\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$**
##### Théorème de Gauss en gravitation
* Soit une *distribution de masses* dans l'espace.
* **Théorème de Gauss** :<br>Le flux $`\Phi_{\Gamma}`$ du vecteur champ de gravitation à travers toute *surface fermée $`S`$* de l'espaceest égal à la *masse totale $`m_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* multiplié par $`4\pi\,G`$, où $`G`$ est la constante la constante universelle de la gravitation.<br><br>**$`\mathbf{\Phi_{\Gamma}=\oiint_S \overrightarrow{\Gamma}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\;G\;m_{int}}`$**
#### Quelle est l'utilité du théorème de Gauss intégral ?
#### Comment dois-tu l'utiliser ?
#### Pourquoi le théorème de Gauss intégral est-il insuffisant ?
<br>_Champ électrique créé par 3 charges ponctuelles immobiles situées dans plan de représentation du champélectrostatique._
* Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points ou les lignes de champ électrique convergent ou divergent, qui localisent *les causes du champ électrostatique* dans le plan d'observation.
* Le **théorème de Gauss intégral** précise, lors d'un flux non nul du champ électrostatiqueà travers une surface fermée, la somme totale des charges contenues à l'origine de ce flux, mais *ne permet pas la localisation précise des charges* du champ électrostatique.
* Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ électrostatiqueà sa cause élémentaire locale*.
#### Une idée pour relier une propriété locale du champ électrostatique à sa cause ?
* Dans la **démonstration du théorème de gauss** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée* pour le choix de la surface fermée de Gauss, et donc du volume intérieur qu'elle définit.
* $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre la surface fermée vers une**surface fermée mésoscopique qui entoure chaque point** de résolution de l'espace, le *flux* ainsi calculé sera une *propriété locale du champ*.
* $`\Longrightarrow`$ idée 2 : la *charge déduite du théorème de Gauss* est la charge **située à l'intérieur du volume mésoscopique** délimité par cette surface de Gauss, c'est ainsi une charge *locale*.
* Cette idée est à la **base de la notion de divergence** d'un champ vectoriel.
#### Comment est définie la divergence de E ?
* Soit $`dS`$ un élément de surface fermée qui délimite un élement de volume $`d\tau`$ contenu dans un voisinage de tout point de l'espace.<br><br>La **divergence de $`\overrightarrow{E}`$**, *définie en tout point de l'espace*, est le flux $`d\Phi_E`$ de $`\overrightarrow{E}`$ à travers $`dS`$, divisé par le volume $`d\tau`$ :<br><br>**$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\displaystyle \lim_{\tau\leftrightarrow 0 \\ \tau \leftrightarrow S} \dfrac{\displaystyle\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}}{\displaystyle\iiint_{\tau} d\tau}=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**
* $`\Longrightarrow\quad d\Phi_E=div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau`$.
#### Que représente-t-elle ?
La champ de divergence de E est un **champ scalaire** : $`div\;\overrightarrow{E}\in\mathbb{R}`$
* Le **valeur absolue de la divergence $`\mathbf{|\,div\;\overrightarrow{E}\,|}`$** indique l'*intensité du champ $`\overrightarrow{E}`$* ce point.<br>( $`div\;\overrightarrow{E}=0`$ indique un champ qui ne converge ni ne diverge en ce point)
* Le **signe de $`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}}`$** indique si la *vergence du champ $`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$* en ce point.<br>\- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}<0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ diverge*.<br>\- **$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}>0}`$**$`\quad\Longleftrightarrow\quad`$ le champ *$`\mathbf{\overrightarrow{E}}`$ converge*.<br>
#### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ?
à terminer
#### Comment visualiser et mémoriser le théorème d'Ostrogradsky-Green ?
à terminer
* **Théorème de Green-Ostrogradsky**<br>= théorème de la divergence :<br>**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \tau}\overrightarrow{E}\cdot dS}`$**
#### Que devient le théorème de Gauss exprimé localement ?
#### Quelle est l'utilité du théorème de Gauss local ?
#### Comment dois-tu l'utiliser ?
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