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title : electromagnetism-
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### Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique
en tout point de l'espace.


$`div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}`$

$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$

$`div \overrightarrow{B} = 0`$

$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$

$`\rho`$ est la densité volumique de charge totale. 
$`\overrightarrow{j}`$ est la densité volumique de courant totale. 

! Note : 
! $`\rho`$ est la densité volumique de charge totale

de solution


### Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel


$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$

de solution générale ...


### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")

$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
<br><br>

* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$

La reconstruction de 
$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
donne :

$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$

ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :

$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$