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---title: Definir las herramientas matemáticas de nivel 3 : proposición 1 published: trueroutable: truevisible: falselessons: - slug: define-234-mathematical-tools-p1 order: 2---
<!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$
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#### Proposición 1
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#### Definir las herramientas matemáticas necesarias para el nivel 3
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Por ahora, solo una **lista de necesidades en una primera clasificación** para organizar un poco la lluvia de ideas (conjuntos y logica, geometría, etc.). *No presagia títulos de capítulos*.
No presagia el programa de matemáticas, pero **permitirá de definir un programa de "herramientas matemáticas y conceptos físicos"**, que se construirá con los matemáticos.
Este tema "Herramientas matemáticas" será necesario, ya que será *común a todos los temas de las ciencias experimentales*. Cuando se utilizará una herramienta o concepto en el curso de un tema en particular, siempre será posible mostrar elementos de "Herramientas matemáticas" en modo paralelo.
No dude en crear una nueva clasificación si es necesario.
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Las *herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2* **$`+`$** :
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NUNMERACION, OPERACIONES Y FUNCIONES COMUNES ------------------------------------------------------------------------------->! *Numeración, operaciones y funciones comunes *
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
* número imaginario **$`i`$** Conjunto de los números imaginarios puros *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** Conjunto de los números complejos $`\mathbb{C}`$ : **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, con **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** y **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$**
* función potencia $`y^x`$ * funcion exponencial **$`e^x`$** Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** <br> y unciones hiperbólicas **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}`$** **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$** **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}`$** **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$**
* **$`e^0=1 \quad , \quad`$****$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$****$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ...
* función logaritmo **$`log_p\,x`$** propiedades de la función de registro, incluyendo la transformación de un producto en una suma : **$`log_p\,xy=log_p\,x+log_p\,y`$** función logaritmo **$`log_{10}\,x`$** en relación con la función potencia $`10^x`$ función logaritmo natural **$`Log\,x=ln\,x`$** en relación con $`exp(x)=e^x`$
* notaciones reales y notación compleja : **$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$****$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** **$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$**
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CONJUNTOS Y LÓGICA------------------------------------------------------------------------------->! *Conjuntos y lógica*
por hacer
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GEOMETRÍA Y COORDENADAS------------------------------------------------------------------------------->! *Geometría y coordenadas*
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
* Regla de *orientación del espacio* Sistemas de coordenadas, bases y r??? *directos o indirectos*
* *Coordenadas, bases vectoriales y ??? asociados* Bases y ???, *ortogonales, normalizadas, ortonormales, directos e indirectos*
* *Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas* * con *??? y bases asociadas* * *elementos infinitesimales* de longitud, área, volumen * expresiones de *operadores **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** * *matriz de cambio de base ortonormal directo*: * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$**
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VECTORES, OPERADORES Y ANÁLISIS VECTORIAL------------------------------------------------------------------------------->! *Vectores y operadores, análisis de vectores*
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
*En una base euclidiana (3D)*:
* Producto escalar **$`\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}`$*** Producto vectorial **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ )* Producto mixto **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$**
* Operadores **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** y **$`\overrightarrow{rot}`$** (notación $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) y notación con nabla (coordenadas cartesianas) : **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$**
* Operador escalar laplaciano (coordenadas cartesianas) **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$**
* Operador escalar de Alembert (coordenadas cartesianas)* **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (para las ondas)
* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, en relación con $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$
* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, en relación con $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$
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MATRICES------------------------------------------------------------------------------->! *Matrices*
(CME-FR) Buen dominio, con ejercicios de automatización.
* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$*** Suma de matrices **$`(n,m) + (n,m)`$*** Producto de matrices **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$*** Matriz transpuesta de una matriz cuadrada* Cálculo matricial* Determinante de una matriz cuadrada: **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$**
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FUNCIONES - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL------------------------------------------------------------------------------->! *Funciones - Cálculo diferencial e integral*
(CME-FR)
* Pasaje de la notación $`f'(x_0)`$ a **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** Pasaje de la notación $`f'(x)`$ a **$`\dfrac{df}{dx}`$** ... de $`f^{(n)}(x_0)`$ a **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** de $`f^{(n)}(x)`$ a **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$**
* función derivada y función primitiva.
* integral simple * indefinida **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** * definida **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$**
* integral múltiple (variables independientes) * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** * **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$**
* diferencia entre : * **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$**
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ÉCUACIONES------------------------------------------------------------------------------->! *Ecuaciones*
(CME-FR)
*Resolución de sistemas de ecuaciones lineales* por *método de la Matriz*
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ECUACIONES DIFERENCIALES------------------------------------------------------------------------------->! Ecuaciones diferenciales*
* ecuaciones diferenciales lineales de orden 1 (para el concepto de constante de tiempo, carga y descarga de un condensador) * por ejemplo : $`x(t)`$ es una función del tiempo**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0`$** (la o las notaciones utilizadas no estan definidas aquí) * luego con el segundo miembro sinusoidal **$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c`$**
* ecuaciones diferenciales lineales de orden 2 (para el estudio de osciladores mecánicos o eléctricos) * por ejemplo : $`x(t)`$ es una función del tiempo **$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0`$** (la o las notaciones utilizadas no estan definidas aquí) * luego con el segundo miembro sinusoidal **$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)`$**
* la ecuación de onda **$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$**
* Sistema de orden 1 y dimensión 2 (un primer acercamiento a la dinámica poblacional o un curso transversal sobre sistemas) * **$`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.`$** con, por ejemplo, el modelo depredador-presa de Lotka-Volterra : $`f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy`$ et $`f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy`$ (¿en este nivel 3?)
* **saber poner una situación en forma de sistema de ecuaciones diferenciales**, aunque *no esté resuelto*.
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AUTRES------------------------------------------------------------------------------->
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