courses/12.temporary_ins/90.electromagnetism-in-vacuum/20.electromagnetic-waves-vacuum/10.main/textbook.fr.md

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title : electromagnetic-waves-in-vacuum
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<!--non, je n'oublie pas que l'enseignement sera sur 4 niveau, et qu'il s'adressera
à tous dans un niveau de base, et qu'ils pourront progresser dans les matières de leurs
choix dans les niveaux supérieurs. Mais là, je dois aller au plus urgent.
De toute façon, tout ce que je fais (cours comme structuration du cursus va être remanier dans les équipes, et avec nos partenaires
latino-américains. Mais au moins on ne partira pas de rien, équations, exemples de figures,
seront là pour être utilisés, ou remaniés et modifiés. -->

## Propagation du champ électromagnétique dans le vide.

### Equations de Maxwell

Tout point M de l'espace peut être repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OM}`$, O étant un point fixe de l'espace pris comme origine. Tout instant peut être daté dans le temps par un nombre réel t, par rapport à une date (t=0) prise comme origine des temps.

Les équations de Maxwell locales précisent les propriétés du champ électromagnétique
$`[\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t), \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)]`$ créé en tout point M de l'espace et à tout instant t par une distribution continue de charge et de courant $`[\rho(\overrightarrow{r},t), \overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t)]`$.

Les 4 équations de Maxwell sont :

* $`div \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t) = \dfrac{\rho(\overrightarrow{r},t)}{\epsilon_0}`$

* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t) = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}`$

* $`div \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t) = 0`$

* $`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t) = \mu_0\;\overrightarrow{j}(\overrightarrow{r},t) +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)}{\partial t}`$


### Rappel sur le phénomène de propagation dans l'espace et le temps

Soit une grandeur physique (scalaire ou vectorielle) représentée par un fonction continue de l'espace et du temps (donc un champ scalaire ou un champ vectoriel dépendant du temps).

Un grandeur physique se propage librement dans l'espace et le temps si aucun phénomène physique localisé dans l'espace et le temps ne vient atténuer ou amplifier, dévier ou disperser sa propagation. 

Le phénomène de propagation d'une grandeur physique qui se déplace librement  à travers l'espace et le temps, est décrit mathématiquement par l'équation d'onde simple. 

L'équation d'onde simple permet de calculer la valeur de la grandeur physique en tout point M de l'espace et à tout instant t.

#### équation d'onde simple

Pour un champ scalaire $`f(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :

$`\Delta f(\overrightarrow{r},t) - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;f(\overrightarrow{r},t)}{\partial\; t^2}=0`$

<!--$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$-->

La solution générale s'écrit :

$`f(\overrightarrow{r},t)=\sum_i f_i(\overrightarrow{u_i}.\overrightarrow{r}-v.t)`$

Elle décrit une superposition d'ondes $`f_i`$ qui se déplacent dans les directions en sens représentées par 
les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{u_i}`$ à la même vitesse $`v`$ (l'espace vide étant homogène et isotrope).



**Pour un champ vectoriel** $`\overrightarrow{r}(\overrightarrow{r},t)`$, l'équation d'onde simple est :

$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v^2} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$

L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :

$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$


### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 

L'idée est de calculer pour chacun des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{E}`$ 
l'expression de son Laplacien, pour voir si une identification avec l'équation d'onde est
réalisée.

Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
de Maxwell :


*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
<br><br>
En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
je peux écrire :
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
<br><br>
$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
<br><br>

* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$

La reconstruction de 
$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
donne :

$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$

ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :

$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$


Une étude de forme identique (proposée en autotest dans la partie beyond) me conduirait 
pour le champ magnétique  $`\overrightarrow{B}`$ à l'équation de propagation :

$`\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
{\partial t^2}=-\mu_0\;\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{j}`$

### Propagation du champ électromagnétique dans le vide

L'espace vide, localisé en dehors des charges et des courants localisés qui sont
à l'origine du champ électromagnétique, densités volumiques de charges et de courants
sont nulles :

$`\rho=0`$  et  $`\overrightarrow{j}=\overrightarrow{0}`$

Le champ électromagnétique vérifie les deux équations d'onde :

$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = 0 \hspace{1cm}`$
et $`\hspace{1cm}\Delta \overrightarrow{B}-\epsilon_0\mu_0\;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{B}}
{\partial t^2}=0`$

L'identification avec l'équation d'onde simple 

$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$

me dit que les champs électrique et magnétique se propagent simultanément dans l'espace vide
à la vitesse $`v`$ telle que :

$`\dfrac{1}{v_{\phi}}=\mu_0 \epsilon_0`$, soit $`v_{\phi}=\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}`$

La constante électrique (permittivité absolue du vide) $`\epsilon_0`$, constante magnétique
(perméabilité absolue du vide) $`\mu_0`$   et vitesse de la lumière dans le vide $`c`$ sont liées par la relation :

$`\epsilon_0\;\mu_0\;c^2=1`$

Ainsi j'obtiens un résultat fondamental qui va révolutionner toute la physique classique
dans tous ses aspects, hors (mais hors dans un premier temps seulement) son aspect gravitationnelle
décrit par les 3 lois de Newton :

**Dans le vide, le champ électromagnétique se propage librement à la vitesse de la lumière $`c`$**.

<!--!! AU-DELÀ :
!! Ecrire une petite note historique ici... Premières mesures un peu précises de la vitesse
de la lumière.. Maxwell remarque que les mesures expérimentales de l'époque montrent que $`\epsilon_0\;\mu_0\;c^2\simeq 1`$,
il fait l'hypothèse que $`\epsilon_0\;\mu_0\;c^2=1`$, puis par identification que la lumière
est une onde électromagnétique. .... autre, beaucoup de choses à dire là; Un minimum ici, et beaucoup
plus dans la partie de cours BEYOND.-->

### Structure et propriétés de l'onde électromagnétique plane progressive monochromatique

#### Front d'onde

J'appele **front d'onde** toute surface *continue de l'espace*, si elle existe, sur 
laquelle le **champ électromagnétique $`[\,\overrightarrow{E}\,;\,\overrightarrow{B}\;]`$
est identique en chacun de ses points, à tout instant donné*.

Dans les *cas simples*, une **onde électromagnétique** est dite :
* **sphérique**, lorsque ses *fronts d'onde sont des portions de sphères* centrées sur un même point source
* **parabolique**, lorsque ses *fronts d'onde sont des portions de paraboles*
* **plane**, lorsque ses *fronts d'onde sont des plans* parallèles entre eux.

<!--sera une remarque-->
Note : L'onde électromagnétique émise dans un milieu homogène et isotrope comme le vide
par une source quasi-ponctuelle est souvent décrite comme une onde sphérique, la 
source de l'onde étant au centre des fronts d'onde sphériques concentriques successifs.
A moyenne distance $`d`$ d'une telle source ponctuelle observée à travers une surface 
de dimension caractéristique $`a`$ petite devant $`d`$ , l'onde est souvent décrite comme
une onde parabolique. A très grande distance de la source, l'approximation de l'onde plane
 est réaliste (les fronts d'onde sont des plans parallèles à la direction de propagation).
Ainsi l'onde électromagnétique émise par le soleil peut être considérée comme une onde plane
lorsqu'elle atteint la Terre.

#### Onde électromagnétique (EM)

Une **onde électromagnétique (onde EM)** se reconnait parce que ses *champs $`\overrightarrow{E}`$ 
et $`\overrightarrow{B}`$  vérifient les équations de Maxwell*.

#### Onde EM plane

Une **onde EM plane** est une *onde EM caractérisée par une direction* représentée par un vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$,
telle que *tout plan perpendiculaire à cette direction est un front d'onde* de l'onde plane.

 
---------------------------
Propriétés de l'onde EM plane :

* Les vecteurs **champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ et champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$** sont *perpendiculaires 
à la direction de propagation* représentée par un vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$ : le **champ électromagnétique $`[\,\overrightarrow{E}\,;\,\overrightarrow{B}\;]`$** 
est dit *transverse*.

--------------------------

#### Onde EM plane progressive

<!--Les coordonnées spatiales de tout point M de l'espace sont les composantes du vecteur position 
$`\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OM}`$ dans un repère de l'espace donné, d'origine O.

Une **onde EM plane** est **progressive** si les *coordonnées d'espace* contenues dans l'espression du vecteur  
$`\overrightarrow{r}`$ *et de temps sont couplées* dans l'expression des composantes des champs $`\overrightarrow{E}`$ 
et $`\overrightarrow{B}`$ *selon la forme :* **$`\pm\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}\pm\,c\,t`$**, où 
$`\overrightarrow{u}`$ est le vecteur caractérisant la direction de l'onde.

Dans un repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$,
les 6 composantes des champs $`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$ d'une 
onde EM plane progressive s'écrivent :

$`\left|
   \begin{array}{r c l}
      E_x=
      \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}(\pm\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}\pm ct) \\
      \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{B}(\pm\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}\pm ct) \\
   \end{array}
   \right`$.

<!--à modifier, c'est faux là $`\Longleftrightarrow 
\left|
   \begin{array}{r c l}
      \overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}(\pm\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}\pm ct) \\
      \overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{B}(\pm\,\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}\pm ct) \\
   \end{array}
   \right.`$

Si la direction de propagation de l'onde est donnée par le vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$,
le **sens de propagation** est *donné par les signes qui précèdent les termes 
$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}`$ et $`ct`$* :

* Si les **signes** sont **opposés**, l'onde se propage en *direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{u}`$*.

* Si les **signes** sont **identiques**, l'onde se propage en *direction, mais sens inverse du vecteur $`\overrightarrow{u}`$*.

Il m'est toujours possible de choisir une repère cartésien de l'espace dont l'un 
vecteur de base est la direction de l'onde plane progressive. Si je choisis un 
repère cartésien de l'espace $`(O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$
tel que $`\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{u}`$, alors pour tout point M de
l'espace repéré par le vecteur 
$`\overrightarrow{r}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ :

$`\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{r}=(1\;\overrightarrow{e_z})\cdot(x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z})= z`$

et le champ électromagnétique de cette onde EM s'écrit sous la forme simple :

$`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}(\pm z \pm ct)\quad`$
 et $`\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{B}(\pm z \pm ct)\quad`$

* $`\overrightarrow{E}(+z-ct)`$ ou $`\overrightarrow{E}(-z+ct)`$ indique une onde 
progressive qui se déplace vers les $`z`$ croissants.

* $`\overrightarrow{E}(+z+ct)`$ ou $`\overrightarrow{E}(-z-ct)`$ indique une onde 
progressive qui se déplace vers les $`z`$ décroissants.-->

---------------------------
Propriétés de l'onde EM plane progressive dans le vide :

* **$`\overrightarrow{u}\land\overrightarrow{E}=c\overrightarrow{B}`$**

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow`$ l'OPP EM est transverse.

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow (\overrightarrow{k},\overrightarrow{E},\overrightarrow{B})`$ forment un trièdre direct.

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow ||\overrightarrow{B}||=\dfrac{||\overrightarrow{E}||}{c}`$

--------------------------

#### Onde EM plane progressive monochromatique (OPPM)

Une **onde EM plane progressive** est **monochromatique** si les champs électrique et magnétique
*$`\overrightarrow{E}`$ et $`\overrightarrow{B}`$* sont
des *fonctions sinusoïdales de l'espace et du temps*.

Terminologie :<br>
**monochromatique = harmonique = sinusoïdal**


Les **grandeurs fondamentales** décrivant l'OPPM (grandeurs *indépendantes du milieu de propagation*)
sont les grandeurs temporelles équivalentes suivantes :

* La **période temporelle $`T`$**, souvent appelée "période" et exprimée **en $`s`$** dans le SI, 
est la *durée entre deux phases identiques successives* de l'onde en un point de l'espace.

* La **fréquence temporelle $`\nu`$**, souvent appelée "fréquence" et exprimée **en $`Hz=s^{-1}`$** 
dans le SI, est le *nombre de période temporelle $`T`$ par unité de temps* (la seconde
dans le SI)

* La **pulsation $`\omega`$**, exprimée **en $`rad.s^{-1}`$** dans le SI, est liée à la 
fréquence temporelle par la relation *$`\omega=2\,\pi\;\nu`$*

Les **grandeurs non fondamentales** décrivant l'OPPM (grandeurs qui varieront
selon le milieu de propagation) sont les grandeurs spatiales équivalentes suivantes :

* la **vitesse de phase $`v_{\phi}`$** exprimée **en $`m.s^{-1}`$** dans le SI est la vitesse
à laquelle un front d'onde de phase donnée se propage dans l'espace.<br>
La *vitesse de phase de l'onde électromagnétique dans le vide* est une **grandeur fondamentale**
de la nature, c'est la **vitesse de la lumière** dans le vide, notée c et de valeur 
exacte **$`c=299\,792\,458\;m\,s^{-1}`$**. La vitesse c de propagation de la lumière dans le vide
est indépendante de l'état de mouvement de l'observateur (contredisant l'intuition classique)

* la **longueur d'onde $`\lambda=v\,T=\dfrac{v}{\nu}`$** exprimée **en $`m`$** dans le SI, 
est la période spatiale de l'onde : distance entre deux fronts d'onde successifs de même phase, mesurée
dans la direction de propagation.<br>
Pour l'onde électromagnétique dans le vide, $`\lambda=c\,T=\dfrac{c}{\nu}`$

* le **vecteur d'onde $`\overrightarrow{k}=||k||\;\overrightarrow{u}=\dfrac{\omega}{c}\;\overrightarrow{u}`$** <br>
où *$`\overrightarrow{u}`$* est le vecteur unitaire qui *indique la direction ET le 
sens de propagation* de l'onde,<br> et *$`k`$*$`=||k||`$ est le 
*nombre d'onde*, exprimé *en $`\;rad.m^{-1}\;`$* dans le SI.

---------------------------
Propriétés de l'onde EM plane progressive monochromatique dans le vide :

* **$`\overrightarrow{k}\land\overrightarrow{E}=\omega\overrightarrow{B}`$**

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow`$ l'OPPM EM est transverse.

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow (\overrightarrow{k},\overrightarrow{E},\overrightarrow{B})`$ forment un trièdre direct.

$`\hspace{0.6cm}\Longrightarrow ||\overrightarrow{B}||=\dfrac{k}{\omega}\,||\overrightarrow{E}||=\dfrac{||\overrightarrow{E}||}{c}`$

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L'**écriture générale** d'une onde EM plane progressive monochromatique,
dans un repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ 
quelconque de l'espace, est :

* pour le champ électrique :

$`\hspace{0.6cm}\overrightarrow{E}=\left|
   \begin{array}{l}
      E_x=E_0x\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_x)\\
      E_y=E_0y\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_y)\\
      E_z=E_0z\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_z)\\
   \end{array}
   \right.`$

* pour le champ magnétique :

$`\hspace{0.6cm}\overrightarrow{B}=\left|
   \begin{array}{l}
      B_x=B_0x\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_x)\\
      B_y=B_0y\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_y)\\
      B_z=B_0z\cdot cos(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t+\phi_z)\\
   \end{array}
   \right.`$
   
Si je connais l'un des champs ($`\overrightarrow{E}`$ ou $`\overrightarrow{B}`$), l'autre est
totalement déterminé par les équations de Maxwell, ou plus simplement par la propriété de 
l'OPPM, $`\overrightarrow{k}\land\overrightarrow{E}=\omega\;\overrightarrow{E}`$, donc l'OPPM
est spécifiée par la seule donnée de son champ électrique.

Si l'OPPM se propage en direction et sens de l'un des vecteurs de base, par exemple le vecteur
$`\overrightarrow{e_z}`$, alors l'écriture de l'OPPM se simplifie :

$`\hspace{0.6cm}\overrightarrow{E}=\left|
   \begin{array}{l}
      E_x=E_0x\cdot cos(kz - \omega\,t + \phi_x)\\
      E_y=E_0y\cdot cos(kz - \omega\,t + \phi_y)\\
      E_z=0\\
   \end{array}
   \right.`$

Si de plus l'OPPM est polarisée rectilignement selon l'un des deux vecteurs de base restants,
par exemple le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$, alors l'écriture de l'OPPM se simplifie encore :

$`\hspace{0.6cm}\overrightarrow{E}=\left|
   \begin{array}{l}
      E_x=E_0\cdot cos(kz - \omega\,t + \phi_x)\\
      E_y=0\\
      E_z=0\\
   \end{array}
   \right.`$
 
 soit encore :
 
 $`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=E_0\cdot cos(kz - \omega\,t + \phi_x)\;\overrightarrow{e_x}`$
   
Au déphasage  $`\phi_x`$ correspond une durée $`\Delta t`$ telle que $`\phi_x=\omega\,\Delta t`$. Il suffit de retarder l'origine des temps cette valeur $`\Delta t`$ pour annuler cette valeur de déphasage. Cette valeur de déphasage, lorsque nous considérons qu'une seule OPPM qui n'a qu'une seule composante non nulle, est souvent omise, et nous écrivons souvent l'OPPM polarisée rectilignement sous la seule forme :

$`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=E_0\cdot cos(kz - \omega\,t )\;\overrightarrow{e_x}`$

<!--
$`\overrightarrow{E}(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega\,t)\quad`$
et $`\quad\overrightarrow{B}(\pm\,\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}\pm \omega \,t))`$

Si je choisis un repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$
dont $`\overrightarrow{e_z}=\overrightarrow{u}`$, alors l'écriture se simplifie :

$`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{E}(\pm k z \pm \omega t)\quad`$
 et $`\quad\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)=\overrightarrow{B}(\pm k z  \pm \omega t)`$

* $`\overrightarrow{E}(kz\,-\,ct)`$ ou $`\overrightarrow{E}(-\,kz\,+\,ct)`$ indique une onde plane 
progressive monochromatique qui se déplace vers les $`z`$ croissants.

* $`\overrightarrow{E}(+\,kz\,+\,ct)`$ ou $`\overrightarrow{E}(-\,kz\,-\,ct)`$ indique une onde plane 
progressive monochromatique qui se déplace vers les $`z`$ décroissants.-->


#### Ondes planes monochromatiques, progressive et stationnaire

A la découverte de l'onde EM stationnaire :

Etude que nous avons réalisée en travail à distance.

Ecrire le champ électrique d'une OPPM EM $`\overrightarrow{E_1}`$, polarisée rectilignement selon Oy, d'amplitude réelle $`E_0`$, de pulsation $`\omega`$, se propageant en direction de Ox selon les x croissants, en notation réelle et en notation complexe.

Ecrire le champ électrique d'une OPPM EM $`\overrightarrow{E_2}`$, polarisée rectilignement selon Oy, d'amplitude réelle $`E_0`$, de pulsation $`\omega`$, se propageant en direction de Ox selon les x décroissants, en notation réelle et en notation complexe.



1.  Calculer le champ électrique résultant 
$`\overrightarrow{E_{tot}}=\overrightarrow{E_1}+\overrightarrow{E_2}`$
(faire ce calcul en notation réelle, puis en notation complexe)


2.  L'onde résultante est-elle une OPPM? 
Caractériser cette onde résultante.


3.  Comment pouvez-vous calculer le champ magnétique de cette onde résultante ?