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@@ -17,13 +17,19 @@ Interférences et diffraction lumineuses *traduisent l'aspect ondulatoire de la
 
 ### Le phénomène d'interférences
 
-Le **phénomène d'interférence** est observé lorsque la *superposition de deux ou plusieurs ondes* de même nature (sonores, mécaniques, électro-magnétiques) donne lieu à une *intensité résultante qui n'est pas égale à la simple addition des intensités* prises individuellement.
+Le **phénomène d'interférence** est observé lorsque la *superposition de deux ou plusieurs ondes* 
+de même nature (sonores, mécaniques, électro-magnétiques) donne lieu à une *intensité résultante 
+qui n'est pas égale à la simple addition des intensités* prises individuellement.
 
-!!Note : pour l'onde électromagnétique, une interférence peut se traduire localement par le phénomène  :  lumière + lumière = obscurité.
+!!Note : pour l'onde électromagnétique, une interférence peut se traduire localement par le phénomène :  
+lumière + lumière = obscurité.
 
-**En pratique** sur un écran d'observation, les *intensités individuelles*  des ondes incidentes *varient lentement* alors que les **différences de phase** entre les ondes qui interfèrent et qui sont à l'origine du phénomène d'interférence **varient rapidement**.
+**En pratique** sur un écran d'observation, les *intensités individuelles*  des ondes incidentes 
+*varient lentement* alors que les **différences de phase** entre les ondes qui interfèrent et qui 
+sont à l'origine du phénomène d'interférence **varient rapidement**.
 
-On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés par une *intensité moyenne $\overline{\,I\,}`$ donnée* :
+On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés par une
+*intensité moyenne $\overline{\,I\,}`$ donnée* :
 
 * Les **franges brillantes** correspondent à une *intensité maximale : $`I=I_{max}`$*
 * Les **franges sombres** correspondent à une *intensité minimale : $`I=I_{min}`$*
@@ -32,19 +38,28 @@ On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés pa
 
 Le **contraste** (ou visibilité) des franges quantifie notre *aptitude à discerner les franges*.
 
-Il se définit localement à partir de la distribution d'intensité résultante des ondes qui interfèrent. Si localement *$`I_{max}`$* est l'*intensité maximum* et *$`I_{min}`$* l'*intensité minimum*, le contraste (ou visibilité) des franges se définit par :
+Il se définit localement à partir de la distribution d'intensité résultante des ondes 
+qui interfèrent. Si localement *$`I_{max}`$* est l'*intensité maximum* et *$`I_{min}`$*
+l'*intensité minimum*, le contraste (ou visibilité) des franges se définit par :
 
 $`\mathcal{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}`$
 
-Cette caractérisation des franges permet une **mesure comprise entre 0 et 1**, valeurs limites qui représentent les *deux cas extrêmes* :
+Cette caractérisation des franges permet une **mesure comprise entre 0 et 1**, valeurs
+limites qui représentent les *deux cas extrêmes* :
 
-* Pas de franges, donc **intensité uniforme** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{max}=I_{min}`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 0`$*.
+* Pas de franges, donc **intensité uniforme** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{max}=I_{min}`$ 
+* $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 0`$*.
 
-* **Franges de visibilité maximum** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{min}=0`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 1`$*.
+* **Franges de visibilité maximum** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{min}=0`$ $`\Longleftrightarrow`$
+*$`\mathcal{V} = 1`$*.
 
 ### Interférences entre deux ondes électromagnétiques monochromatiques planes
 
-Soient **deux ondes planes** dans le vide, notées 1 et 2, de **même pulsation  $`\omega`$** et d'**amplitudes $`A_1`$ et $`A_2`$**, de **polarisations rectilignes selon  $`\overrightarrow{e_1}`$ et $`\overrightarrow{e_2}`$**, et qui *se superposent en un point M* de l'espace localisé, par rapport à un point pros comme origine de l'espace, par le vecteur $`\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}`$
+Soient **deux ondes planes** dans le vide, notées 1 et 2, de **même pulsation  $`\omega`$** e
+t d'**amplitudes $`A_1`$ et $`A_2`$**, de **polarisations rectilignes selon  $`\overrightarrow{e_1}`$ 
+et $`\overrightarrow{e_2}`$**, et qui *se superposent en un point M* de l'espace localisé, 
+par rapport à un point pros comme origine de l'espace, par le vecteur 
+$`\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}`$
 
 Ces deux ondes s'écrivent :
 
@@ -108,11 +123,15 @@ $`\underline{\overrightarrow{E}_{tot}}(\overrightarrow{r},t)
  
  L'*intensité de l'onde résultante $`I_{tot}`$* s'écrit :
  
- $`\langle I_{tot} \rangle= \epsilon_0 \,c \; ||\overrightarrow{E}||^2`$$`=\dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$
+ $`\langle I_{tot} \rangle= \epsilon_0 \,c \; ||\overrightarrow{E}||^2`$
+ $`=\dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$
  
  * _Calcul en notation réelle :_
 
-$`I_{tot}= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; [A_1^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}`$ $`\;+\;A_2^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$ $`\;+\;2 \;A_1\,A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\,cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}]`$
+$`I_{tot}= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; [A_1^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}`$ 
+$`\;+\;A_2^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
+$`\;+\;2 \;A_1\,A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\,cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}]`$
+
 
 
  * _Calcul en notation complexe :_
@@ -122,7 +141,10 @@ $`I_{tot}
 = \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E^*}`$$`
 = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$$`+  A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$$`+2 \,A_1 \, A_2\; \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$
 
-$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$$`+  A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} `$$`+ \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} `$$`+ \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$
+$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} `$
+$`+  A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} `$
+$`+ \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} `$
+$`+ \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$
 
 --------------------
 
@@ -226,7 +248,8 @@ $`I_{tot}= A^2\cdot\dfrac{1-cos\,N\phi}{1-cos\,\phi}`$
 
 L'identification $`a=b=\dfrac{N\,\phi}{2}`$ dans la relation $`cos(a-b)-cos(a+b)=2\; sin\,a \;sin\,b `$ conduit à
 
-$`cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}-\dfrac{N\,\phi}{2}\right)-cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}+\dfrac{N\,\phi}{2}\right)`$$`=2\; sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} \;sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} `$
+$`cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}-\dfrac{N\,\phi}{2}\right)-cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}+\dfrac{N\,\phi}{2}\right)`$
+$`=2\; sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} \;sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} `$
 
 $`cos\,0 - cos\,N\,\phi=1 - cos\,N\,\phi `$$`=2\; sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}`$
 
@@ -302,22 +325,31 @@ $`=\dfrac{\dfrac{N^2\phi^2}{4}}{\dfrac{\phi^2}{4}}`$
 
 ! *IMPORTANT :* 
 !
-! Les *maxima principaux de la fonction Interférences-réseau* ont une *même intensité qui croît comme $`N^2`$*, carré du nombre d'ondes qui interfèrent.
+! Les *maxima principaux de la fonction Interférences-réseau* ont une *même intensité qui croît comme $`N^2`$*, 
+carré du nombre d'ondes qui interfèrent.
 !
  
-**Entre ces maxima principaux**, la fonction Interférence-réseau possède **plusieurs minima nuls** localisés aux valeurs de $`\phi`$ pour lesquelles le numérateur de la fonction s'annule, soient *aux valeurs* 
+**Entre ces maxima principaux**, la fonction Interférence-réseau possède **plusieurs minima nuls** 
+localisés aux valeurs de $`\phi`$ pour lesquelles le numérateur de la fonction s'annule, soient 
+*aux valeurs* 
 
 $`sin^2 \dfrac{N\phi}{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow \quad\dfrac{N\phi}{2}=k\pi`$
 
 *$`  \quad\Longleftrightarrow\quad\mathbf{\phi=\dfrac{2 k\pi}{N}}\quad`$, avec $` \mathbf{k \in \mathbb{N}}`$*.
 
-Ainsi **entre deux maximas principaux** se trouvent *$`N-1`$ minima* de valeur nulle, séparés par *$`N-2`$ maxima secondaires*.
+Ainsi **entre deux maximas principaux** se trouvent *$`N-1`$ minima* de valeur nulle,
+séparés par *$`N-2`$ maxima secondaires*.
 
-Le premier minimum nul jouxtant un maximum principal situé en $`\phi=2 k\pi`$ (maximum principal d'ordre k) est localisé en $\phi=2 k\pi+\dfrac{2\pi}{N}`$. Ce déphasage $`\dfrac{2\pi}{N}`$ entre un maximum principal et le premier munimum nul est un bon critère pour quantifier la largeur d'un maximim principal. 
+Le premier minimum nul jouxtant un maximum principal situé en $`\phi=2 k\pi`$ (maximum 
+principal d'ordre k) est localisé en $`\phi=2 k\pi+\dfrac{2\pi}{N}`$. Ce déphasage $`\dfrac{2\pi}{N}`$
+entre un maximum principal et le premier munimum nul est un bon critère pour quantifier
+la largeur d'un maximim principal. 
 
 ! *IMPORTANT :* 
 !
-!  La *largeur d'un pic principal*, quantifiée par la valeur du déphasage séparant le maximum du pic du premier minimum nul, est *proportionnelle à $1/N$*, inverse du nombre des ondes qui interfèrent.
+!  La *largeur d'un pic principal*, quantifiée par la valeur du déphasage séparant le 
+maximum du pic du premier minimum nul, est *proportionnelle à $1/N$*, inverse du nombre 
+des ondes qui interfèrent.
 !
 
 #### Représentation de la fonction $`Interf_{res}`$