From 070542c4fe2c0e851230c6a873d3f54b557e6b71 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 13 Jan 2020 17:54:24 +0100 Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md --- .../04.curl/textbook.fr.md | 78 +++++++++++-------- 1 file changed, 47 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md index 3f7ff368c..f4ca13b8b 100644 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md +++ b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md @@ -110,7 +110,8 @@ où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perp Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre de préciser le point, et écrire plus simplement -$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n} +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} +\cdot \overrightarrow{n} =\lim_{C \to 0}\; \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}} {\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3) @@ -132,37 +133,52 @@ composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ s'écrit $`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+ X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$ -Je vais tester la circulation du champ vectoriel dans les trois directions indiquées -par les vecteurs unitaires . Pour l'étude de la composante de selon z (composante -d'expression mathématique ), je choisis dans le plan perpendiculaire à et passant +Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les +trois directions indiquées par les vecteurs unitaires +$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude +de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante +d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ), +je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle -ABCD de côtés parallèles aux vecteurs et , de centre M et de côtés et J'oriente -ce rectangle infinitésimal ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu -en direction et sens du vecteur . Ainsi, ii le vecteur pointe vers mon oeil, alors -le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique direct (sens -inverse des aiguilles d'une montre). - -Le champ vectoriel est un champ de vecteurs dont je connais les expressions - -Je connais l'expression analytique du champ vectoriel , c'est à dire les expressions -analytique des composantes - -Je connais les composantes du vecteur au point M. Pour établir le champ rotationnel, -je dois obtenir une expression analytique de ce champ en tout point de l'espace. -La circulation de sur ABDC est la somme des circulations de sur chacune des quatre -branches AB, BC, CD et DA. - -Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent comme -coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement -élémentaire de A vers b s'écrit - - - -Au premier ordre, le vecteur au point P est le vecteur moyen du champ sur la branche -AB, et son expression en fonction des composantes de et du déplacement élémentaire -pour passer de M en P est - - +ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, +de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal +ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur +$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers +mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique +direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). + +Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est +à dire les expressions analytique des composantes. + +Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$ +au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique +de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de sur ABDC est la somme des circulations +de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. + +Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ +comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement +élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit + +$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ + +Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen +du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$ +et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est + +$`\displaystyle \overrightarrow{X_P} += +\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right) + \right] \cdot \overrightarrow{e_x} ++ +\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right) + \right] \cdot \overrightarrow{e_y} ++ +\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right) + \right] \cdot \overrightarrow{e_z} + `$ Le calcul de la circulation élémentaire de sur la branche AB me donne