diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md index 8f145afdf..6ab4ed8c5 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md @@ -7,6 +7,7 @@ visible: false $`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$ +$`\def\Ltau{\Large{\tau}\normalsize}`$ $`\def\Sopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$ $`\def\Sclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$ $`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$ @@ -228,7 +229,33 @@ $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\c \- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.
\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.
-##### La surface fermée ne contient une distribution de sources +#### Que devient le flux à travers une surface fermée contenant plusieurs sources de champ ? + + +* Soit **$`S`$** une **surface fermée** dans l'espace démilitant un *volume $`\tau`$*. + +* Si $`S`$ contient en un point $`P_1`$ une **unique source $`x_1`$** créant une champ vectoriel $`\overrightarrow{X_1}`$ central décroissant en $`1/r^2`$, le flux $`\Phi_{X_1}`$ de $`\overrightarrow{X_1}`$ à travers $`S`$ s'écrit :
+**$`\mathbf{\Phi_{X_1}=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\, x_1}`$** + +* Si $`S`$ contient en un autre point $`P_2`$ une **unique autre source $`x_2`$**, de même le flux flux $`\Phi_{X_2}`$ s'écrit :
+**$`\mathbf{\Phi_{X_2}=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi\,K\, x_2}`$** + + +* Si les sources **$`x_1`$ et $`x_2`$ existent simultanément**, alors le *théorème de superposition* dit qu'en tout point de l'espace, le champ électrostatique total $`\overrightarrow{X}`$ est la somme des champs $`\overrightarrow{X_1}`$ et $`\overrightarrow{X_2}`$ :
+*$`\overrightarrow{X}=\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2}`$*
+$`\Longrightarrow`$ le flux total de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`S`$ s'écrit :
+$`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$ +$`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$ +$`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$ +**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(s_1+s_2)}$** + + +* Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$
+\- pour *n sources discrètes* : +**$`\displaystyle\mathbf{\quad\Phi_{X}=4\pi\,K\,\sum_{i=1}^n s_i}`$**
+\- pour une *densité volumique $`\mathbf{\rho_x(\overrightarrow{r})}`$* : +**$`\displaystyle\mathbf{\quad\Phi_{X}=4\pi\,K\,\iiint_{\Ltau} \rho_x(\overrightarrow{r})\cdot d\tau}`$** + #### Que dit le théorème de Gauss intégral en électrostatique ? @@ -257,7 +284,7 @@ C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. * L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement. -##### Le théorème de Gauss en électrostatique +##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique * Soit une *distribution de charges maintenues immobiles* dans l'espace. @@ -266,6 +293,23 @@ Le flux $`\Phi_E`$ du vecteur champ électrique à travers toute *surface fermé est égal à la *charge totale $`Q_{int}`$ contenue à l'intérieur de $`S`$* divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$.

**$`\mathbf{\Phi_E=\oiint_S \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$** + + +##### Quelles sont les différentes expression de $`Q_{int}`$ rencontrées? + +* Pour *n charges discrètes $`q_i`$* dans le volume $`\tau`$ :
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\sum_{i=1}^n q_i}`$** + +* Pour une *densité volumique de charge $`\mathbf{\rho(\overrightarrow{r})}`$* (cas de la réalité 3D à l'échelle d'observation) :
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iiint_{\Ltau} \rho(\overrightarrow{r}) \cdot d\tau }`$** + + +* Lorsque les charges sont réparties sur une surface $`S`$ (2D $`\Longleftrightarrow`$ une épaisseur 1D est négligée) avec une *densité surfacique de charge $`\mathbf{\sigma}`$* :
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\iint_{S\cap\Ltau} \sigma(\overrightarrow{r}) \cdot dS }`$** + +* Lorsque les charges sont réparties sur un fil $`\Gamma`$ (1D $`\Longleftrightarrow`$ une section 2D est négligée) avec une *densité linéïque de charge $`\mathbf{\lambda}`$* :
+**$`\displaystyle\mathbf{Q_{int}=\int_{\Gamma\cap\Ltau} \lambda(\overrightarrow{r}) \cdot dl }`$** + --- ![](Gauss_theorem_signification_electrostatics_L800.gif) @@ -297,7 +341,7 @@ C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. -##### Théorème de Gauss en gravitation +##### Théorème de Gauss intégral en gravitation * Soit une *distribution de masses* dans l'espace. @@ -429,15 +473,15 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{ * En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** dans le volume se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_i`$* :
**$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_i}`$** -* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_i`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, *$`\mathbf{d\Sigma_i}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma_1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma_2}`$* qui sont opposés :
-**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma_1}=-\,\overrightarrow{\Sigma_2}}`$** +* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_{int}`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, un même élément de surface ouverte intérieure *$`\mathbf{d\Sigma_{int}}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}`$* qui sont opposés :
+**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}=-\,\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}}`$** -* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_1=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_2=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma_2}}`$* correspondants sont opposés :
-**$`\mathbf{d\Phi_1=\,-\,d\Phi_1}`$** +* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_{int,1}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,2}}`$* correspondants sont opposés :
+**$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\,-\,d\Phi_{int,1}}`$** --- -![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior.gif) +![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_2.gif) --- @@ -445,11 +489,22 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{ * Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur** *possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur. -* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :
-$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*. +* L'ensemble des $`d\Sigma_{ext}`$ est la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :
+$`\S=\oiint `d\Sigma_{ext}`$ + +* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{ext}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$ est le flux $`\mathbf{\Phi_X}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :
+**$`\displaystyle\mathbf{\Phi_{ext}=\int d\Phi_{ext}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}}`$** + +--- +![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_10.jpg) + +--- +* **Théorème de Green-Ostrogradsky**
+= théorème de la divergence :
+**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{X}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \Ltau}\overrightarrow{X}\cdot dS}`$** --- @@ -458,6 +513,12 @@ $`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface --- +* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :
+$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*. + +* $`\Longrightarrow`$ le *flux élémentaire correspondant $`d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$* est en général non nul :
+*en général*, **$`\mathbf{d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}}\ne 0`$** + * **Théorème de Green-Ostrogradsky**
= théorème de la divergence :
**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \tau}\overrightarrow{E}\cdot dS}`$**