diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/spherical/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/spherical/textbook.fr.md deleted file mode 100644 index 702273dd6..000000000 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/spherical/textbook.fr.md +++ /dev/null @@ -1,408 +0,0 @@ ---- -title: Coordonnées sphériques (main) -published: false -visible: false ---- - -_Coordonnées sphériques N3_ - -!!!! Cours en construction ! -!!!! Imparfiat, incomplet -!!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible - -#### Coordonnées sphériques - -##### Définition des coordonnées et domaines de définition - -* *205* : - -Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$, - -avec : - -$`r\in [0;\infty[`$ , $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$. - -**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$ , $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$ , $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$** - -Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ : - -$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ : - -on écrit : - -$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ - -Si le point est un point quelconque, on simplifie - -$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$** - -##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée - -* *210* : - -[FR] élément scalaire de longueur : - -$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ , -**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$** - - -* *215* : - -Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques : - -
$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$** - -* *220* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** - -Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques : - -$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**. - -* *225* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** - -Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon -continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment -de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$, -la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est : - -$`\displaystyle dr=\lim_{\Delta r\rightarrow 0 \\ \Delta r>0} \Delta r`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad dl_r=dr`$ , **$`\mathbf{dl_r=dr}`$** - -Lorsque seule la coordonnées $`\theta`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon -continue entre les valeurs $`\theta`$ et $`\theta +\Delta \theta`$, le point $`M`$ parcourt un -arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\theta}=r\;\Delta \theta`$. Lorsque $`\Delta \theta`$ tend vers $`0`$, -la longueur infinitésimale $`dl_{\theta}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : - -$`\displaystyle d\theta=\lim_{\Delta \theta\rightarrow 0 \\ \Delta \theta>0} \Delta\theta`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\theta}=r\,d\theta`$ , **$`\mathbf{dl_{\theta}=r\,d\theta}`$** - -Lorsque seule la coordonnées $`\varphi`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon -continue entre les valeurs $`\varphi`$ et $`\varphi +\Delta \varphi`$, le point $`M`$ parcourt un -arc de cercle de longueur $`\Delta l_{\varphi}=r \;sin\,\theta\;\Delta \varphi`$. Lorsque $`\Delta \varphi`$ tend vers $`0`$, -la longueur infinitésimale $`dl_{\varphi}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : - -$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** - -* *230* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** - -Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ -forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ -est la base associée aux coordonnées sphériques. -En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés -changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace. - -$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$ - -$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$ - -$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*. -
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*. -
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base. - -$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
- -* *235* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
- -Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ - -$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ -base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante -de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.
-
$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} -\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\ -\overrightarrow{e_{\theta}} = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\ -\overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ -\end{array} \right.`$ - -$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$ - -dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ : - -$`\overrightarrow{e_r}(t)= -\left| \begin{array}{l} -sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ -sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ -cos\,\theta(t) \\ -\end{array} \right.\quad`$ , -$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)= -\left|\begin{array}{l} -cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ -cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ --\,sin\,\theta(t) \\ -\end{array}\right.\quad`$ , -$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= -\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\varphi(t) \\ -cos\,\varphi(t) \\ -0 \\ -\end{array}\right.`$ - -Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ : - -en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\, ] \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad = -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -et en se rappelant : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\\ -cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ -\\ --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\dfrac{d\theta}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,sin\,\theta \\ -\end{array} \right.`$ -$`\;+\; -sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\varphi \\ -cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** - -de même : - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [-\, sin\,\theta(t)\, ] \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad = -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ -\\ --\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\\ --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ -\\ --\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= -\dfrac{d\theta}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,cos\,\theta \\ -\end{array} \right.`$ -$`\;+\; -cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\varphi \\ -cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
- - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ -\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad= -\left| \begin{array}{l} --\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ --\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - -**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**
- -avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : - -$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. - - -* *240* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
-Méthode 2 pour le calcul de -$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ - -$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$
-$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ -$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$
-$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ -$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$ - -$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ - -$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de : - -$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ - -$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal : - -$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,sin\,\theta \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,cos\,\theta \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`= -\left|\begin{array}{l} -0 \\ -0 \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\overrightarrow{0}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`= -\left|\begin{array}{l} --\,cos\,\varphi \\ --\,sin\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - -avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : -$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$ -$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ -$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ -$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - - - - - - - - - - - - - -* *245* : -$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$ -$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$