diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/02.Niv2/04.optics/04.use-of-basic-optical-elements/01.plane-refracting-surface/02.plane-refracting-surface-overview/cheatsheet.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/02.Niv2/04.optics/04.use-of-basic-optical-elements/01.plane-refracting-surface/02.plane-refracting-surface-overview/cheatsheet.fr.md
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-title: 'Le dioptre sphérique, en approximation paraxiale : synthèse'
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-
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-### Qu'est-ce qu'un dioptre ?
-
-#### Interface réfractante : description physique
-
-* **Interface séparant deux milieux transparents d'indices de réfraction différents.**.
-
-* **peut être trouvée dans la nature** :
-Exemples :
-\- une **interface réfractante plane** : la *surface plane d'un lac tranquille*.
-\- une **interface réfractante sphérique** : un *aquarium boule*.
-
-
-Fig. 1. L'interface réfranctante sphérique d'un aquarium boule.
-
-* **apparaît dans la conception et modélisation de composants optiques ** :
-Exemples :
-\- une **vitre en verre** se décompose en *deux interface réfractantes planes* (air/verre, puis verre/air), séparées par l'épaisseur de la vitre.
-\- une **lentille** est la succession de *deux interfaces réfractantes courbes (souvent sphériques) consécutives* (air/verre, puis verre/air) qui
-présentent toutes deux une symétrie de révolution autour d'un même axe.
-
-#### Interface réfractante versus surface réfractante
-
-!!!! *POINT DIFFICILE* : une interface réfractante plane ou sphérique présente deux comportements optiques différents pour la formation d'image,
-est caractérisée par deux ensembles de paramètres de veleurs différentes, selon que la lumière considérée traverse l'interface dans un sens ou dans l'autre.
-!!!!
-!!!!Considère une interface plane (une vitre épaisse dont l'épaisseur et donc l'effet optique peuvent être négligés) séparant de l'air et de l'eau,
-et deux jumeaux (Thompson and Thomson) à égales distances de chaque côté de l'interface (Fig. 2a).
-!!!!
-!!!! 
-!!!! Fig. 2a : La situation n'est pas symétrique.
-!!!!
-!!!! * Quand Thompson (dans l'ir) regarde Thomson (dans l'eau), la lumière se propage de Thomson vers les yeux de Thompson.
-!!!! Le fait est que Thompson voit l'image de son frère plus proche que la position réelle de ce son frère (Fig. 2b)
-!!!!
-!!!! 
-!!!! Fig. 2b. Thompson voit son frère plus proche que sa position réelle dans l'eau.
-!!!!
-!!!! * Dans la situation opposée, quand Thomson (dans l'eau) regarde Thompson (dans l'air),
-la lumière se propage de Thompson jusqu'aux yeux de Thomson.
-Et le fait est que Thomson voit l'image de son frère plus loin que sa position réelle (Fig. 2c)
-!!!! (en toute rigueur, les yeux d'un poisson devraient être considérés dans cet exemple, des yeux plus adaptés
-à la vision sous-marine et des yeux en contact direct avec l'eau. Sinon, nous devrions considérer que le masque de plongée
-de Thompson est rempli d'eau pour ne pas ajouter déjà une autre interface eau/air (celle du masque de plongé) sur
-la trajectoire de la lumière).
-!!!!
-!!!! 
-!!!! Fig. 2c. Thomson voit son frère plus loin que sa position réelle dans l'air.
-!!!!
-!!!! Tout ceci peut être calculé et prédit, mais cet exemple montre que cette interface réfratante plane air/eau
-correspond à deux surface réfrantantes:
-!!!!
-!!!! * Premier cas, la surface réfractante est telle que :
-!!!! \- indice de réfraction de milieu de la lumière incidente : $n_{inc} = n_{water} = 1.33$
-!!!! \- indice de réfraction de milieu de la lumière émergente : $n_{eme} = n_{air} = 1$
-!!!!
-!!!! *¨ Deuxième cas, la surface réfractante est telle que :
-!!!! \- indice de réfraction de milieu de la lumière incidente : $n_{inc} = n_{air} = 1$
-!!!! \- indice de réfraction de milieu de la lumière émergente : $n_{eme} = n_{water} = 1.33$.
-!!!!
-
-#### Dioptre
-
-Un **dioptre** est une *surface réfractante* dont un *sens de propagation de la lumière est précisé*.
-
-
-#### Différence de terminologie entre l'espagnol, le français et l'anglais.
-
-!!!! *ATTENTION* :
-!!!! De la même façon qu'en français est utilisé le simple mot "miroir" pour nommer une "surface réfléchissante", le simple mot
-!!!! "dioptre" définit une "surface réfractante". Cela n'est pas le cas en espagnol et en anglais. Un "dioptre" sera traduit par
-!!!! "superficie refractiva" en espagnol, et "refracting surface" en anglais.
-!!!!
-!!!! Le mot "dioptre" en anglais et son équivalent espagnol "dioptría" désignent l'unité de mesure de la vergence d'un système optique. En français, cette unité
-!!!! de mesure se nomme "dioptrie".
-!!!! Donc, garde à l'esprit le schéma suivant :
-!!!!
-!!!! surface réfractante : *EN : refracting surface* , *ES : superficie refractiva* , *FR : dioptre*.
-!!!! Une boule de cristal forme un dioptre sphérique : une superficie refractiva esférica en espagnol, a spherical
-!!!! refracting surface en anglais.
-!!!!
-!!!! unité de mesure : *EN : dioptre* , *ES : dioptría* , *FR : dioptrie*.
-!!!! _mon verre correcteur pour ma myopie fait -4 dioptries : "-4 dioptrías" en espagnol et "-4 dioptres" en anglais.
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-#### Non stigmatisme du dioptre sphérique
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-Etude au tracé de rayons d'un **dioptre sphérique** :
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-* **En tout point d'impact** des rayons sur le dioptre sphérique, **la relation de Snell-Descartes s"applique**.
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-* Un dioptre sphérique est **non stigmatique** : Les *rayons (ou leurs prolongements)* provenant *d'un même point objet* et qui émergent du dioptre, en général *ne convergent pas en un point image*.
-
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-* **Si l'ouverture du dioptre sphérique est limité** de façon que seuls les rayons interceptant le dioptre proche
-de son sommet soient réfractés par le dioptre,
-
-
-
-* **et si** les points object restent situés suffisamment proches de l'axe optique, de façon que **les angles d'incidence et de réfraction restent petits**, alors pour chaque point objet un point image peut presque être défini, et dès lors
-le dioptre sphérique devient *quasi-stigmatique*.
-
-
-
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-#### Conditions de Gauss / approximation paraxiale et stigmatisme approché.
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-Quand un dioptre sphérique est utilisé dans les conditions suivantes, nommées **conditions de Gauss** :
-\- les *angles d'incidence et de réfraction sont faibles*
-(rayons faiblement inclinés sur l'axe optique quiinterceptent le dioptre au voisinage de son sommet),
-alors *le dioptre sphérique* peut être considéré comme *quasi-stigmatique*, et dès lors il peut être utilisé pour construiire des images.
-
-Mathematiquement, quand un angle $`\alpha`$ est suffisamment petit $`\alpha < ou \approx 10^\circ`$, les approximations suivantes peuvent être faites made :
-$`sin(\alpha) \approx tg(\alpha) \approx \alpha (rad)`$, and $`cos(\alpha) \approx 1`$.
-
-*L'*optique géométrique restreinte aux conditions de Gauss* s'appelle l'*optique gaussienne* ou l'*optique paraxiale*.
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-#### Dioptre sphérique mince
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-Nous appellerons **dioptre sphréique mince** un dioptre sphérique *utilisé dans les conditions de Gauss*.
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-### Comment est modélisé un dioptre sphérique mince en optique paraxiale ?
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-#### Caractérisation d'un dioptre sphérique
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-* 2 points distincts : **sommet S** et **centre de courbure C** sur l'axe optique,
-qui définisent $`\overline{SC}`$ : distance algébrique entre le sommet S et le centre de courbure C sur l'axe optique.
-
-* 2 valeurs d'indices de réfraction :
-\- **$`n_{inc}`$ : indice de réfraction du milieu de propagation de la lumière incidente**.
-\- **$`n_{eme}`$ : indice de réfraction du milieu de propagation de la lumière émergente**.
-
-* 1 flèche : indique le *sens de propagation de la lumière*
-
-
-
-
-#### Etude analytique
-
-
-* **Equation de conjugaison du dioptre sphérique mince**
-**$`\dfrac{n_{eme}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{inc}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{eme}-n_{inc}}{\overline{SC}}`$** (equ.1)
-
-* **Expression du grandissement transversal**
- **$`\overline{M_T}=\dfrac{n_{inc}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{eme}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$**
- (equ.2)
-Tu connais $`\overline{SA_{obj}}`$, $`n_{inc}`$ et $`n_{eme}`$, tu as précédemment calculé $`\overline{SA_{ima}}`$, alors tu peux calculer $`\overline{M_T}`$ et en déduire $`\overline{A_{ima}B_{ima}}`$.
-
-
-! *UTILE* : L'équation de conjugaison et l'expression du grandissement transversal pour un dioptre plan
-!s'obtiennent et se retrouvent à partir de celles du dioptre sphérique dans la limite
-!
-! $`|\overline{SC}|\longrightarrow\infty`$.
-! alors tu obtiens *pour un dioptre plan :*
-!
-! * *équation de conjugaison :* $`\dfrac{n_{fin}}{\overline{SA_{ima}}}-\dfrac{n_{ini}}{\overline{SA_{obj}}}=0`$ (equ.3)
-!
-! * *expression du grandissement transverse :* $`\dfrac{n_{ini}\cdot\overline{SA_{ima}}}{n_{fin}\cdot\overline{SA_{obj}}}`$
- (equ.2, unchanged)
-! mpais (equ.3) donne $`\dfrac{\overline{SA_{ima}}}{\overline{SA_{obj}}}=\dfrac{n_{inc}}{n_{eme}}`$.
-! Copier ce résultat dans (equ.2) conduit à $`\overline{M_T}=+1`$.
-
-
-#### Etude graphique
-
-##### 1 - Déterminer les points focaux objet et image
-
-Les positions des points focaux objet F et image F’s'obtiennent facilement à partir de l'équation de conjugaison (equ. 1).
-
-* Distance focale image $`\overline{OF'}`$ : $`\left(|\overline{OA_{obj}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{ima}=F'\right)`$
- (equ.1)$`\Longrightarrow\dfrac{n_{eme}}{\overline{SF'}}=\dfrac{n_{eme}-n_{inc}}{\overline{SC}}`$
-$`\Longrightarrow\overline{SF'}=\dfrac{n_{eme}\cdot\overline{SC}}{n_{eme}-n_{inc}}`$ (equ.4)
-
-* Distance focale objet $`\overline{OF}`$ : $`\left(|\overline{OA_{ima}}|\rightarrow\infty\Rightarrow A_{obj}=F\right)`$
- (equ.1) $`\Longrightarrow-\dfrac{n_{inc}}{\overline{SF}}=\dfrac{n_{eme}-n_{inc}}{\overline{SC}}`$
-$`\Longrightarrow\overline{SF}=-\dfrac{n_{inc}\cdot\overline{SC}}{n_{eme}-n_{inc}}`$ (equ.5)
-
-!!!! *CONSEIL* :
-!!!! La mémoire ne remplace pas la compréhension. Ne mémorise pas (equ.4) and (equ.5), mais comprends
-!!!! les définitions des points focaux objet et image, et comment reyrouver ces deux équations
-!!! à partir de l'équation de conjugaison d'un dioptre sphérique.
-!!!!
-
-! *REMARQUE 1* :
-! Un élément optique est convergent quand son point focal image est réel,
-! soit quand $`\overline{OF}>0`$ (avec l'axe optique orienté positivement dans le sens de propagation de la lumière),
-! Donc tu peux déduire en observant (equ.4) qu'un dioptre sphérique est convergent si et seulement si son centre
-! de courbure C se trouve situé dans le milieu de plus fort indice de réfraction.
-!
-
-##### 2 - Représentation d'un dioptre sphérique mince
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-* **Axe optique = axe de révolution** du dioptre, **orienté** positivement dans le sens de propagation de la lumière.
-
-* représentation d'un dioptre sphérique mince :
-\- **sègment de droite**, perpendiculaire à l'axe optique, centré sur cet axes avec
-**indication symbolique de la concavité ou de la convexité** du dioptre aux extrémités du sègment.
-\- **sommet S**, qui localise le dioptre sur l'axe optique.
-\- **point nodal C = centre de courbure**.
-\- **points focaux objet F et image F’**.
-
-! *REMARQUE 2*
-! La concavité d'un dioptre ne présume pas de son caractère convergent ou divergent. Cela dépend aussi
-! des valeurs des indices de réfraction de chaque côté du dioptre. Pour illustrer cela, regarde ce qui se
-passe pour le rayon incident parallèle à l'axe optique sur les figures 3 et 4, puis 5 et 6 ci-dessous, et relis la REMARQUE 1.
-!
-
-#### Exemples de situations graphiques, avec valeurs numériques affichées pour t'entraîner
-
-!!!! *IMPORTANT* :
-!!!! Même en considérant une seule de ces figures, le caractère réel ou virtuel de l'image
-!!!! peut dépendre de la position de l'objet. Ce paragraphe est seulement pour t'aider à comprendre
-!!!! comment placer les 3 rayons particuliers qui permettent de déterminer l'image. Il est important
-!!!! de ne pas mémoriser ces figures, cela serait limitatif, trompeur et sans intérêt.
-!!!!
-!!!! Toutes les valeurs numériques utiles sont associées à chaque figure, tu peux vérifier que tu maîtrises
-!!!! aussi le calcul analytique permettant de localiser l'image dans chaque cas.
-!!!!
-
-
-
-* avec **objets réels**
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-
-Fig. 4.
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-
-Fig. 5.
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-
-Fig. 6.
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-Fig. 7.
-
-* avec **objets virtuels**
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-Fig. 8.
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-Fig. 9.
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-
-Fig. 10.
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-
-Fig. 11.
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