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@@ -195,40 +195,44 @@ unité d'invariant.
 *GEOM-NO-EUC-4.210* : variété surface d'une sphère.
 
 (CME)
-1. La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
+La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
 Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
 des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées
-$`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :   
-<br>   
-$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$,   
-<br>   
+$`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :
+
+$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$,
+
 soit en notation indicielle :  
-$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, ou encore    
+$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$,   
+ou encore    
 $`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$   
 
-2. Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons
+Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons
 choisir un système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ d'origine $`O`$ au centre
 de la sphère, et tel que $`M`$ soit situé sur l'axe $`Oz`$ : les coordonnées du point $`M`$
 sont alors $`(x_M=0\,,y_M=0\,, z_M=R)`$, et elle vérifient bien sûr toujours $`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$.
 
-3. En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface
+En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface
 de la sphère. L'origine du nouveau système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$ est alors située au point $`M`$.
 Nous pouvons alors faire 3 remarques :   
 \- ce nouveau système d'axe reste cartésien.   
-\- les coordonnées du point $`M`$ sont $`(x_M=0\,,y_M=0\,, 0)`$.   
-\- l'ensemble des points tels que $`z_M=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.    
+\- les coordonnées du point $`M`$ origine sont $`(0,0,0)`$.   
+\- l'ensemble des points $`P`$ tels que $`z_P=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$.    
+
+Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient :   
 
-4. Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient :   
-$`x_P^2+y_P^2+(z_P+R)^2=R^2`$   
-<br>   
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$   
+ 
 En notation indicielle :  
-$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, soit encore    
-$`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$  
-5. 
+$`(x^1_P)^2+(x^2_P)^2+(x^3_P-R)^2=R^2`$.
 
-4. Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension
+
+Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension
 portée par l'axe $`Mz`$ n'existe pas. Il ne peut décrire sa variété 2D qu'avec le système de coordonnées
-$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent).
+$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent). Pour lui, l'équation vérifiée
+par les coordonnées de tout point $`P`$ est :   
+
+