From 18e44d7fb5a47e499c56a635d3ca45535b1de07e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Thu, 27 May 2021 12:41:46 +0200 Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md --- .../40.n4/10.main/textbook.fr.md | 40 ++++++++++--------- 1 file changed, 22 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md index da9583589..2f993bdd6 100644 --- a/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md +++ b/12.temporary_ins/06.geometry-coordinates/40.n4/10.main/textbook.fr.md @@ -195,40 +195,44 @@ unité d'invariant. *GEOM-NO-EUC-4.210* : variété surface d'une sphère. (CME) -1. La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique. +La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique. Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$ des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées -$`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient : -
-$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$, -
+$`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient : + +$`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$, + soit en notation indicielle : -$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, ou encore +$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, +ou encore $`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$ -2. Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons +Précisons un peu. Quelque-soit un point $`M`$ à la surface de la sphère, nous pouvons choisir un système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ d'origine $`O`$ au centre de la sphère, et tel que $`M`$ soit situé sur l'axe $`Oz`$ : les coordonnées du point $`M`$ sont alors $`(x_M=0\,,y_M=0\,, z_M=R)`$, et elle vérifient bien sûr toujours $`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$. -3. En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface +En gardant inchangés les directions et sens de axes, déplaçons l'origine à la surface de la sphère. L'origine du nouveau système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$ est alors située au point $`M`$. Nous pouvons alors faire 3 remarques : \- ce nouveau système d'axe reste cartésien. -\- les coordonnées du point $`M`$ sont $`(x_M=0\,,y_M=0\,, 0)`$. -\- l'ensemble des points tels que $`z_M=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$. +\- les coordonnées du point $`M`$ origine sont $`(0,0,0)`$. +\- l'ensemble des points $`P`$ tels que $`z_P=0`$ définissent le plan tangent à la sphère au point $`M`$. + +Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient : -4. Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient : -$`x_P^2+y_P^2+(z_P+R)^2=R^2`$ -
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$ + En notation indicielle : -$`(x^1_M)^2+(x^2_M)^2+(x^3_M)^2=R^2`$, soit encore -$`\displaystyle\sum_{i=1}^3 (x^i_M)^2=R^2`$ -5. +$`(x^1_P)^2+(x^2_P)^2+(x^3_P-R)^2=R^2`$. -4. Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension + +Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension portée par l'axe $`Mz`$ n'existe pas. Il ne peut décrire sa variété 2D qu'avec le système de coordonnées -$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent). +$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent). Pour lui, l'équation vérifiée +par les coordonnées de tout point $`P`$ est : + +