diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/45.synthesis-structuring/10.math-tools/30.n3/10.brainstorming/01.p1/textbook.es.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/45.synthesis-structuring/10.math-tools/30.n3/10.brainstorming/01.p1/textbook.es.md new file mode 100644 index 000000000..c37f25f6f --- /dev/null +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/45.synthesis-structuring/10.math-tools/30.n3/10.brainstorming/01.p1/textbook.es.md @@ -0,0 +1,305 @@ +--- +title: Définir les outils mathématiques de niveau 3 : proposition 1 +published: true +routable: true +visible: false +lessons: + - slug: define-234-mathematical-tools-p1 + order: 2 +--- + + +$`\def\oiint{\displaystyle\mathop{{\iint}\mkern-18mu \scriptsize \bigcirc}}`$ +$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ + +#### Proposition 1 + +-------------------------------------------------------- + +#### Définir les outils mathématiques requis au niveau 3 + +-------------------------------------------------------- + +avec une **première classification pour ordonner un peu** le brainstorming (numération, géométrie, etc). +Elle *ne présage pas des titres de chapitres*. + +N'hésitez pas à créer une nouvelle classification si nécessaire. + +------------------------------------------------------------- + + +Les *outils mathématiques de niveaux 1 et 2* **$`+`$** : + + +! *Numération, opérations et fonction usuelles* + +(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation + +* nombre imaginaire **$`i`$** + Ensemble des nombres imaginaires purs *$`\mathbb{I}`$* : **$`c=i\,b`$** + Ensemble des nombres complexes $`\mathbb{C}`$ : + **$`c=a+i\,b= |c|\,e^{\,i\,\theta}`$**, + avec **$`|c|=\sqrt{a^2 + b^2}`$** et **$`\theta\arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)`$** + **$`c=a+i\,b= \mathcal{Re}(c)+i\,\mathcal{Im}(c)`$** + +* fonction puissance $`y^x`$ +* fonction exponentielle **$`e^x`$** + Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$** + **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$** + ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$** + +* **$`e^0=1 \quad , \quad`$** +**$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$** +**$`e^{\,i\pi}=-1\quad , \quad`$**, ... + +* fonction logatithme **$`log_p\,x`$** + propriétés fonction log, dont transformation produit en somme : **$`log_p\,xy`=log_p\,x+log_p\,y$** + fonction logatithme **$`log_{10}\,x`$** en relation à la fonction puissance $`10^x`$ + fonction logatithme népérien **$`Log\,x=ln\,x`$** en relation à la fonction puissance $`exp(x)=e^x`$ + +* notations réelle et notation complexe : +**$`\overrightarrow{U}=U_0\,\cos(k\,x-\omega t+\varphi)\overrightarrow{e}`$** +**$`\overrightarrow{\underline{U}}=U_0\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t+\varphi)}\overrightarrow{e}`$** +**$`\;=\underline{U_0}\,e^{\,i\,(k\,x-\omega t)}\overrightarrow{e}`$** +**$`\overrightarrow{U}=\mathcal{Re}(\overrightarrow{\underline{U}})`$** + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + +! *Ensembles et logique* + +à faire + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + + +! *Géométrie et coordonnées* + +(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation + + +* Règle d'*orientation de l'espace* + Systèmes de coordonnées, bases et repères *directs ou indirect* + +* *Coordonnées, bases vectorielles et repères* associées + bases et repères *orthogonaux, normés, orthonormés, directs et indirects* + +* *Coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques* + * avec *repères et bases associés* + * *éléments infinitésimaux* de longueur, de surface, de volume + * expressions des *opérateurs* **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** + +* *matrice changement de base orthonormée directe* : + * $`\overrightarrow{e_i}\longrightarrow \overrightarrow{e_j}'`$ : $`(a)`$ + * $`\overrightarrow{e_j}'\longrightarrow \overrightarrow{e_i}'`$ : **$`(a')=(a)^t = (a)^{-1}`$** + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + +! *Vecteurs et opérateurs, analyse vectorielle* + +(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation + +*Dans une base euclidienne (3D)*: + +* Produit scalaire **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) +* Produit vectoriel **$`\overrightarrow{a}\wedge\overrightarrow{b}`$** (notation $`\wedge`$ ou $`\times`$ ) +* Produit mixte **$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c})`$** + +* Opérateurs **$`\overrightarrow{grad}`$**, **$`div`$** et **$`\overrightarrow{rot}`$** (notation $`\overrightarrow{rot}`$ ou $`\overrightarrow{curl}`$ ) + et notation avec nabla (coordonnées cartésiennes) : + **$`\overrightarrow{\nabla}=\dfrac{\partial}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\dfrac{\partial}{\partial y} + \overrightarrow{e_y}\dfrac{\partial}{\partial z}\overrightarrow{e_z}`$** + +* Opérateurs Laplacien scalaire (coordonnées cartésiennes) + **$`\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial z^2}`$** + **$`\;=\overrightarrow{\nabla}\cdot\overrightarrow{\nabla}`$** + +* Opérateur d'Alembertien scalaire (coordonnées cartésiennes) +* **$`\Box=\Delta-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\delta^2}{\delta t^2}`$** (pour les ondes) + +* **$`\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{grad}\,V)=0`$**, lien avec + $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E}=0\quad\Longrightarrow\quad \exists V\;,\;\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}\,V`$ + +* **$`div\,(\overrightarrow{rot}(\overrightarrow{A}) =0`$**, lien avec + $`div\,\overrightarrow{B}=0 \quad\Longrightarrow\quad \exists \overrightarrow{A}\;,\;\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{A}`$ + + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + +! *Matrices* + +(CME-FR) Bonne maîtrise, avec exercices d'automatisation + +* Matrices $`(n,m)`$ : **$`\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nm}\\ \end{pmatrix}`$** +* Somme de matrice **$`(n,m) + (n,m)`$** +* Produit matriciel **$`(n,m)\cdot (m,p) dot`$** +* Matrice transposée d'une matrice carrée +* Calcul matriciel +* Déterminant d'une matrice carrée : + **$`\begin{vmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}\\ \end{vmatrix}`$** + + RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + + +! *Étude de fonctions* + +(CME-FR) + +* Passage de la notation $`f'(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x_0}`$** + Passage de la notation $`f'(x)`$ à **$`\dfrac{df}{dx}`$** + ... + de $`f^{(n)}(x_0)`$ à **$`\left.\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}\right|_{x_0}`$** + de $`f^{(n)}(x)`$ à **$`\dfrac{d^{n}f}{dx^{n}}`$** + +* fonction dérivée et fonction primitive. + +* intégrale simple + * indéfinie **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** + * définie **$`\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx`$** + +* intégrale multiple (variables indépendantes) + * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** + * **$`\displaystyle\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz`$** + +* différence entre : + * **$`\displaystyle\int f(x)\,dx`$** et **$`\oint f(x)\,dx`$** + * **$`\displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy`$** et **$`\oiint f(x,y)\,dx\,dy`$** + + RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + +! *Équations* + +(CME-FR) + +* *Résolution de systèmes d'équations* par la *méthode du déterminant*. + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + +! *Équations* + +* à faire + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + + + +(XXX-YY) +... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +--------------------- + +(XXX-YY) ... + +RÉAGIR : +... (XXX-YY) + +------------------ + +