diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md index af09f00eb..68b1e8c9c 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md @@ -158,16 +158,16 @@ con / avec / with
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ varía continuamente entre los valores $`x`$ y $`x+\Delta x`$, el punto M recorre un segmento -de longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`x + \Delta x`$ +de longitud $`\Delta l_x=\Delta x`$. Cuando $`\Delta x`$ tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_x`$ recorrida para el punto $`M`$ es :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`x`$ et $`x+\Delta x`$, le point M parcourt un sègment -de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`x+\Delta x`$ tend vers $`0`$, +de droite de longueur $`\Delta l_x = \Delta x`$. Lorsque $`\Delta x`$ tend vers $`0`$, la longueur infinitésimale $`dl_x`$ parcourt pour le point $`M`$ est :
[EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x, y, z)`$ varies continuously between the values $`x`$ and $`x + \Delta x`$, the point M covers -a line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`x + \Delta x`$ tends +a line segment of length $`\Delta l_x = \Delta x`$. When $`\Delta x`$ tends towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_x`$ covered by the point $`M`$ is :

$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$.
@@ -372,8 +372,110 @@ $`M(\rho, \varphi, z)`$. [ES] elemento escalar de línea :
[FR] élément de longueur :
[EN] scalar line element :
+
$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$ + + +* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ varía +continuamente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+\Delta \rho`$, el punto $`M`$ recorre un segmento +de longitud $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Cuando $`\Delta \rho`$ +tiende a $`0`$, la longitud infinitesimal $`dl_{\rho}`$ recorrida para el punto $`M`$ +es :
+[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varie de façon +continue entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment +de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, +la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourt pour le point $`M`$ est :
+[EN] When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(\rho, \varphi, z)`$ varies +continuously between the values $`\rho`$ and $`\rho+\Delta \rho`$, the point $`M`$ covers +a line segment of length $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. When $`\Delta \rho`$ tends +towards $`0`$, the infinitesimal length $`dl_{\rho}`$ covered by the point $`M`$ is :
+
$`\displaystyle d\rho=\lim_{\Delta \rho\rightarrow 0 \\ \Delta \rho>0} \Delta \rho`$ +$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\rho}=d\rho`$.
+ + + + +
tambien / de même / similarly : $`dl_y=dy`$ et $`dl_z=dz`$. + +* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+[ES] Cuando solo la coordenada $`x`$ de un punto $`M(x,y,z)`$ aumenta +infinitesimalmente entre los valores $`x`$ y $`x+dx`$ ($`dx>0`$), el vector de desplazamiento +$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ del punto $`M`$ el vector +tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :
+[FR] Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon +infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement +$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur +tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :
+When only the $`x`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between +the values $`x`$ and $`x+dx`$ ($`dx>0`$), the displacement vector +$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ of the point $`M`$ is the +tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :
+
$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$
+
[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_x}`$ (que indica la dirección y el sentido +de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
+[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens +de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
+[EN] The unit vector tangent to the trajectory $`\overrightarrow{e_x}`$ (which indicates the direction of displacement +of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :
+
$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$
+
tambien / de même / similarly :
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, +$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, +$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ + +* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ +es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectores +de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la +**misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.
+[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**. +En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la +**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
+[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**. +In Cartesian coordinates, the base vectors keep the +**same direction whatever the position of the point $`M`$**.
+
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ +base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante +de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$. + +* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +es el elemento escalar de linea $`dl_x`$, entonces el vector $`\overrightarrow{e_x}`$ +se escribe :
+[FR] La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit :
+[EN] the norm (or length) of the vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +is the scalar line element $`dl_x`$, so the vector $`\overrightarrow{e_x}`$ writes :
+
$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$
+
tambien / de même / similarly :
+$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ + +* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+[ES] Los 3 vectores $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ y +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ son 2 a 2 ortogonales.
+[FR] Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2.
+[EN] The 3 vectors $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ and +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ are 2 to 2 orthogonal.
+$`\Longrightarrow`$ :
+[ES] El área de un elemento de superficie construido por 2 de estos vectores +se expresará simplemente como el producto de sus normas.Y el volumen definido +por estos 3 vectores será simplemente el producto de sus estándares.
+[FR] L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera +simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs +sera simplement le produits de leurs normes.
+[EN] The area of a surface element constructed by 2 of these vectors will be expressed +simply as the product of their norms. The volume defined by these 3 vectors will simply +be the product of their norms. -$`dl=\sqrt{d\rho^2+ (\rho\,d\varphi)^2+dz^2}`$