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title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations |
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published : false |
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visible : false |
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!!!! *ATTENTION* : |
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!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé ! |
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!!!! Page non répertoriée |
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### IMPORTANTE / IMPORTANT |
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[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. |
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Comience cada nuevo "elemento del curso" con VA + número. Los números normalmente van |
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del 10 al 10. Esta notación permite insertar (21, 22, ...) elementos entre los ya |
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existentes, para una progresión más lógica de los elementos. |
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Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si |
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usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales |
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si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre <!-- y --> <br> |
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ejemplo: <!-- esto es un comentario --> |
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<! - this is a comment -> |
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[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. |
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Commencer chaque nouvel "élément de cours" par VA+nombre. Les numéros vont normalement de 10 en 10. |
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Cette notation permet d'intercaler (21, 22, ...) des éléments entre ceux déjà existants, |
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pour une progression plus logique des éléments. |
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Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau* |
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si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles |
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si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre <!-- et --> <br> |
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exemple : <!-- ceci est un commentaire --> |
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[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. Begin each |
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new "course element" with VA + number. The numbers normally go from 10 to 10. This notation |
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allows to insert (21, 22, ...) elements between those already existing, for a more logical |
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progression of the elements.For what is written |
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in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations. |
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Complete your usual equations if they are different from those already written. |
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Write your comments between <!-- et --> <br> |
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example: <!-- this is a comment --> |
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"\<br>" impone un salto a la linea siguente.<br> |
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"\<br>" impose un retour à la ligne.<br> |
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"\<br>" impose a line break. |
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[ES] Esta es una oportunidad, si lo deseamos, para estandarizar nuestros notación y vocabulario,<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br> |
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o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si |
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queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo : |
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[FR] C'est l'occasion, si nous le souhaitons, de normaliser notre notation et vocabulaire, <br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br> |
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ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si |
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on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple : |
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[EN] This is an opportunity, if we wish, to standardize our notation and vocabulary, <br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br> |
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or to indicate in the text the equivalence with the international standard |
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if we wish to keep our notations and terms. Example : |
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"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$". |
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[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones |
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matemáticas lógicas. Ejemplo : |
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[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions |
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mathématiques logiques. Exemple : |
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[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical |
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mathematical expressions. Example : |
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$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad |
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\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ |
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https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 |
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## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations |
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### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis |
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(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) |
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##### VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space |
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[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? |
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[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens |
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[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction. |
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ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL : |
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[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés. |
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[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais. |
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[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English. |
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##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics. |
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[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br> |
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_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._ |
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[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br> |
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_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._ |
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[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br> |
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_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._ |
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[ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: |
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velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. |
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Ellos *no se pueden comparar*. |
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[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : |
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vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ |
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et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*. |
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[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed |
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and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. |
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They *cannot be compared*. |
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##### VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors |
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[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*. |
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[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* : |
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[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* : |
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<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br> |
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" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ |
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[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*. |
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[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. |
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[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* : |
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<br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br> |
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"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ |
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Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use. |
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##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors |
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##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar |
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#### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ... |
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#### VA70Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space |
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##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$ |
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Definición / Définition : |
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[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados** |
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en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano. |
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[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** |
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dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan. |
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[EN] ... |
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Propiedad / Propriété : |
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[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de |
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$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$. |
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[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ |
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se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$. |
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[EN] ... |
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Escritura matemática / Écriture mathématique : |
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[ES] |
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[FR]"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$" |
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$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad |
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\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ |
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[EN] |
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Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use. |
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##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ |
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##### VA75 |
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[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos". |
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y que están *indexados por números naturales*. |
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[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" |
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et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...) |
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[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms" |
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and which are *indexed by natural numbers*. |
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##### VA80 |
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[ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman |
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una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este |
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espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. |
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[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment |
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une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$ |
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de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs |
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$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. |
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[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a |
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**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in |
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*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. |
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[ES] |
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[FR]"$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$` |
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\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad |
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\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$ |
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[EN] |
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##### VA90 |
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[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$. |
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(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física |
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del estado sólido/estructura de materiales) :<br> |
|||
http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br> |
|||
Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. |
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[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$. |
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(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal, |
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en physique du solide/structure des matériaux) :<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br> |
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Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. |
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[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$. |
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(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state |
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physics/structure of materials) :<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br> |
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We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and orthonormal bases :<br> |
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http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. |
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#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base |
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##### VA100 Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ???? |
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[ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios. |
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[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires. |
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[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system). |
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$`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ . |
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##### VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ??? |
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[ES] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ y ??? $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[FR] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[EN] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ and ??? $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ |
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[ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*. |
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[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*. |
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[EN] The vectors of the **orthogonal base** are *orthogonal 2 to 2 vectors* |
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$`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$. |
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##### VA120 Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ??? |
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[ES] Base orthonormal $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ |
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[FR] Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ |
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[EN] ??? $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ |
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[ES] |
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[FR] orthonormé = **ortho**+*normé* :<br> |
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\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br> |
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\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$. |
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[EN] |
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[ES] |
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[FR] orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br> |
|||
avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br> |
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$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$. |
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[EN] |
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#### VA130 Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule |
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[ES] Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman |
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una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio. |
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[FR] ]Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment |
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une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace. |
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[FR] |
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[ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario |
|||
y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal |
|||
$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio. |
|||
|
|||
[FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire |
|||
et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée |
|||
$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace. |
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[EN] |
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[ES] Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y |
|||
$`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la |
|||
línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** |
|||
para este vector $`\vec{c}`$.<br> |
|||
Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la |
|||
**regla de los 3 dedos de la mano derecha**. |
|||
|
|||
[FR] Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`\vec{a}`$ et |
|||
$`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire) au plan |
|||
$`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.<br> |
|||
Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : |
|||
la **règle des 3 doigts de la main droite**. |
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[EN] |
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Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use. |
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#### VA140 Repère orthonormé direct / indirect |
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#### VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur / |
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##### VA200-1 valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$ |
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|||
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$ |
|||
|
|||
$`\Longrightarrow`$ commutativité : |
|||
$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$ |
|||
|
|||
$`\Longrightarrow`$ associativité : |
|||
$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$ |
|||
$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$ |
|||
|
|||
$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br> |
|||
$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br> |
|||
$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$<br> |
|||
$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ |
|||
$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$<br> |
|||
$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ |
|||
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|||
##### VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude |
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[EN] magnitude = length |
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$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$ |
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##### VA220 Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector |
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$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$ |
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##### VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors |
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[EN] scalar product = dot product |
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|||
$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires |
|||
$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$ |
|||
$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$ |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires |
|||
$`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot |
|||
||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 |
|||
\\ \, |
|||
\\ |
|||
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}|| |
|||
\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$ |
|||
|
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|||
##### VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors |
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$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$ |
|||
$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U}, |
|||
\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U}, |
|||
\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**. |
|||
|
|||
##### VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis |
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|||
"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée. |
|||
$`\quad\Longrightarrow`$ |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$** |
|||
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|||
##### VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis |
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|||
Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ : |
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$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot |
|||
cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\ |
|||
\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} |
|||
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$ |
|||
$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} |
|||
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$ |
|||
**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} |
|||
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$** |
|||
**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} |
|||
{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$** |
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[ES] El ángulo se da en valor no algebraico y se expresa en radianes: |
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[FR] L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : |
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[ES] The angle is given in non-algebraic value and expressed in radians: |
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$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad). |
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---------------------------- |
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#### VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors |
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Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36, |
|||
il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt |
|||
que $`\vec{U}\land\vec{V}`$. |
|||
On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant |
|||
notre différence avec la notation anglosaxonne ? |
|||
L'étudiant, dans le mode échange, verra le même cours en parallèle dans 2 langues, et donc verra |
|||
les différences d'écriture mathémétiques. |
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##### VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space. |
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[ES] |
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[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non |
|||
colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :<br> |
|||
\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$<br> |
|||
(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).<br> |
|||
\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ |
|||
: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$<br> |
|||
\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ |
|||
est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens du |
|||
produit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur. |
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[EN] |
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[ES] |
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[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numérique |
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l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$. |
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[EN] . |
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[ES] |
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|||
[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation |
|||
de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :<br> |
|||
$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$. |
|||
|
|||
[EN] |
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|||
[ES] |
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[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :<br> |
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$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})= |
|||
\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$. |
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|||
[EN] |
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<!-- |
|||
##### En relation avec les symétries ... |
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Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)... |
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##### Pour un chemin sur les 4 niveaux ... |
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Scalaire = tenseur de rang 0, vecteur = tenseur de rang 1, tenseurs de rang 2, 3, 4 ... |
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tenseur polaires et tenseurs axiaux ... |
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|||
Physique classique :<br> |
|||
grandeurs physique : rang 0 polaire : température,... |
|||
grandeurs physique : rang 1 polaire : position, vitesse, accélération, force, champ électrique...<br> |
|||
grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br> |
|||
grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br> |
|||
propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique, ...<br> |
|||
propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br> |
|||
propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br> |
|||
propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br> |
|||
Physique relativiste :<br> |
|||
tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ... |
|||
--> |
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##### VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis |
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|||
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
|
|||
[FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$, |
|||
we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) : <br> |
|||
$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ |
|||
instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ? |
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[ES] ... |
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[FR] méthode des produits en croix : |
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[EN] ... |
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$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ |
|||
$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ |
|||
$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$ |
|||
$`=\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$ |
|||
$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$ |
|||
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$ |
|||
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|||
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[ES] |
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|||
[FR] |
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|||
[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :<br> |
|||
<br>$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\ |
|||
U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$ |
|||
$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$ |
|||
$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$ |
|||
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#### VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors |
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[ES] Producto triple escala = producto mixto. |
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[FR] Produit mixte. |
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[EN] Scalar triple product = triple product. |
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[ES] : |
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[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, |
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noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :<br> |
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[EN] : |
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$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$ |
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Propiedades / Prppriétés / Properties : |
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$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) |
|||
=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U}) |
|||
=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$ |
|||
|
|||
$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) |
|||
=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W}) |
|||
=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V}) |
|||
=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$ |
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##### VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis |
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|||
$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$ |
|||
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[ES] : |
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[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant |
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de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs |
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$`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne : |
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[EN] : |
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$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\ |
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V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$ |
|||
$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$ |
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##### VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space. |
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[ES] |
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|||
[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ |
|||
donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace. |
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[EN] |
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Figure à créer. |
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<!-------------------- |
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#### Différentielle d'un vecteur |
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Por INSA / pour l'INSA / for INSA : |
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Consédérons un vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la fois |
|||
en direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variation |
|||
infinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ |
|||
que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br> |
|||
|
|||
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$ |
|||
|
|||
La figure ci-contre représente les vecteurs $`\overrightarrow{OM}(t+dt)`$, $`\overrightarrow{OM}(t)`$ |
|||
et $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$. |
|||
|
|||
Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, |
|||
nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\overrightarrow{e_{||}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\perp}}`$. |
|||
|
|||
Le vecteur $`\overrightarrow{E_{||}}`$ est parallèle à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant |
|||
$`t`$ de sorte que $`\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$. |
|||
De la même manière le vecteur $`\overrightarrow{E_{\perp}}`$ est perpendiculaire à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant |
|||
$`t`$. Ici nous considérons le cas général dans lequel le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ |
|||
a pu, pendant le temps $`dt`$, à la fois s'allonger et tourner d'un angle infinitésimal |
|||
$`\Psi`$ (avec $`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$). |
|||
|
|||
Nous décomposons le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ de la manière suivante (conférer figure) : |
|||
|
|||
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||} |
|||
+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ |
|||
|
|||
Dans la limite où $`\Psi`$ tend vers $`0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ |
|||
va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation, |
|||
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|`$ correspond |
|||
simplement à l’allongement du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$. Ainsi |
|||
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|=\left|\left|d |
|||
\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|`$. |
|||
Par construction, le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ va |
|||
s’aligner avec le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_T}`$ (toujours dans la limite |
|||
où $`\Psi`$ tend vers $`0`$). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons que |
|||
sa norme vaut :<br> |
|||
$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}\right|\right| |
|||
= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot tan (d\Psi)`$ |
|||
$`= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot d\Psi`$. |
|||
Ainsi, la différentielle du vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ |
|||
s'écrit de la manière suivante : |
|||
|
|||
$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right| |
|||
\cdot \overrightarrow{e_{||}}\,+\,\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right| |
|||
\cdot d\Psi\cdot\overrightarrow{e_{\perp}}`$ |
|||
|
|||
La différentielle d'un vecteur peut aussi être calculée directement à partir de son |
|||
expression analytique. Considérons l'exemple suivant : |
|||
|
|||
$`\overrightarrow{OM}(t)=A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
|
|||
Ce vecteur est exprimé dans la base des vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$ |
|||
et $`\overrightarrow{e_y})`$ qui sont "fixes" dans le référentiel d'observation. |
|||
Les coordonnées $`A(t)`$ et $`B(t)`$ dépendent du temps avec, par exemple |
|||
$`A(t)=t^2`$, et $`B(t)=4t`$. La différentielle n'étant qu'une "simple" opération |
|||
de soustraction vectorielle, elle est distributive de sorte que : |
|||
|
|||
$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right) |
|||
+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$ |
|||
$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x} |
|||
+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
|
|||
Or les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y})`$ sont fixes, |
|||
on a donc : |
|||
|
|||
$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right) |
|||
+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$ |
|||
$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x} |
|||
+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`=d\left(t^2\right)\cdot\overrightarrow{e_x} |
|||
+d\left(4t\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
$`2\,t\,dt\cdot\overrightarrow{e_x} |
|||
+4\,dt\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
|||
|
|||
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|||
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|||
#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps |
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Por INSA / pour l'INSA / for INSA : |
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$`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt} |
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=\lim_{dt\rightarrow 0} |
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\left( |
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\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt} |
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\right)`$ |
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##### Propongo el siguiente escrito (a discutir) / Je propose l'écriture suivante (à débattre) / I propose the following writing (to be discussed) |
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* [ES] En la escritura de una ecuación, vemos con relativa frecuencia vemos el error de tipo :<br> |
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[FR] Dans l'écriture d'une équation, nous voyons relativement souvent l'erreur de type :<br> |
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[EN] In the expression of an equation, we relatively often see the type of error :<br> |
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<br> $`d ... = \int ... d...`$<br> |
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[ES] En una parte del curso "Atención" (fondo rojo), deberíamos explicar esto.<br> |
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[FR] Dans une partie de cours "Attention" (fond rouge), nous devrions expliquer cela.<br> |
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[EN] In a part of the course "Attention" (red background), we should explain this. |
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* [ES] Si $`xxx`$ es una cantidad física escalar o vectorial, propongo que $`dxxx`$ significa una |
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variación infinitesimal de esta cantidad y $`\Delta xxx`$ una variación macroscópica.<br> |
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[FR] Si $`xxx`$ est une grandeur physique scalaire ou vectorielle, je propose que $`dxxx`$ signifie |
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une variation infinitésimale de cette grandeur, et d$`\Delta xxx`$ une variation macrosocpique.<br> |
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[EN] If $`xxx`$ is a scalar or vector physical quantity, I propose that $`dxxx`$ means an infinitesimal |
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variation of this quantity, and $`\Delta xxx`$ a macrosocpic variation.<br> |
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<br> Ainsi |
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<br> $`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt} |
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=\lim_{dt\rightarrow 0} |
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\left( |
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\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt} |
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\right)`$ |
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<br>deviendrait<br> |
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<br> $`\displaystyle\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt} |
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=\lim_{\Delta t\rightarrow 0} |
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\left( |
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\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t))}{\Delta t} |
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\right)`$ |
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$`=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)}{dt}`$<br> |
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<br> |
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[ES] En las expresiones anteriores, también simplificaría la escritura. Algunos ejemplos :<br> |
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[FR] Sur les expressions ci-dessus, cela permettrait aussi de simplifier l'écriture. Quelques exemples : :<br> |
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[EN] On the expressions above, it would also simplify the writing. Some examples : |
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* Asi / ainsi / thus :<br> |
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$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right) |
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+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$ |
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$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x} |
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+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$ |
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$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$<br> |
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se convertiría en / deviendrait / would become :<br> |
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$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$ |
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$`=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right]+d\left[B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$ |
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$`=dA(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} |
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+d(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}+ B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$ |
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* Asi / ainsi / thus :<br> |
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$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||} |
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+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$<br> |
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se convertiría en / deviendrait / would become :<br> |
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$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\overrightarrow{OM}_{||}(t) |
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+d\overrightarrow{OM}_{\perp}(t)`$<br> |
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con / avec / with <br> |
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$`\overrightarrow{OM}_{||}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{||}})\,\overrightarrow{e_{||}}\quad`$ and |
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$`\quad\overrightarrow{OM}_{\perp}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{\perp}})\,\overrightarrow{e_{\perp}}`$ |
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