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01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/01.maxwell-equations/01.maxwell-equations-main/textbook.fr.md

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+title: 'The 4 Maxwell's equations'
+published: false
+visible: true
+---
+
+### Les équations de Maxwell
+
+Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique
+en tout point de l'espace.
+
+
+$`div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}`$
+
+$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$
+
+$`div \overrightarrow{B} = 0`$
+
+$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$
+
+$`\rho`$ est la densité volumique de charge totale. 
+$`\overrightarrow{j}`$ est la densité volumique de courant totale. 
+
+### Équations de Maxwell et conservation de la charge
+
+
+### Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
+
+
+### Équations de Maxwell et énergie électromagnétique
+
+
+### Complément à l'électromagnétisme de Maxwell
+
+
+### Le spectre électromagnétique
+
+
+### Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel
+
+#### équation d'onde simple
+
+$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
+
+de solution
+
+#### équation d'onde amortie
+
+$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=
+\beta \; \dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial t}`$
+
+où $`\beta`$ est le terme d'amortissement
+
+de solution
+
+L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
+
+$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
+
+
+### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
+(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")
+
+Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
+$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
+$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
+de Maxwell :
+
+
+*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
+et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
+des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
+je peux écrire :
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
+-\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
+<br><br>
+$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
+=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+<br><br>
+
+* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$
+
+La reconstruction de 
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
+donne :
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
+\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
+
+ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
+
+$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
+\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$