diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/main/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/main/textbook.fr.md index f5f20579c..d8076b291 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/main/textbook.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/main/textbook.fr.md @@ -153,7 +153,8 @@ _other proposal, or improve in the text: _ * *COOSYS-120* -Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les +[FR] +(CME): Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. **$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** @@ -166,7 +167,8 @@ Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**uni * *COOSYS-130* -Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. +[FR] +(CME): Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. Si le point est un point quelconque, on simplifie : @@ -176,7 +178,8 @@ $`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** * *COOSYS-140* -**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : +[FR] +(CME): **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : **$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** @@ -189,7 +192,8 @@ $`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** * *COOSYS-150* -Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon +[FR] +(CME): Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : @@ -207,6 +211,8 @@ $`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** * *COOSYS-160* +[FR] +(CME): !!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : !!!! !!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. @@ -243,7 +249,8 @@ $`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$** * *COOSYS-170* -Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon +[FR] +(CME): Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : @@ -266,7 +273,8 @@ $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\ove * *COOSYS-180* -Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. +[FR] +(CME): Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. @@ -283,7 +291,8 @@ base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ * *COOSYS-190* -[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, +[FR] +(CME): Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :
@@ -296,7 +305,8 @@ Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ s * *COOSYS-200* -Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
+[FR] +(CME): Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :
@@ -320,7 +330,8 @@ Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fon * *COOSYS-220* -La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +[FR] +(CME): La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ @@ -334,7 +345,8 @@ $`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\o * *COOSYS-230* -L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en +[FR] +(CME): L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités $`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : @@ -353,7 +365,8 @@ $`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ * *COOSYS-240* -[FR] et sa norme el l'élément de longueur : +[FR] +(CME): et sa norme el l'élément de longueur : $`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ @@ -374,7 +387,8 @@ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ * *COOSYS-250* -Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +[FR] +(CME): Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, $`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et $`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. @@ -388,7 +402,8 @@ est simplement le produits de leurs normes. * *COOSYS-260* -Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : +[FR] +(CME): Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : \- dans un plan $`z = cst`$ :
$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**
@@ -401,7 +416,8 @@ $`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz * *COOSYS-270* -et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : +[FR] +(CME): et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : $`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ @@ -425,7 +441,8 @@ $`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ * *COOSYS-280* -Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : +[FR] +(CME): Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : $`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** @@ -437,7 +454,7 @@ $`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$* * *COOSYS-285* -Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
+[FR] Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ @@ -470,7 +487,7 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri * *COOSYS-300* : -Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$ +[FR] Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$ \- **1 point $`O`$ origine** de l'espace.
\- **3 axes** nommés **$`Ox , Oy , Oz`$**, se coupant en $`O`$, **orthogonaux 2 à 2**.
\- **1 unité de longueur**.
@@ -479,7 +496,8 @@ Cadre de référence : système cartésien de coordonnées $`(O, x, y, z)`$ * *COOSYS-310* : -Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ : +[FR] +(CME): Coordonnées cylindriques $`(\rho , \varphi , z)`$ : \- Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. @@ -495,7 +513,8 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un * * *COOSYS-320* -*Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$. +[FR] +(CME): *Remarque :* Les deux premières coordonnées cylindriques d'un point $`M`$ sont les coordonnées polaires du point $`m_{xy}`$ dans le plan $`xOy`$ (plan $`z=0`$). Ce sont aussi les coordonnées polaires du point $`M`$ dans le plan $`z=z_M`$. \- Les coordonnées **$`\rho`$ **et **$`z`$** sont des *longueurs*, dont l'*unité S.I.* est le mètre, de symbole *$`m`$*.
\- La coordonnée **$`\varphi`$** est un angle, dont l'*unité S.I.* est le radian, de symbole *$`rad`$*. @@ -506,7 +525,8 @@ le sens de rotation étant tel que le trièdre *$`(Ox , Om_{xy}, Oz)`$* est un * * *C0OSYS-330* -\- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.
+[FR] +(CME): \- Tout point $`M`$ de l'espace, excepté le point origine $`O`$, est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cylindriques.
\- Au point origine $`O`$ est attribué les coordonnées cylindriques $`(0 , 0 , 0)`$. \- Escribimos / on écrit / we write : $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$ @@ -519,7 +539,8 @@ $`M(\rho , \varphi , z)`$, **$`\mathbf{M(\rho , \varphi , z)}`$** * *COOSYS-340* -\- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment +[FR] +(CME): \- **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cylindriques variant indépendamment dans les domaines $`\rho\in\mathbb{R_+^{*}}=[0 ,+\infty[ `$ , $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$. @@ -530,6 +551,8 @@ $`\varphi\in[0,2\pi[`$ et $`z\in\mathbb{R}=]-\infty ,+\infty\,[`$. * *COOSYS-350* +[FR] +(CME): !
! ! Notations sur les ensembles de nombres réels