1 changed files with 344 additions and 0 deletions
@ -0,0 +1,344 @@ |
|||||
|
--- |
||||
|
title: Coordenadas cartesianas |
||||
|
published: true |
||||
|
routable: false |
||||
|
visible: false |
||||
|
lessons: |
||||
|
- slug: cartesian-coordinates-linear |
||||
|
order: 1 |
||||
|
--- |
||||
|
|
||||
|
!!!! *CURSO EN CONSTRUCCIÓN :* <br> |
||||
|
!!!! Publicado pero invisible: no aparece en la estructura de árbol del sitio m3p2.com. Este curso está *en construcción*, *no está aprobado por el equipo pedagógico* en esta etapa. <br> |
||||
|
!!!! Documento de trabajo destinado únicamente al equipo pedagógico. |
||||
|
|
||||
|
<!--MétaDonnée : INS-1°année_--> |
||||
|
|
||||
|
<!-- Parte principale $`\longleftarrow`$ Coordenadas cartesianas N3 --> |
||||
|
|
||||
|
--------------------------------- |
||||
|
|
||||
|
<!--travail commun : |
||||
|
https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md |
||||
|
--> |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
### Coordenadas cartesianas |
||||
|
|
||||
|
#### Définition des coordonnées et domaines de définition |
||||
|
|
||||
|
* *CS100* |
||||
|
|
||||
|
Système de coordonnées cartésiennes :<br> |
||||
|
\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.<br> |
||||
|
\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.<br> |
||||
|
\- **1 unité de longueur**. |
||||
|
|
||||
|
--------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS110* |
||||
|
|
||||
|
Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$ |
||||
|
|
||||
|
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, |
||||
|
et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br> |
||||
|
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br> |
||||
|
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
--------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS120* |
||||
|
|
||||
|
Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les |
||||
|
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. |
||||
|
|
||||
|
**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** |
||||
|
|
||||
|
Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**. |
||||
|
|
||||
|
**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** |
||||
|
|
||||
|
--------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS130* |
||||
|
|
||||
|
Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. |
||||
|
|
||||
|
Si le point est un point quelconque, on simplifie : |
||||
|
|
||||
|
$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** |
||||
|
|
||||
|
---------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS140* |
||||
|
|
||||
|
**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : |
||||
|
|
||||
|
**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
#### Base vectorielle et repère de l'espace associés |
||||
|
|
||||
|
##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée |
||||
|
|
||||
|
--------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS150* |
||||
|
|
||||
|
Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon |
||||
|
continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment |
||||
|
de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, |
||||
|
la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : |
||||
|
|
||||
|
$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ |
||||
|
$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$ , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$** |
||||
|
|
||||
|
de même |
||||
|
|
||||
|
$`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**<br> |
||||
|
|
||||
|
$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** |
||||
|
|
||||
|
---------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS160* |
||||
|
|
||||
|
!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : |
||||
|
!!!! |
||||
|
!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. |
||||
|
!!!! |
||||
|
!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie. |
||||
|
!!!! |
||||
|
!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$ |
||||
|
!!!! |
||||
|
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. |
||||
|
|
||||
|
<!-- |
||||
|
* *C60* : |
||||
|
|
||||
|
[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$ |
||||
|
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
||||
|
el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement : |
||||
|
|
||||
|
[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$ |
||||
|
fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
||||
|
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement : |
||||
|
|
||||
|
[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes |
||||
|
an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br> |
||||
|
the scalar line element $`dl`$ writes simply : |
||||
|
|
||||
|
$`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$** |
||||
|
--> |
||||
|
|
||||
|
##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée |
||||
|
|
||||
|
* *CS170* |
||||
|
|
||||
|
Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon |
||||
|
infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement |
||||
|
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur |
||||
|
tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : |
||||
|
|
||||
|
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ |
||||
|
|
||||
|
Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens |
||||
|
de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : |
||||
|
|
||||
|
$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$ |
||||
|
|
||||
|
de même : |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, |
||||
|
$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$<br> |
||||
|
$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, |
||||
|
$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
#### Base et repère cartésiens |
||||
|
|
||||
|
* *CS180* |
||||
|
|
||||
|
Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. |
||||
|
|
||||
|
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. |
||||
|
En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la |
||||
|
**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**. |
||||
|
|
||||
|
$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br> |
||||
|
$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ |
||||
|
|
||||
|
--------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS190* |
||||
|
|
||||
|
[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, |
||||
|
est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. |
||||
|
|
||||
|
En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br> |
||||
|
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br> |
||||
|
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression |
||||
|
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br> |
||||
|
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. |
||||
|
|
||||
|
------------------ |
||||
|
|
||||
|
* *CS200* |
||||
|
|
||||
|
Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br> |
||||
|
$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.<br> |
||||
|
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br> |
||||
|
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br> |
||||
|
\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br> |
||||
|
\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br> |
||||
|
\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br> |
||||
|
\- ... |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
forment le repère cartésien |
||||
|
$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. |
||||
|
|
||||
|
Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$. |
||||
|
Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
#### Déplacement, surface et volume élémentaires |
||||
|
|
||||
|
##### Vecteur déplacement élémentaire |
||||
|
|
||||
|
* *CS220* |
||||
|
|
||||
|
La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ |
||||
|
est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ |
||||
|
|
||||
|
de même : |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$<br> |
||||
|
$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
-------------------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS230* |
||||
|
|
||||
|
L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en |
||||
|
coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point |
||||
|
$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités |
||||
|
$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : |
||||
|
|
||||
|
$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ |
||||
|
$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ |
||||
|
$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ |
||||
|
$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$** |
||||
|
**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
||||
|
**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
||||
|
|
||||
|
##### Scalaire déplacement élémentaire |
||||
|
|
||||
|
* *CS240* |
||||
|
|
||||
|
[FR] et sa norme el l'élément de longueur : |
||||
|
|
||||
|
$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ |
||||
|
|
||||
|
$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$ |
||||
|
$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot |
||||
|
(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$ |
||||
|
$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ |
||||
|
$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$ |
||||
|
$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ |
||||
|
$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ |
||||
|
$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ |
||||
|
$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ |
||||
|
$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ |
||||
|
|
||||
|
##### Surfaces élémentaires |
||||
|
|
||||
|
* *CS250* |
||||
|
|
||||
|
Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, |
||||
|
$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et |
||||
|
$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. |
||||
|
|
||||
|
$`\Longrightarrow`$ : |
||||
|
|
||||
|
L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime |
||||
|
simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs |
||||
|
est simplement le produits de leurs normes. |
||||
|
|
||||
|
------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS260* |
||||
|
|
||||
|
Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : |
||||
|
|
||||
|
\- dans un plan $`z = cst`$ :<br> |
||||
|
$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**<br> |
||||
|
\- dans un plan $`y = cst`$ :<br> |
||||
|
$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**<br> |
||||
|
\- dans un plan $`x = cst`$ :<br> |
||||
|
$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** |
||||
|
|
||||
|
-------------------- |
||||
|
|
||||
|
* *CS270* |
||||
|
|
||||
|
et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ |
||||
|
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ |
||||
|
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ |
||||
|
$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ |
||||
|
$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ |
||||
|
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ |
||||
|
$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ |
||||
|
$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ |
||||
|
$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ |
||||
|
$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ |
||||
|
|
||||
|
##### Volume élémentaire |
||||
|
|
||||
|
* *CS280* |
||||
|
|
||||
|
Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : |
||||
|
|
||||
|
$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** |
||||
|
|
||||
|
|
||||
|
#### Vecteur position |
||||
|
|
||||
|
* *CS285* |
||||
|
|
||||
|
Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :<br> |
||||
|
[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:<br> |
||||
|
|
||||
|
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ |
||||
|
|
||||
|
**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$** |
||||
|
|
||||
|
#### Vecteur vitesse |
||||
|
|
||||
|
* *CS290* |
||||
|
|
||||
|
#### Vecteur accélération |
||||
|
|
||||
|
* *CS295* |
||||
Write
Preview
Loading…
Cancel
Save
Reference in new issue