From 4213956c21d4d3a4650f3546638b88a022af8f41 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Sat, 11 Apr 2020 10:46:32 +0200 Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md --- .../main/textbook.fr.md | 386 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 386 insertions(+) diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md index 72f22cb26..07011311d 100644 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md +++ b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md @@ -427,6 +427,392 @@ ce qui correspond à une *onde stationnaire atténuée*, encore appelée **onde * **Si $`k^2`$ complexe** +Dans ce cas général, *$`\underline{k}`$ sera un complexe* tel que +$`\underline{k}=\pm (k^{'} + i k^{''})`$, +avec $`k^{'}(\omega)`$ et $`k^{''}(\omega) \in \Re^+`$ ; le signe de $`\underline{k}`$ +sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra nécessairement conduire +à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à mesure que l'onde s'y enfonce +(s'il n'y a aucune source extérieure apportant de l'énergie à l'onde). En optant ici +pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : + +$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{\underline{k}}.\vec{r}-\omega t)}`$ + +soit + +**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})} \exp{i(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)}`$** + +On obtient ainsi une *expression réelle du champ* sous la forme : + +*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)} \, \text{,}`$* + +![](electromagnetic-wave-media-attenuation.jpg) + +Lorsque $`\underline{k}`$ est complexe, \emph{i.e.} lorsque **l'amplitude de l'onde +est atténuée**, ce qui caractérise un **milieu dissipatif**. + + +##### Vitesse de phase, vitesse de groupe, indice + +La **vitesse de phase** *d'une OPPM se propageant dans un M.L.H.I.* est définie par : + +**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega}{k\,'(\omega)}.`$** + +Si *$`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$* alors cela caractérise un **milieu +dispersif** . Ceci revient à dire que la fonction $`k\,'(\omega)`$ n'évolue pas +linéairement avec $`\omega`$. + +Dans le cas d'un milieu dispersif, un paquet d'OPPMs de pulsations différentes +centrées autour d'une valeur de référence $`\omega_0`$ s'étalera au fur et à mesure +qu'il progresse dans le milieu, la vitesse de propagation $`v_\varphi`$ de chaque OPPM +étant différente. Si on souhaite caractériser la vitesse de propagation du paquet d'OPPMs, +il faut utiliser la notion de vitesse de groupe au "point" $`\omega_0`$, définie par : + +\begin{equation} +v_g = \dfrac{d \omega}{dk\,'}. +\end{equation} + +Si $`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$, alors $`v_g`$ l'est aussi nécessairement. + +On peut enfin définir l'**indice complexe du milieu** par : + +**\begin{equation} +\underline{n}(\omega) = n\,' (\omega) + i~n\,''(\omega) = \dfrac{c \underline{k}}{\omega} +\end{equation}** + +La *partie réelle $`n\,'`$* correspond à l'**indice de réfraction** ou indice optique +$`n_{opt}`$, et la *partie imaginaire $`n\,''`$* à l' **indice d'extinction** du milieu. +D'après ce qu'on vient de voir, on peut aussi définir l'indice de réfraction de la +façon suivante : + +**$`\quad n\,' (\omega) = n_{opt}(\omega) = \dfrac{c}{v_{\phi}(\omega)}`$** + +##### Courbe de dispersion + +Pour faciliter l'analyse rapide du comportement d'un milieu vis-à-vis de la propagation +d'une OPPM, on trace la **courbe de dispersion du milieu $`\omega (k\,')`$**. Celle-ci +n'est bien sûr définie que lorsqu'il peut y avoir propagation, c'est-à-dire lorsque +$`k\,'`$ est non nul. Cette courbe *permet de distinguer* très rapidement les +**bandes passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles $`k^2`$ est réel positif +ou complexe), des **bandes non-passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles +$`k^2`$ est réel négatif). La courbe de dispersion d'un milieu est de plus toujours +comparée à celle du vide pour laquelle on a $`\omega = c\,k$. Il s'agit dans ce cas +d'une droite de pente $`c`$. + +![](electromagnetic-waves-media-dispersion2.jpg) + +Par définition, la **vitesse de phase $`v_\varphi (\omega_1)`$** est donnée par la +*pente du segment reliant l'origine au point $`M_1(k_{1}^{'},\omega_1)`$ de la courbe +de dispersion*. En effet, celle-ci vaut bien : + +**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega_1}{k_{1}^{'}} \, \text{.}`$** + +Il est donc très facile d'estimer l'évolution de $`v_\varphi`$ en fonction de +$`\omega`$, en suivant l'évolution de cette pente. + +De même, la **vitesse de groupe $`v_{g}(\omega_2)`$** est par définition donnée +par la *pente de la tangente à la courbe de dispersion au point $`M_2(k_{2}',\omega_2)`$.* +En effet : + +**$`\quad v_{g}(\omega_2) = \left(\dfrac{d \omega}{d k\,'}\right)_{M_2} = \omega\,'(k\,'_2)`$** + +Sachant cela, il est alors aisé de déterminer si le milieu est dispersif (i.e si +$`v_\varphi`$ varie en fonction de $`\omega`$), et de comparer $`v_\varphi`$ et $`v_g`$ +en fonction $`c`$, la vitesse de phase et de groupe de toute OPPM dans le vide. + + +#### Cas d'un M.L.H.I. diélectrique + +##### Equation de dispersion + +On se place maintenant dans le cas d'un **milieu L.H.I. diélectrique** tel que +**$`\sigma = 0`$, $`\mu = \mu_0`$** et +**$`\underline{\epsilon}(\omega) = \epsilon\,'(\omega) + i\epsilon\,''(\omega)`$**. +L'équation de dispersion se réduit alors à : + +**\begin{equation} +\quad\underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} +\end{equation}** + +ou encore : + +**\begin{equation} +\quad\underline{k}^2=\dfrac{\omega^2}{c^2} \underline{\epsilon}_r \, \text{,} +\end{equation}** + +avec **$`\underline{\epsilon}_r (\omega) = \epsilon^{'}_r(\omega) + i\epsilon^{''}_r(\omega) = \dfrac{\underline{\epsilon}}{\epsilon_0}`$.** + +L'étude de la propagation d'une OPPM dans ce diélectrique revient à étudier les +variations de $`\underline{\epsilon}(\omega)$. + +##### Diélectrique non-absorbant, et indice optique + +Lorsque le **diélectrique est non-absorbant**, cela se traduit par une *constante +diélectrique réelle* pour toutes valeurs de $`\omega`$ (soit $`\epsilon\,''(\omega)=0`$, +$`\forall \omega`$).
+On en déduit que la **propagation** a bien lieu **sans atténuation**, caractérisée par : + + + +**$`\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c}`$**, + +**$`\quad v_\varphi \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}`$**, + +**$`\quad v_g \, = \, \dfrac{ 2c\,\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}{\omega\cdot \epsilon_r'(\omega)+2\;\epsilon_r(\omega)}`$** + +L'**indice optique** s'écrit alors **$`n_{opt}(\omega) = \sqrt{\epsilon_r (\omega)}`$**. + +La **longueur d'onde** de l'OPPM dans ce milieu vaut +**$`\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\textrm{opt}}}`$**, où $`\lambda_0 = c/\nu`$ est +la longueur d'onde dans le vide. + +Si on note $`\vec{u}`$ le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens de +propagation, le champ magnétique $`\vec{B}`$ s'écrit : + +\begin{equation} +\quad\underline{\vec{B}}=\dfrac{n_{opt}}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E}). +\end{equation} + +On en déduit, en notation réelle, que : + + + +$`\quad u \, = \, \epsilon E^2`$ + +$`\quad \vec{\Pi} \, = \, c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u}`$ + +soit + +$`\quad \vec{\Pi} \, = \, v_\varphi u \, \vec{u}`$ + +$`\quad \langle \vec{\Pi}\rangle_T \, = \, \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}`$ + + +##### Diélectrique absorbant + +Un **diélectrique absorbant** est un diélectrique dans lequel le *vecteur polarisation +$`\vec{P}(t)`$* *suit les variations de $`\vec{E}(t)`$ avec un certain retard $`\varphi_p`$* +, de sorte que : + + +**$`\quad \underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)`$** + +avec + +**$`\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}`$** + + + +En notation réelle, on obtient finalement pour l'induction électrique : + +$`\displaystyle \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0 \cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \left( \epsilon_r' \; cos (\overrightarrow{k'}.\overrightarrow{r} - \omega t) - \epsilon_r'' \; sin (\overrightarrow{k'} \,\overrightarrow{r}-\omega t) \right) \overrightarrow{E}_0`$ + +avec + +$`\quad\epsilon_r' (\omega) = 1 + \chi_e' (\omega) \; \text{ et } \; \epsilon_r''(\omega) = \chi_e'' (\omega)`$ + +On peut aussi écrire l'induction électrique sous la forme : + +$`\displaystyle \quad \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0\;\sqrt{\epsilon_r'^2+epsilon_r''^2}\cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \;cos\,\left(\overrightarrow{k'} .\overrightarrow{r}-\omega. t+\phi_D) \right) \overrightarrow{E}_0`$, + +avec + +$`\quad\tan{\varphi_D}=\dfrac{\epsilon^{''}_r}{\epsilon^{'}_r}`$ + + +Comme $`\vec{D}`$ est nécessairement en retard sur $`\vec{E}`$, $`\epsilon_r'' (\omega)`$ +est positive. Pour les très faibles fréquences cependant ($\omega \rightarrow 0$), +le retard à la polarisation tend vers $`0`$ donc $`\epsilon_r''`$ tend vers $`0`$ +et $`\epsilon_r'`$ tend vers $`(1+\chi'_{e}(\omega))`$. + +##### Indice complexe + +L'équation de dispersion s'écrit à nouveau : + +\begin{equation} +\quad \underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} +\end{equation} + +ce qui se décompose en un système de 2 équations à 2 inconnues lorsqu'on identifie +les parties réelles et imaginaires : + +$`\left\{ \begin{array}{ccc} +k'^{2} - k''^{2} \, = \, \mu_0\, \epsilon' \omega^2 \\ +2\, k' k'' \, = \, \mu_0\, \epsilon'' \omega^2 +\end{array} +\right.`$ + +L'indice complexe $`\underline{n}`$ du milieu est défini par : + +$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \underline{\epsilon}_{r}\quad`$ , ou encore +$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \dfrac{c^2 \underline{k}^2}{\omega ^2}`$ + +Dans ces conditions, le système d'équations à résoudre devient : + +$`\left\{ \begin{array}{ccc} +n'^{2} - n''^{2} \, = \, \epsilon_r' \\ +2 \,n' n'' \, = \, \epsilon_r' +\end{array} +\right.`$ + +La vitesse de phase $`v_\varphi`$ se définit comme : +$`v_\varphi = \dfrac{\omega}{k'} = \dfrac{c}{n'}`$ + +**Définition :** + +La **partie réelle $`n'`$** est appelée *indice de réfraction* du milieu alors que +la **partie imaginaire** correspond à l' *indice d'extinction*. + + +##### Propagation de l'énergie + +Le vecteur de Poynting associé à une OPPM qui se propage selon $`(Ox)`$ vers les +$`x`$ croissants, dans ce diélectrique absorbant est le suivant : + +$\vec{\Pi}=\dfrac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_0}=c \,\epsilon_0\,{E_0}^2 \,e^{-2k''x}`$ +$`\times \left[ n^{'} \cos^2 (k'x-\omega t) - n'' \sin (k'x-\omega t)\right.`$ +$`\left.\,cos (k'x-\omega t)\right]~\vec{e}_x `$, + +et sa valeur moyenne associée : + +$`\displaystyle\langle \vec{\Pi} \rangle_T =c n' \frac{\epsilon_0 {E_0}^2}{2} \;e^{\left(-2n'' \dfrac{\omega}{c}x\right)}~\vec{e}_x `$ + +La décroissance de la puissance propagée par l'onde est caractérisée par le coefficient +d'extinction $`\beta`$ (ou coefficient d'atténuation) du milieu : +$`\beta = 2 k'' = 2 n'' \dfrac{\omega}{c}`$. + +#### Cas d'un M.L.H.I. très bon conducteur + +##### Temps de relaxation d'un bon conducteur + +D'après l'équation de conservation de la charge et la loi d'Ohm locale dans un +conducteur, la densité volumique de charge libre $`\rho_{\textrm{libre}}`$ vérifie +l'équation différentielle suivante : + +$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} \,+ \,div\, \vec{j}_{libre} = 0`$ + +avec $`\quad\vec{j}_{libre}=\sigma \vec{E}\quad`$ et +$`\quad div\, \vec{E}=\dfrac{\rho_{libre}}{\epsilon_0}`$ + +d'où : + +$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_{libre} = 0`$ + +Si on suppose une accumulation de charge de densité non-nulle $`\rho_0`$ à l'instant +$`t = 0`$ dans le métal, celle-ci disparaîtra exponentiellement selon la loi : + +$`\rho_{libre} = \rho_0\;e^{-\frac{t}{\tau}}\quad`$ avec $`\quad \tau = \dfrac{\epsilon_0}{\sigma}`$ + +Dans le cas du cuivre par exemple où $`\sigma = 0,57.10^{8}~\Omega^{-1}\,m^{-1}`$, +$`\tau = 1,5.10^{-19}\,s`$. Pour des temps si courts, la loi d'ohm locale n'est plus +valable car la conductivité est définie par l'intermédiaire du temps de libre parcours +moyen des porteurs de charge entre 2 chocs qui est de l'ordre de $`10^{-14}\,s `$. +A l'échelle mésoscopique, nous travaillons cependant avec des OPPMs de période temporelle +$`T`$ supérieure à $`10^{-14}\,s`$. Ainsi, comme $`\tau \gg T`$, nous pourrons considérer +que $`\rho_{libre} = 0`$ à tout instant dans le bon conducteur. + +De plus, la comparaison des amplitudes des densités volumiques de courant de charges +libres et de courant de déplacement conduit à : + +\begin{equation} +\dfrac{\left| \underline{\overrightarrow{j}} \right|}{\left| \epsilon_0 \dfrac{\partial \underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t} \right|} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 \omega} = 2 \pi \dfrac{T}{\tau} \ll 1 +\end{equation} + +Ceci montre que nous pouvons négliger dans ce cas la densité volumique de courant +de déplacement. + +##### Equation de dispersion et profondeur de pénétration + +Les 4 équations de Maxwell s'écrivent alors : + + +$`\quad div\, \vec{B} \, = \, 0 `$ + +$`\quad rot\, \vec{E} \, = \, -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}`$ + +$`\quad div\, \vec{E} \, = \, 0 `$ + +$`\quad rot\, \vec{B} \, = \, \mu_0 \,\vec{j}_{libre} = \mu_0 \,\sigma\, \vec{E} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 c^2}\, \vec{E}`$ + + +Ceci conduit à l'équation de propagation pour le champ électrique suivante (en notation complexe) : + +\begin{equation} +\Delta \underline{\vec{E}} + i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2} \underline{\vec{E}} = \vec{0}. +\end{equation} + +D'où l'équation de dispersion du milieu : + +\begin{equation} +\underline{k}^2 = i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2}. +\end{equation} + +Ainsi $`\underline{k}`$ s'écrit pour une onde se propageant dans le sens "positif" : + +\begin{equation} +\underline{k} = \dfrac{1+i}{\delta} \, \text{ avec } \delta = \sqrt{\dfrac{2 \epsilon_0 c^2}{\sigma \omega}}. +\end{equation} + +$\delta`$ est appelé la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal, exprimée +en m. On est donc dans le cas d'une propagation avec atténuation de l'OPPM avec comme +vitesse de phase $`v_\varphi = \omega \delta`$. L'indice de réfraction du milieu +est donc défini par $`n' = \dfrac{c}{\omega \delta}`$. Ces 2 dernières grandeurs +dépendent de la pulsation de l'OPPM donc le milieu est dispersif. + +##### Modèle du métal parfait + +Pour un bon conducteur, la profondeur de pénétration $`\delta`$ n'excède généralement +pas quelques mm aux fréquences les plus basses comme on peut le voir dans le tableau +donné ci-dessous pour le cuivre.\\ + +----------------- + | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Fréquence | $`\lambda`$ | $`\delta`$ | $`v_\varphi`$ | $`n'`$ | +| 100 Hz | 3000 km | 6,5 mm | 4,1 m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^7`$ | +| 10 GHz | 3 cm | 0,65 $`\mu`$m | 4,1 10$`^4`$ m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^3`$ | +-------------- + +_Valeurs à deux fréquences typiques de la profondeur de pénétration et des grandeurs +associées pour le cuivre massif._ + + +Ceci nous permet de justifier l'utilisation du modèle du métal parfait, c'est-à-dire +un métal de conductivité infinie. Dans ce cas, $`\tau`$ tend vers $`0$, ainsi que $`\delta$. +L'OPPM est donc instantanément, et totalement atténuée dès son entrée dans le métal +parfait. On considère alors qu'en tout point du métal parfait le champ électrique $`\vec{E}`$ +est nul (et par conséquent le champ magnétique $`\vec{B}`$ aussi), et qu'il ne peut +exister d'onde é.m. L'utilisation de ce modèle rend bien compte, -comme nous allons +le voir au chapitre suivant-, de la très bonne réflectivité des métaux (utilisés +comme miroir de ce fait). + +A l'interface de 2 matériaux dont un modélisé par un métal parfait, la réflexion +d'une OPPM génère une densité surfacique de courant non nulle sur la surface. +Ce qui reste en accord avec une loi d'Ohm locale pour laquelle $`\sigma`$ est +infinie et $`\vec{E}`$ est égal à $`\vec{0}$. + + +