diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md index a02c19381..601d2bf5e 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md @@ -12,15 +12,22 @@ _Coordonnées cartésiennes N3_ #### Coordonnées cartésiennes -##### Définition des coordonnées et domaines de définition - +### Coordonnées cartésiennes + +#### Définition des coordonnées et domaines de définition + +* *COOSYS-100* Système de coordonnées cartésiennes :
\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.
\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.
\- **1 unité de longueur**. +--------------------- + +* *COOSYS-110* + Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$ Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, @@ -28,6 +35,11 @@ et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projet ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. + +--------------------- + +* *COOSYS-120* + Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. @@ -37,22 +49,32 @@ Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**uni **Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** +--------------------- + +* *COOSYS-130* + Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. Si le point est un point quelconque, on simplifie : $`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** +---------------------- + +* *COOSYS-140* + **Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : **$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** -##### Base vectorielle et repère de l'espace associés +#### Base vectorielle et repère de l'espace associés -__*Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée*__ +##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée - +--------------------- + +* *COOSYS-150* Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment @@ -68,6 +90,10 @@ $`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**
$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** +---------------- + +* *COOSYS-160* + !!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : !!!! !!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. @@ -79,7 +105,7 @@ $`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** !!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. -__*Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée*__ +##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée - +* *COOSYS-170* Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : -$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : @@ -114,16 +140,17 @@ $`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrigh de même : -$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, +$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, $`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
-$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, +$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ -##### Base et repère cartésiens - +#### Base et repère cartésiens -Les vecteurs déplacement élémentaire $`\partial\overrightarrow{OM}_x , \partial\overrightarrow{OM}_y , \partial\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. +* *COOSYS-180* + +Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. @@ -136,7 +163,9 @@ $`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\p $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ - +--------------------- + +* *COOSYS-190* [FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. @@ -144,13 +173,12 @@ est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base v En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression -$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ -dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. -! *Remarque :* -! En coordonnées cartésiennes, et *uniquement en coordonnées cartésiennes*, les composantes du vecteur -position $`\overrightarrow{OM}`$ de tout point $`M`$ sont ses coordonnées cartésiennes.
-! Cela n'est pas vraie dans les autre systèmes de coordonnées. +------------------ + +* *COOSYS-200* Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.
@@ -170,25 +198,25 @@ Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fon +#### Déplacement, surface et volume élémentaires -##### Déplacement, surface et volume élémentaires - -__*Vecteur déplacement élémentaire*__ +##### Vecteur déplacement élémentaire - +* *COOSYS-220* -La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : -$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ +$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ de même : -$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
-$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ +$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ +-------------------------------- - +* *COOSYS-230* L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point @@ -196,7 +224,7 @@ $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des qu $`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : $`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ -$`=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ $`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ $`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ @@ -205,8 +233,9 @@ $`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ **$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** **$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** -__*Scalaire déplacement élémentaire*__ +##### Scalaire déplacement élémentaire +* *COOSYS-240* [FR] et sa norme el l'élément de longueur : @@ -225,21 +254,23 @@ $`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right] $`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ $`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ -__*Surfaces élémentaires*__ +##### Surfaces élémentaires - +* *COOSYS-250* -Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et -$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. +Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. $`\Longrightarrow`$ : -L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera -simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs -sera simplement le produits de leurs normes. +L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime +simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs +est simplement le produits de leurs normes. + +------------------- - +* *COOSYS-260* Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : @@ -250,31 +281,33 @@ $`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z= \- dans un plan $`x = cst`$ :
$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** - +-------------------- + +* *COOSYS-270* et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : -$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$ +$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ $`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ $`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ $`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ $`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ $`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ $`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ -__*Volume élémentaire*__ +##### Volume élémentaire - +* *COOSYS-280* Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : @@ -283,7 +316,7 @@ $`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$* #### Vecteur position - +* *COOSYS-285* Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:
@@ -294,5 +327,8 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri #### Vecteur vitesse +* *COOSYS-290* + #### Vecteur accélération +* *COOSYS-295*