diff --git a/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/10.main/textbook.fr.md index 49cadae82..4db05ea48 100644 --- a/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/10.main/textbook.fr.md +++ b/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/10.main/textbook.fr.md @@ -27,3 +27,323 @@ lessons: https://gitlab.m3p2.com/m3p2/courses/blob/master/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/20.reference-frames-coordinate-systems/textbook.es.md --> + +### Coordonnées cartésiennes + +#### Définition des coordonnées et domaines de définition + +* *CS100* + +Système de coordonnées cartésiennes :
+\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.
+\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.
+\- **1 unité de longueur**. + +--------------------- + +* *CS110* + +Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$ + +Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, +et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...).
+ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :
+Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. + + +--------------------- + +* *CS120* + +Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les +distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. + +**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** + +Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**. + +**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** + +--------------------- + +* *CS130* + +Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. + +Si le point est un point quelconque, on simplifie : + +$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** + +---------------------- + +* *CS140* + +**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : + +**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** + + +#### Base vectorielle et repère de l'espace associés + +##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée + +--------------------- + +* *CS150* + +Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon +continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment +de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, +la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : + +$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ +$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$ , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$** + +de même + +$`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**
+ +$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** + +---------------- + +* *CS160* + +!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : +!!!! +!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. +!!!! +!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie. +!!!! +!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$ +!!!! +!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. + + + +##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée + +* *CS170* + +Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon +infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur +tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : + +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ + +Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens +de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : + +$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$ + +de même : + +$`d\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, +$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
+$`d\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, +$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ + + +#### Base et repère cartésiens + +* *CS180* + +Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. + +Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. +En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la +**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**. + +$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$
+$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$ + +$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ +base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ + +--------------------- + +* *CS190* + +[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, +est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. + +En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :
+\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.
+\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression +$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. + +------------------ + +* *CS200* + +Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
+$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.
+$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :
+\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I.
+\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I.
+\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I.
+\- ... + + +forment le repère cartésien +$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. + +Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$. +Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio + + + +#### Déplacement, surface et volume élémentaires + +##### Vecteur déplacement élémentaire + +* *CS220* + +La norme du vecteur $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : + +$`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ + +de même : + +$`d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ + +-------------------------------- + +* *CS230* + +L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en +coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point +$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités +$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : + +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ +$`=d\overrightarrow{OM}_x+d\overrightarrow{OM}_y+d\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ +$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ + +**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$** +**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** +**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** + +##### Scalaire déplacement élémentaire + +* *CS240* + +[FR] et sa norme el l'élément de longueur : + +$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ + +$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$ +$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot +(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$ +$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ +$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$ +$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ +$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ +$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ +$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ +$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ +$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ +$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ + +##### Surfaces élémentaires + +* *CS250* + +Les 3 vecteurs $`d\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad d\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et +$`\quad d\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. + +$`\Longrightarrow`$ : + +L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprime +simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume défini par ces 3 vecteurs +est simplement le produits de leurs normes. + +------------------- + +* *CS260* + +Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : + +\- dans un plan $`z = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**
+\- dans un plan $`y = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**
+\- dans un plan $`x = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** + +-------------------- + +* *CS270* + +et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : + +$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_y`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ +$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ +$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ +$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ + +$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_x\land d\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ + +$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;d\overrightarrow{OM}_y\land d\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ + +##### Volume élémentaire + +* *CS280* + +Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : + +$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** + + +#### Vecteur position + +* *CS285* + +Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
+[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:
+ +$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ + +**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$** + +#### Vecteur vitesse + +* *CS290* + +#### Vecteur accélération + +* *CS295*