From 52c6ed7bb71d04d16082ff42ee6672e5a32fdf2f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Tue, 9 Feb 2021 20:52:35 +0100 Subject: [PATCH] Delete textbook.es.md --- .../10.vector-analysis/textbook.es.md | 788 ------------------ 1 file changed, 788 deletions(-) delete mode 100644 00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md deleted file mode 100644 index 3eebf574e..000000000 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/10.mathematical-tools/10.vector-analysis/textbook.es.md +++ /dev/null @@ -1,788 +0,0 @@ ---- -title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations -published : false -visible : false ---- - -!!!! *ATTENTION* : -!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé ! -!!!! Page non répertoriée - -### IMPORTANTE / IMPORTANT - -[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. -Comience cada nuevo "elemento del curso" con VA + número. Los números normalmente van -del 10 al 10. Esta notación permite insertar (21, 22, ...) elementos entre los ya -existentes, para una progresión más lógica de los elementos. -Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si -usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales -si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre
-ejemplo: - - -[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. -Commencer chaque nouvel "élément de cours" par VA+nombre. Les numéros vont normalement de 10 en 10. -Cette notation permet d'intercaler (21, 22, ...) des éléments entre ceux déjà existants, -pour une progression plus logique des éléments. -Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau* -si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles -si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre
-exemple : - -[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. Begin each -new "course element" with VA + number. The numbers normally go from 10 to 10. This notation -allows to insert (21, 22, ...) elements between those already existing, for a more logical -progression of the elements.For what is written -in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations. - Complete your usual equations if they are different from those already written. - Write your comments between
-example: - ---- - -"\
" impone un salto a la linea siguente.
-"\
" impose un retour à la ligne.
-"\
" impose a line break. - ---- - -[ES] Esta es una oportunidad, si lo deseamos, para estandarizar nuestros notación y vocabulario,
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
-o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si -queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo : - -[FR] C'est l'occasion, si nous le souhaitons, de normaliser notre notation et vocabulaire,
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
-ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si -on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple : - -[EN] This is an opportunity, if we wish, to standardize our notation and vocabulary,
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102
-or to indicate in the text the equivalence with the international standard -if we wish to keep our notations and terms. Example : - -"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$". - ---- - -[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones -matemáticas lógicas. Ejemplo : - -[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions -mathématiques logiques. Exemple : - -[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical -mathematical expressions. Example : - -$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad -\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ - -https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 - ---- - -## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations - - -### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis - -(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) - -##### VA10.Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space - -[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? - -[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens - -[EN] 2 characteritics : magnitude (or length) and direction. - -ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL : - -[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés. - -[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais. - -[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English. - -------------------------------- - -##### VA20 Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics. - -[ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*.
-_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._ - -[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.
-_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._ - -[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*.
-_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._ - -[ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: -velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. -Ellos *no se pueden comparar*. - -[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : -vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ -et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*. - -[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed -and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. -They *cannot be compared*. - -------------------------------- - -##### VA30 Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors - -[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*. - -[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* : - -[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* : - -
Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
-" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ - - -[ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*. - -[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. - -[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* : - -
Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.
-"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$ - -Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use. - -------------------------------- - -##### VA40 suma y resta de vectores / addition et soustraction de vecteurs / addition and subtraction of vectors - -------------------------------- - -##### VA50 multiplicación de un vector por un escalar / multiplication d'un vecteur par un scalaire / multiplication of a vector by a scalar - -------------------------------- - -#### VA60 vectores libres, vecores fijos / vecteurs libres, vecteurs liés / ... - -------------------------------- - -#### VA70Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space - -##### VA70-1 en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$ - -Definición / Définition : - -[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados** -en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano. - -[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** -dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan. - -[EN] ... - -Propiedad / Propriété : - -[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de -$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$. - -[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ -se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$. - -[EN] ... - -Escritura matemática / Écriture mathématique : - -[ES] - -[FR]"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$" -$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad -\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$ - -[EN] - -Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use. - -##### VA70-2 en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ - - -##### VA75 - -[ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos". -y que están *indexados por números naturales*. - -[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" -et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...) - -[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms" -and which are *indexed by natural numbers*. - -##### VA80 - -[ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman -una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este -espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. - -[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment -une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$ -de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs -$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. - -[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a -**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in -*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$. - -[ES] - -[FR]"$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$` -\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad -\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$ - -[EN] - -##### VA90 - -[ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$. -(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física -del estado sólido/estructura de materiales) :
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
-Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. - -[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$. -(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal, -en physique du solide/structure des matériaux) :
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
-Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. - -[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$. -(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state -physics/structure of materials) :
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08
-We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and orthonormal bases :
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28. - - - - -#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base - -##### VA100 Base y ??? normales / Base et repère normés / Normal base and ???? - -[ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios. - -[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires. - -[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system). - -$`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ . - -##### VA110 Base and ??? ortogonales / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base and ??? - -[ES] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ y ??? $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[FR] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[EN] Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ and ??? $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ - -[ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*. - -[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*. - -[EN] The vectors of the **orthogonal base** are *orthogonal 2 to 2 vectors* - -$`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$. - -##### VA120 Base y ??? ortonormales / base et repère orthonormés / ??? - -[ES] Base orthonormal $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ - -[FR] Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ - -[EN] ??? $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / ??? $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ - -[ES] - -[FR] orthonormé = **ortho**+*normé* :
-\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.
-\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$. - -[EN] - -[ES] - -[FR] orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$
-avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :
-$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$. - -[EN] - - -#### VA130 Regla de la mano derecha / règle de la main droite / right-hand rule - -[ES] Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman -una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio. - -[FR] ]Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment -une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace. - -[FR] - - -[ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario - y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal -$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio. - -[FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire - et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée -$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace. - -[EN] - -[ES] Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y - $`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la -línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** -para este vector $`\vec{c}`$.
-Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la -**regla de los 3 dedos de la mano derecha**. - -[FR] Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`\vec{a}`$ et - $`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire) au plan - $`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.
-Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : -la **règle des 3 doigts de la main droite**. - -[EN] - -Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use. - - -#### VA140 Repère orthonormé direct / indirect - ---------- - -#### VA200 Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur / - - -##### VA200-1 valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$ - -$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$ - -$`\Longrightarrow`$ commutativité : -$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$ - -$`\Longrightarrow`$ associativité : -$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$ -$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$ - -$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$
-$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$
-$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$
-$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ -$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$
-$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$ - -##### VA210 Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude - -[EN] magnitude = length - -$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$ - -##### VA220 Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector - -$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$ - -##### VA230 Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors - -[EN] scalar product = dot product - -$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires -$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$ -$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$ - -$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires -$`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot -||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 -\\ \, -\\ - \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}|| - \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$ - - -##### VA240 Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors - -$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$ -$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U}, -\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U}, -\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**. - -##### VA250 Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis - -"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée. -$`\quad\Longrightarrow`$ -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ -**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$** - - -##### VA260 Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis - -Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ : - -$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot -cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\ -\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} -{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} -{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$ -**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}} -{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$** -**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3} -{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$** - -[ES] El ángulo se da en valor no algebraico y se expresa en radianes: - -[FR] L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : - -[ES] The angle is given in non-algebraic value and expressed in radians: - -$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad). - ----------------------------- - -#### VA270 Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors - -Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36, -il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt -que $`\vec{U}\land\vec{V}`$. -On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant -notre différence avec la notation anglosaxonne ? -L'étudiant, dans le mode échange, verra le même cours en parallèle dans 2 langues, et donc verra -les différences d'écriture mathémétiques. - ----------------------------- - -##### VA280 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space. - -[ES] - -[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non -colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :
-\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
-(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).
-\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ -: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$
-\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ -est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens du -produit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur. - -[EN] - -[ES] - -[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numérique -l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$. - -[EN] . - -[ES] - -[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation -de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :
-$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$. - -[EN] - -[ES] - -[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :
-$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})= -\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$. - -[EN] - - - - -##### VA300 Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis - -$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ - -[FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$, -we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) :
-$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ -instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ? - -[ES] ... - -[FR] méthode des produits en croix : - -[EN] ... - -$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ -$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ -$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$ -$`=\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$ -$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$ -$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$ - - -[ES] - -[FR] - -[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :
-
$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\ -U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$ -$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$ -$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$ - - -#### VA310 Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors - -[ES] Producto triple escala = producto mixto. - -[FR] Produit mixte. - -[EN] Scalar triple product = triple product. - -[ES] : - -[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, -noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :
- -[EN] : - -$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$ - -Propiedades / Prppriétés / Properties : - -$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) -=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U}) -=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$ - -$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W}) -=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W}) -=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V}) -=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$ - -##### VA310-1 Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis - -$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$ -$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$ - -[ES] : - -[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant -de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs -$`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne : - -[EN] : - -$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\ -V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$ -$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$ - - -##### VA310-2 Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space. - -[ES] - -[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ -donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace. - -[EN] - -Figure à créer. - - - - - - -