diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md index 9f6096ba1..456c7b9cc 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/textbook.fr.md @@ -214,7 +214,7 @@ En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**. In Cartesian coordinates, the base vectors keep the **same direction whatever the position of the point $`M`$**.
-
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ +
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$. @@ -412,48 +412,51 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d÷phi`$.
* **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] Cuando solo la coordenada $`\rho`$ de un punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ aumenta -infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), el vector de desplazamiento +infinitesimalmente entre los valores $`\rho`$ y $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) +para llegar al punto $`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, el vector de desplazamiento $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ del punto $`M`$ el vector tangente a la trayectoria en el punto $`M`$ que se escribe :
[FR] Lorsque seule la coordonnées $`\rho`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon -infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), le vecteur déplacement +infinitésimale entre les valeurs $`\rho`$ et $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) +pour atteindre le point $`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, le vecteur déplacement $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ du point $`M`$ est le vecteur tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit :
When only the $`\rho`$ coordinate of a point $`M(x,y,z)`$ increases infinitesimally between -the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$), the displacement vector +the values $`\rho`$ and $`\rho+d\rho`$ ($`d\rho>0`$) to reach the point +$`M'(\rho+\delta\rho, \varphi, z)`$, the displacement vector $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}`$ of the point $`M`$ is the tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :
-
$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot \rho`$
+
$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$

[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido -de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
+de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:
[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens -de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
+de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :
[EN] The unit vector tangent to the trajectory $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (which indicates the direction of displacement -of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :
+of the point $`M`$ when only the coordinate $`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :

$`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$

tambien / de même / similarly :
-$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, -$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial {\varphi}}\cdot d{\varphi}`$, +$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\varphi}||}`$
$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
-[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ -forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ +[ES] Los vectores $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +forman una **base ortonormal** del espacio. La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ es la **base asociada a las coordenadas cartesianas**. En coordenadas cartesianas, los vectores de base asociadas a las coordenadas cartesianas mantienen la **misma dirección y el mismo sentido sea cual sea la posición del punto $`M`$**.
-[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +[FR] Les vecteurs $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la **base associée aux coordonnées cartésiennes**. En coordonnées cartésiennes, les vecteurs de base gardent la **même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
-[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +[EN] The vectors $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$, $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ form an **orthonormal basis** of space. It is the **base associated with Cartesian coordinates**. -In Cartesian coordinates, the base vectors keep the -**same direction whatever the position of the point $`M`$**.
-
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_x})`$ -base ortogonal independiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale indépendante -de la position de $`M`$ / orthogonal basis independent of the position of $`M`$. +In Cartesian coordinates, the base vectors +**change of direction when the position of the point $`M`$ changes**.
+
$`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_x})`$ +base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante +de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$. * **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
[ES] La norma del vector $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$