From 57089c94fc4253d794dcbde8af9eebd9920aa8fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Sun, 17 Jan 2021 19:33:09 +0100 Subject: [PATCH] Add new file --- .../20.overview/cheatsheet.fr.md | 578 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 578 insertions(+) create mode 100644 12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/30.ampere-therorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md diff --git a/12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/30.ampere-therorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md b/12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/30.ampere-therorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md new file mode 100644 index 000000000..fd3497d62 --- /dev/null +++ b/12.temporary_ins/20.magnetostatics-vacuum/30.ampere-therorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md @@ -0,0 +1,578 @@ + +$`\def\oint{\displaystyle\mathop{{\int}\mkern-16mu \scriptsize \bigcirc}}`$ + +!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :*
+!!!! *Non publié, non visible, NON VALIDÉ*
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques. + +! *Thème* :
+! *N3 : Magnétostatique / Démonstration du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale*
+! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond
+! +! (_précède le thème : Magnétostatique : Application du théorème d'Ampère, forme intégrale et forme locale._) + + + +ÉNONCÉS DU THÉORÈME D' AMPÈRE
( appliqué à la MAGNÉTOSTATIQUE ) + +: --- + + *Domaine de validité* : + + Ne s'applique qu'en magnétostatique ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants constants).
+ Son expression sera complétée en électromagnétisme ($`\overrightarrow{B}`$ créé par des courants variables) pour donner le théorème de Maxwell-Ampère. + + _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._ + + --- + + *FORME INTÉGRALE* + + La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal à la somme algébrique des courants $`\overline{ \,I }`$ traversant toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ : + +
$`\displaystyle\mathbf{\oint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\;\sum_{enlacés} \overline{I }}`$ + + *autre formulation* : La circulation du vecteur champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ le long d'un contour orienté $`\mathcal{C}`$ est égal au flux du vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ à travers toute surface ouverte $`S`$ associée à ce contour, multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ : + +
$`\displaystyle\mathbf{\oint_{\mathcal{C}\leftrightarrow S} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl}=\mu_0\; \iint_{S\leftrightarrow\mathcal{C}} \overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{dS}}`$ + +
+ *FORME LOCALE* + + En tout point de l'espace, le rotationnel du champ magnétique $`\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}`$ est égal au vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ multiplié par la constante magnétique $`\mu_0`$ : + +
$`\mathbf{\overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{B}=\mu_0\;\overrightarrow{j}}`$ + + --- + + *avec les unités $`SI`$* :
+ + \- champ d'induction magnétique $`\overrightarrow{B}`$ : $`T`$
+ \- courant électrique $`\overline{I}`$ : $` A`$
+ \- vecteur densité volumique de courant $`\overrightarrow{j}`$ : $` A\;m^{-3}`$
+ \- constante magnétique = perméabilité du vide : $`\mu_0=1,25663706\cdot 10^{-6}\;SI`$ + + + +#### Quel est l'intérêt du théorème d'Ampère intégral ? + +* Le théorème d'Ampère est un théorème très général. + +* Dans la limite où un contour d'Ampère tend vers 0, il *permet de définir la notion de rotationnel* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :
+$`\Longrightarrow`$ le théorème d'Ampère aura une expression locale. + +* Cette notion de rotationnel est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et la divergence) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. + +* Il *permet de calculer le champ magnétique $`B`$* lorsque les distributions de courants présentent des invariances et symétries, en remplaçant des calculs qui seraient extrêmement complexes. + +#### Quels sont les concepts nécessaire à sa compréhension ? + +* **Théorème** *= peut être démontré* + +* Outre les concepts déjà vus de :
+\- circulation d'un champ vectoriel le long d'un contour.
+\- règle d'orientation de l'espace.
+la démonstration nécessite les concepts de :
+\- *ligne ouverte, et ligne fermée (contour)*.
+\- *surface ouverte associée à un contour*.
+\- *contours disjoints et contours enlacés*.
+\- *rotationnel* d'un champ vectoriel.
+ +#### Qu'est-ce qu'une ligne ouverte ou fermée ? + +* **ligne ouverte = chemin** : ligne $`\mathcal{C}`$ délimitée par *2 extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$*.
+$`\Longrightarrow`$ :
+\- l'*orientation = sens* de parcours *défini comme positif* d'un chemin doit être choisie parmi les **deux sens possibles** : *de $`M_1`$ vers $`M_2`$*, ou *de $`M_2`$ vers $`M_1`$*.
+\- l'*intégration* sur un chemin utilise le symbole **$`\displaystyle\int_{\mathcal{C}}`$** : +*$`\quad\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} ... `$* ou *$`\quad\displaystyle\int_{M_2}^{M_1} ... `$* + +* **ligne fermée = contour = circuit** si parcouru par un courant électrique : *ligne se refermant sur elle-même*.
+$`\Longrightarrow`$ :
+\- le **sens positif** de parcours doit être choisi et il est *indiqué par l'orientation des éléments vectoriels de chemin $`\overrightarrow{dl}`$*.
+\- l'*intégration* sur un contour utilise le **symbole $`\oint_{\mathcal{C}}...`$** + + +#### Qu'est-ce qu'une surface ouverte associée à un contour ? + +* Une surface ouverte **s'appuie sur un contour** si le contour est le *bord de la surface*. + +* Il existe une **infinité de surfaces ouvertes** qui s'appuient sur *un même contour* quelconque. + +![](contour_surface_enlacee_L1200.gif) + +--- + +* Une **surface associée à un contour** respectent les deux conditions suivantes :
+
\- la surface **s'appuie sur ce contour**.
+ +
\- les **deux orientations choisis**, l'une sur le *contour* et l'autre sur la *surface*, sont liés par la **règle de la main droite**. + +![](contour_surface_associated_oriented_4_L1200.gif) + +--- + + +#### Comment savoir si un chemin traverse une surface ouverte associée à un contour ? + +##### Le contour et la surface associée sont contenus dans un plan + +* Soient un **contour orienté $`\mathcal{C}`$** contenu **dans un plan $`\mathcal{P}`$**, et la **surface plane associé $`S`$**. + +* L'**angle solide** sous lequel $`S`$ est vue depuis un point $`M`$ tend vers $`\pm 2\pi\;sr`$ lorsque la *distance du point $`M`$ à la surface $`S`$ tend vers 0* :
+
**$`\mathbf{\displaystyle\lim_{M\rightarrow{S\subset\mathcal{P}}}=\pm 2\pi}`$**,
+le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$ et de quel côté de la surface se situe $`M`$. + +* Si un chemin $`M_1M_2`$ traverse une surface plane $`S`$, Il y a une **discontinuité de $`\pm 4\pi`$ dans la valeur de l'angle solide** sous lequel est vue $`S`$ *à la traversée de la surface plane*,
+le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$. + +* Ainsi, si $`\Omega_1`$ (respectivement $`\Omega_2)`$ est l'angle solide sous lequel est vue la surface plane $`S`$ depuis l'extrémité $`M_1`$ (resp. $`M_2`$), alors l'intégration de l'angle solide le long du chemin $`M_1M_2`$ est :
+
**$`\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1 \pm 4\pi}`$**,
+le signe $`+`$ ou $`-`$ dépendant du sens d'orientation choisi pour $`S`$, et du sens de parcours du chemin $`M_1M_2`$. + +![](traversee_contour_L1200.gif) + +------- + +* Si le chemin **$`M_1M_2`$ traverse 2 fois et en sens inverses la surface plane $`S`$**, alors l'*intégration de l'angle solide* entre les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ devient :
+**$`\mathbf{\displaystyle\int_{M_1}^{M_2} d\Omega = \Omega_2 - \Omega_1}`$** + +![](contours_enlaces_1_L1200_v2.gif) + +* Il existe alors **d' autres surfaces ouvertes s'appuyant sur le même contour** que le chemin **$`M_1M_2`$ ne traverse pas**. + +![](contours_enlaces_surface_no_plane_L1200.jpg) + +--- + +##### Le contour et la surface associée sont quelconques + + +* Depuis un point $`M`$, l'**angle solide élémentaire $`d\Omega_{\Delta}`$** sous lequel est vu une *surface macroscopique traversée p fois* dans une direction $`\Delta`$ est donné par :
+**$`d\Omega_{\Delta}=\sum_{i=1}^p d\Omega_{\Delta, i}`$**,
+l'indice i indique l'ordre de traversée de la surface depuis le point d'observation $`M`$.
+(les différents $`d\Omega_{\Delta, i}`$ ont même valeur absolue $`|d\Omega_0|\ne 0`$) + + +* Si vue d'un point $`M`$ une surface est non torsadée, donc
+**si $`\forall i `$ les signes de $`d\Omega_{\Delta i}`$ et $`d\Omega_{\Delta i+1}`$ sont opposés, alors** :
+
\- **p pair** *$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}= 0}`$*.
+
\- **p impair** *$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{d\Omega_{\Delta}=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}`$*. + +* Si cette surface non torsadée est observée depuis *deux points $`M`$ et $`M'`$ situés sur l'axe d'observation $`\Delta`$ de par et d'autre au voisinage de la surface*, alors la **traversée entre $`M`$ et $`M'`$** implique :
+
\- **$`\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)=\pm\,|\,d\Omega_0\,|}`$** +*$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=0 }`$*
+
\- **$`\mathbf{d\Omega_{\Delta}(M)= 0}`$** +$`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{ d\Omega_{\Delta}(M')=\pm\,|\,d\Omega_0\,| }`$ + +![](solid-angle_traversee_L1200.gif)
+ +--- + +* Soit une **surface ouverte non plane et non torsadée $`S`$**, qui est *orientée.*
+Cette surface est *traversée en un point $`M_0`$* par une chemin ou un contour $`\mathcal{C}`$. + + +![](solid_angle_cross_surface_no_plane_3ter_L1200.gif) + +* L'**angle solide limite $`\Omega_0`$** sous lesquel cette surface est observée lorsqu'*un point du chemin $`\mathcal{C}`$ tend par un côté vers $`M_0`$* n'est en général pas égale à $`2\pi`$. Mais cette limite angle solide limite exprimé en stéradian peut s'écrire sous la forme :
+
**$`\mathbf{\Omega_0=\pm\,2\pi+\Omega '}`$** ,
+avec $`\Omega '`$ angle solide complémentaire qui peut être positif ou négatif. + +* **Contribuent à $`\Omega_0`$ limite** tous les *angles solides élémentaires $`d\Omega_{\Delta}`$* correspondant à une direction $`\Delta`$ pour laquelle, depuis le point limite considéré, la *surface est traversée un nombre impair de fois*. + +* **Ne contribuent pas à $`\Omega_0`$ limite** tous les angles solides élémentaires correspondants à une direction $`\Delta`$ qui *ne traverse pas* la surface, ou lorsque la *surface est traversée un nombre pair de fois*. + + +![](solid_angle_cross_surface_no_plane_2ter_L1200.gif)
+_Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^+`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^+=+2\pi+\Omega' `$_, avec_ $`\Omega' >0`$. + +--- + +* L'**angle solide limite $`\Omega_0 '`$** est l'angle solide d'observation de $`S`$ depuis *un point de $`\mathcal{C}`$ tend vers $`M_0`$* **depuis l'autre face**.
+$`\Longrightarrow`$ :
+\- toute direction $`\Delta`$ qui ne rencontrait pas la surface, la traverse désormais 1 fois.
+\- toute direction $`\Delta`$ qui traversait un nombre pair de fois la surface, la traverse un nombre impair de fois, et réciproquement. + +* $`\Longrightarrow`$ toute direction qui apportaient une contribution à l'angle solide $`\Omega_0`$, ne contribue pas à l'angle solide $`\Omega_0 '`$.
+$`\Longrightarrow`$ inversement, toute direction ne contribuait pas à $`\Omega_0`$, contribue à $`\Omega_0 '`$. + + +* $`\Longrightarrow`$ Les **angles solides limites $`\Omega_0`$ et $`\Omega_0 '`$ vérifient** :
+
\- *algébriquement* : **$`\mathbf{\Omega_0 ' - \Omega_0=\pm 4\pi}`$**
+
\- *en valeur absolue* : **$`\mathbf{|\,\Omega_0\,| + |\,\Omega_0 '\,|= 4\pi}`$**. + +![](solid_angle_cross_surface_no_plane_1ter_L1200.gif)
+_Pour l'orientation de la surface_ $`S`$ _et la position du point_ $`M_0^-`$ _représentées sur la figure, l'angle solide limite sous lequel_ $`S`$ _est vue vaut_ $`\Omega_0^-=-2\pi+\Omega' `$_, en comptant_ $`\Omega' >0`$ comme dans la figure précédente. + +--- + +* *A la traversée d'une surface quelconque*, l'**angle solide** sous lequel est observée une surface quelconque présente une **discontinuité de $`\pm\,4\pi`$**,
+le signe + ou - dépend de l'orientation de la surface, et du sens de traversée de la surface. + +![](angle_solide_variation_cross_any_surface_L1200.jpg) + +--- + +#### Qu'est-ce que deux contours enlacés ? + +* Deux contours sont **non enlacés** si et seulement si *il est possible de les séparer en les déformant*. + +* Considère le même cas que précédemment, mais avec les deux extrémités $`M_1`$ et $`M_2`$ d'un chemin confondues en un même point *$`M`$* $`\,=M_1=M_2`$ pour former un **contour $`\mathcal{C_2}`$** . + +* Les *contours* sont **disjoints** :
+$`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **0 fois, 2 fois, ... 2n fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour. + +* $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vu l'autre contour (ou toute surface ouverte associée à ce contour) est *nulle* :
+**$`\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = 0}`$** + +![](contours_disjoints_L1200.jpg) + +![](contours_enlaces_3_L1200.gif) + +--- + +* Les *contours* sont **enlacés** :
+$`\Longleftrightarrow`$ un contour traverse **1 fois, 3 fois, ... (2n+1) fois (avec n$`\in\mathbb{N}`$)** toute surface ouverte associée à l'autre contour. + +* $`\Longrightarrow`$ lors d'un **tour complet** sur l'un des contours (exemple $`\mathcal{C_2}`$, la *variation de l'angle solide* sous lequel est vue toute surface ouverte s'appuyant sur l'autre contour égale **$`\pm 4\pi`$ stéradians** :
+**$`\mathbf{\oint_{\mathcal{C_2}} d\Omega = \pm 4\pi}`$** + +* Le **signe $`+`$ ou $`-`$** dépend des *sens de circulation définis comme positifs* sur chacun des contours. + +![](contours_enlacees_1b_L1200.gif) + +--- + + +#### Démonstration du théorème d'Ampère : les différentes étapes + +* Nous devrons reconstruire des angles solides $`d\Omega`$ et des surfaces $`dS`$ élémentaires à partir d'éléments de longueurs $`dl`$.
+$`\Longrightarrow`$ La **notation** suivante sera utilisée pour la clareté de la démonstration:
+\- *$`\mathbf{dl}`$* pour les éléments de longueur.
+\- *$`\mathbf{d^2S\;,\; d^2\Omega}`$* pour les éléments de surface et d'angles solides de base définis par le produit de deux éléments de longueur.
+\- *$`\mathbf{dS \;,\; d\Omega}`$*, puis *$`\mathbf{S \;,\; \Omega}`$* lors des intégrations successives. + + + + + +##### Quel est le déplacement apparent d'un point $`P`$ de l'espace si l'observateur se déplace d'un point $`M`$ à un point $`M'`$ voisin ? + +* L'**observateur** fait un *déplacement infinitésimal $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$*. + +* Lorsque l'observateur est au point $`M`$, tout point $`P`$ est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{MP}`$. + +* Lors du déplacement de $`M`$ en $`M'`$, le vecteur position de tout point $`P`$ devient :
+$`\overrightarrow{M'P}=\overrightarrow{M'M}+\overrightarrow{MP} +=-\,\overrightarrow{MM'}+\overrightarrow{MP}=-\,\overrightarrow{dl'}+\overrightarrow{MP}`$
+ +* $`\Longrightarrow`$ le **déplacement apparent de tout point $`P`$** est de **$`\mathbf{-\,\overrightarrow{dl'}}`$**. + + + +##### Quelle est la surface apparente balayée par un élément de longueur $`\overrightarrow{dl}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ? + +* La **surface élémentaire $`d^2S`$ balayée** par l'élément de circuit $`\overrightarrow{dl}`$ est donnée :
+\- en valeur absolue par le produit $`dl\cdot dl' \cdot |\,sin \theta\,|`$,
+    avec $`\theta`$ angle formé par les vecteurs $`\overrightarrow{dl}`$ et $`\overrightarrow{dl'}`$, soit encore :
+$`\quad d^2S=|| \overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})||`$
+\- l'orientation de cette surface peut-être donnée par le produit vectoriel :
+**$`\mathbf{\quad \overrightarrow{d^2S}}`$**$`\;=\overrightarrow{dl}\wedge(-\overrightarrow{dl'})`$**$`\mathbf{\;=-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}}`$** + +##### Sous quel angle solide la surface balayée par $`\overrightarrow{dl}`$ est-elle observée depuis le point $`M`$ ? + +* Cette surface élémentaire $`d^2S`$ est *observée depuis le point $`M`$* sous l'**angle solide $`d^2\Omega`$** :
+$`d^2\Omega=\dfrac{d^2\Sigma}{r^2}=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}\cdot\overrightarrow{MP}}{MP^3}`$ +$`=\dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{MP^2}\cdot\dfrac{\overrightarrow{MP}}{MP}`$ +$`= \dfrac{\overrightarrow{d^2S}}{r^2}\cdot (-\overrightarrow{u}) `$ +$`= \dfrac{\left(-\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot (-\overrightarrow{u})}{r^2} `$ +$`= \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2} `$ + +* Or $`\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$ est le produit mixte +$`\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$, donc :
+$`\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$ +$`=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$ +$`=-\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$ +$`=-\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}`$ + +* L'angle solide $`d^2\Omega`$ se réécrit :
+**$`\mathbf{\quad d^2\Omega=-\,\dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}`$** + +* Selon l'orientation de chaque $`\overrightarrow{dl}`$, l'angle solide correspondant *$`d^2\Omega`$ est positif ou négatif*. + +![](ampere_theorem_demonstration_variation_solid_angle_displacement_1_L1200.gif) + + +##### Sous quel angle solide la surface balayée par un contour $`\mathcal{C_1}`$ est-elle observée depuis le point $`M`$ ? + +* Il faut *intégrer* sur tous les $`\overrightarrow{dl}`$ appartenant au contour $`\mathcal{C_1}`$ :
+**$`\mathbf{\quad d\Omega}`$** +$`\;=-\;\oint_{\mathcal{C_1}} \quad d^2\Omega`$ +**$`\mathbf{\;=-\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\wedge\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}}`$** + +* Le calcul de l'angle solide $`d\Omega`$ fait apparaître une *contribution positive $` d\Omega^+`$* et une* contribution négative $` d\Omega^-`$*. + +* Un *contour* étant une ligne fermée, pour un déplacement infinitésimal de l'observateur, les contributions *$` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent presque*. + +* $`\Longrightarrow\quad d\Omega`$ n'est pas l'angle solide $`\Omega_{\mathcal{C_1}}`$ sous lequel l'observateur voit le contour $`\mathcal{C_1}`$ ou toute surface ouverte associée à ce contour. Il est bien plus faible : $`d\Omega<<\Omega_{\mathcal{C_1}}`$ + +![](ampere_theorem_demonstration_variation_solid_angle_displacement_2.jpg) + + +##### Comment s'exprime la variation d'angle solide sous lequel est vu un contour $`\mathcal{C_1}`$ si l'observateur se déplace de $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ ? + +* Dans l'hypothèse ou le **contour $`\mathcal{C_1}`$** apparaît **inchangé pour l'observateur** se déplaçant de (par exemple $`\mathcal{C_1}`$ est une grande structure située à très grande distance de l'observateur), alors les contributions $` d\Omega^+`$ et $` d\Omega^-`$ s'annulent :
+$`\Longrightarrow`$**$`\mathbf{\quad d\Omega=0}`$**. + +* Ainsi **$`\mathbf{\quad d\Omega\ne 0}`$** correspond à une **variation de perception de $`\mathcal{C_1}`$** lors du déplacement de l'observateur, due à la *parallaxe*. + +* La **variation d'angle solide** sous lequel est vu un *contour* (ou *toute surface ouverte associée* à ce contour) est égale à **$`\mathbf{d\Omega}`$**. + + +##### Que vaut $`\overrightarrow{B}`$ créé en un point $`M`$ par un contour $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un courant constant $`I`$ ? + +* L'**orientation de $`\mathcal{C_1}`$** est défini par le sens des *$`\mathbf{\overrightarrow{dl}}`$*. + +* Le **sens du courant** est donnée par la *valeur algébrique de *$`\overline{\,I}*`$. + +* Le champ magnétique créé en un point $`M`$ par un élément de courant $`\overline{\,I}\;\overrightarrow{dl_P}`$ en un point $`P`$ de l'espace est donné par la loi de Biot et Savart : +$`\overrightarrow{dB_M}_{\leftarrow P}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi} +\cdot \dfrac{\overrightarrow{dl_M}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}`$ + +* Le **champ magnétique $`\overrightarrow{B_M}`$** créé en un point $`M`$ par les éléments de longueur $`dl`$ en tous les points $`P`$ d'un *circuit fermé orienté* $`\mathcal{C_1}`$ parcouru par un *courant $`I`$ constant* s'écrit :
+$`\displaystyle\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{ I}}{4\pi} +\cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{PM}}{PM^3}`$
+soit
+**$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{B_M}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi} +\cdot\oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}}{r^2}}`$**
+avec en chaque point $`P`$ :
+$`\quad PM=||\overrightarrow{PM}||=r\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{PM}=r\;\overrightarrow{u}`$. + +##### Comment s'exprime la circulation du champ magnétique lors du déplacement de $`M`$ en $`M'`$ ? + +* Si le point $`M`$ se déplace en $`M' `$, la circulation de $`\overrightarrow{B_M}`$ lors de ce déplacement $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ s'écrit :
+$`\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{I}}{4\pi} +\cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}}{r^2}`$ + +* $`\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\right)\cdot\overrightarrow{dl'}`$ est le produit mixte +$`\left(\overrightarrow{dl},\overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$, et :
+$`\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{dl'}\right)`$ +$`=\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{u},\overrightarrow{dl'}\right)`$ +$`=-\,\left(\overrightarrow{dl}, \overrightarrow{dl'},\overrightarrow{u}\right)`$ +$`=-\,\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}`$ + +* $`\displaystyle\Longrightarrow\quad +\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=-\,\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi} +\cdot \oint_{\overrightarrow{dl}\,\in\,\mathcal{C}_1} \dfrac{\left(\overrightarrow{dl}\land\overrightarrow{dl'}\right)\cdot\overrightarrow{u}}{r^2}`$ + +* $`\Longrightarrow\quad`$ +**$`\mathbf{\overrightarrow{B_M}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot d\Omega}`$** + +##### Que vaut la circulation du champ magnétique créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur un contour $`\mathcal{C}_2`$? + +* Le déplacement élémentaire précédent $`\overrightarrow{dl'}=\overrightarrow{MM'}`$ appartient à un contour $`\mathcal{C}_2`$. + +* Le sens du vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl'}`$ définit le sens positif de circulation de $`\mathcal{C}_2`$. + +* La circulation du champ magnétique $`\overrightarrow{B}`$ créé par le contour $`\mathcal{C_1}`$ sur le contour $`\mathcal{C}_2`$ s'obtient en intégrant l'expression précédente sur tous les $`\overrightarrow{dl'}`$ constituant $`\mathcal{C}_2`$ :
+
**$`\displaystyle\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\dfrac{\mu_0\;\overline{\,I}}{4\pi}\cdot \oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega}`$**
+
où $`\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega`$ est la variation de l'angle solide sous lequel est vu le contour $`\mathcal{C_2}`$ lorsqu'un tout complet est effectué sur le contour $`\mathcal{C_1}`$. + +--- + +* Si les **contours** $`\mathcal{C_1}`$ et $`\mathcal{C_2}`$ sont **enlacés** :
+$`\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=\pm\,4\pi`$
+**$`\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=\pm\,\mu_0\;\overline{\,I}}`$**. + +(revoir... à quel moment l'indétermination sur le signe est-elle levée, et comment l'expliquer si besoin?) + +--- + +* Si les **contours** $`\mathcal{C_1}`$ et $`\mathcal{C_2}`$ sont **disjoints** :
+$`\Longrightarrow\quad\oint_{\mathcal{C}_2} d\Omega=0`$
+**$`\displaystyle\Longrightarrow\quad\mathbf{ +\oint_{\overrightarrow{dl'}\,\in\,\mathcal{C}_2} \overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{dl'}=0}`$**. + +--- + + + +#### Que dit le théorème d'Ampère intégral ? + + +* Soit une **distribution quelconque de courant** dans l'espace, qui créé *un champ +magnétique* $`\overrightarrow{B}`$ en tout point de l'espace,

+et soit un **ligne fermée C quelconque** dans un plan de l'espace. + +![](Ampere-theorem-1-L1200.jpg) + +* Soit une **surface ouverte S quelconque qui s'appuie sur le contour C**. + +![](Ampere-theorem-2-L1200.jpg) + +* Choisis une **orientation quelconque du contour C**, et **oriente en conséquence +chaque surface élémentaire dS** constituant la surface S selon la **règle d'orientation +de l'espace dite "de la main droite"**. + +![](Ampere-theorem-3-L1200.jpg) + +Partant de la loi de Biot et Savart, le théorème d'Ampère montre que : + +* La **circulation du champ d'induction magnétique $`B`$ le long du contour C** +est égale à la *somme algébrique des courants électriques traversant la surface S*,

+**$`\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \sum_n \overline{I_n}`$**
+ou, ce qui revient au même, au *flux du vecteur densité volumique de courant à travers la surface S*

+**$`\oint_C \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot \iint_S \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{dS}`$** + + + +---------- + +![](Ampere-theorem-4-portrait-L620.jpg) + +---------- +#### Quelle est l'utilité du théorème d'Ampère intégral ? + +#### Comment dois-tu l'utiliser ? + +#### Pourquoi le théorème d'Ampère intégral est-il insuffisant ? + +![](ampere-integral-insuffisant-L1200.gif)
+_Champ magnétique créé par 3 courants électriques rectilignes, infinis et stationnaires, +se propageant dans une direction perpendiculaire au plan de représentation du champ +magnétique._ + +* Dans les *cas simples*, **l'oeil humain repère immédiatement** les points centre de rotation +des lignes de champ magnétique, qui localisent *les causes +du champ magnétique* dans le plan d'observation. + +* Le **théorème d'Ampère intégral** précise, lors d'une circulation non nulle du champ magnétique +le long d'un chemin fermé, la somme totale des courants à l'origine de cette circulation, +mais *ne permet pas la localisation précise des sources* du champ magnétique. + +* Il **doit exister une propriété locale** (à l'échelle mésoscopique, donc apparaissant ponctuelle + à la résolution de l'observation) qui en tout point de l'espace *relie le champ magnétique +à sa cause élémentaire locale*. + +#### Une idée pour relier une propriété locale du champ magnétique locale à sa cause ? + +* Dans la **démonstration du théorème dAmpère** (partie principale), *aucune échelle de taille n'est précisée* +pour les choix du contour d'Ampère et d'une surface s'appuyant sur ce contour. + +* $`\Longrightarrow`$ idée 1 : faire tendre le contour d'Ampère vers un +**contour mésoscopique plan autour de chaque point** de résolution de l'espace, + la *circulation* ainsi calculée sera une *propriété locale du champ*. + +* $`\Longrightarrow`$ idée 2 : choisir pour *surface associée* la +**portion de plan mésoscopique délimité par le contour précédent**, le *flux du courant* +à travers cette surface mésoscopique déduit du théorème d'Ampère +sera ainsi un *courant local*. + +* Cette idée est à la **base de la notion de champ rotationnel** d'un champ vectoriel. + +#### Qu'est-ce que le champ rotationnel de B ? + +Le champ rotationnel de B est un **champ vectoriel**. + +En *tout point M de l'espace*, le vecteur **$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$ indique** : + +* en mots :
+\- le **plan local** dans lequel s'effectue la **rotation de $`\overrightarrow{B_M}`$** par sa *direction*.
+$`\Longrightarrow`$ la *direction de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant.

+\- le **sens de la rotation** de $`\overrightarrow{B_M}`$ par le *sens de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$ +et la *règle d'orientation* de l'espace.
+$`\Longrightarrow`$ le *sens de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant.

+\- l'**intensité du champ magnétique créé** par *norme de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B_M}`$*
+$`\Longrightarrow`$ la *norme de $`\overrightarrow{j}`$*, vecteur densité volumique de courant. + +* mathématiquement et plus précis : **$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{B}=\mu_0 \cdot \overrightarrow{j}`$** + + +#### Comment se détermine son expression en coordonnées cartésiennes ? + + +![](Rotationnel-B-cartesian-web-L1200-ok.jpg) + +![](Rotationnel-B-cartesian-2-web-L1200-ok.jpg) + +![](Rotationnel-B-cartesian-3-web-L1200-ok.jpg) + + +#### Comment visualiser et mémoriser le théorème de Stokes ? + +*Guide de démonstration et Aide à la mémorisation* + + +* Soit un **champ vectoriel $`\overrightarrow{X}(\overrightarrow{r})`$**, et un +**contour fermé C** dans l'espace.
+$`\Longrightarrow \overrightarrow{X}`$ est défini en chaque point de C. + +![](Th-Stokes-1-L1200.jpg) + +* Soit le **choix d'un sens de parcours positif** sur le contour C, qui oriente +les déplacements élémentaires $`\overrightarrow{X}`$ de ce contour.
+$`\Longrightarrow`$ la circulation $`\mathcal{C}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ le long de C peut +être calculée. + +![](Th-Stokes-2-L1200.jpg) + +* Soit une **surface quelconque ouverte S s'appuyant sur C**. + +![](Th-Stokes-3-L1200.jpg) + + + +* Le **sens positif d'orientation sur C** *impose le sens positif d'orientation +des contours élémentaires** fermés qui délimitent les surfaces élémentaires de S. + +![](Th-Stokes-5-L1200.jpg) + +* La **règle d'orientation de lespace de la main droite** permet alors l'*orientation +de chacune des surfaces élémentaires* de S. + +![](Th-Stokes-6-L1200.jpg) + +![](Th-Stokes-7-L1200.jpg) + +![](Th-Stokes-8-L1200.jpg) + +![](Th-Stokes-9-L1200.jpg) + +![](Th-Stokes-10-L1200.jpg) + +* Ou **1 figure GIF** ? + + + + +#### Que dit le théorème d'Ampère local ? + + +