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-title: 'The 4 Maxwell\'s equations'
-published: false
-visible: false
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-
-### Les 4 équations de Maxwell
-
-<!----
-$`\left \{
-   \begin{array}{r c l}
-      AB  & = & 192 \\
-      C   & = & 5\,896 \\
-      DEF & = & 0,5
-   \end{array}
-   \right.`$
-   
-   
-
-$`\left \{
-   \begin{array}{r c l}
-      \text{ÉlectroStatique}  & \; & \text{Maxwell's equations} \\
-      \text{cause :}\; \rho \longrightarrow \text{effet :}\overrightarrow{E} & \; & \\
-      \text{cond. validité :}\; \rho=0& \; & \\
-      div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}  & \; & div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0} \\
-      \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} =0 & \; & \overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}
-   \end{array}
-   \right.`$--->
-
-Les équations de Maxwell locales précises les propriétés du champ électromagnétique
-en tout point de l'espace.
-
-
-$`div \overrightarrow{E} = \dfrac{\rho}{\epsilon_0}`$
-
-$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{E} = -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}`$
-
-$`div \overrightarrow{B} = 0`$
-
-$`\overrightarrow{rot} \;\overrightarrow{B} = \mu_0\;\overrightarrow{j} +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}`$
-
-$`\rho`$ est la densité volumique de charge totale. 
-$`\overrightarrow{j}`$ est la densité volumique de courant totale. 
-
-### Équations de Maxwell et conservation de la charge
-
-
-### Équations de Maxwell et propagation du champ électromagnétique
-
-
-### Équations de Maxwell et énergie électromagnétique
-
-
-### Complément à l'électromagnétisme de Maxwell
-
-
-### Le spectre électromagnétique
-
-
-### Rappel de l'équation d'onde d'un champ vectoriel
-
-#### équation d'onde simple
-
-$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=0`$
-
-de solution
-
-#### équation d'onde amortie
-
-$`\Delta \overrightarrow{X} - \dfrac{1}{v_{\phi}} \; \dfrac{\partial^2 \;\overrightarrow{X}}{\partial\; t^2}=
-\beta \; \dfrac{\partial \overrightarrow{X}}{\partial t}`$
-
-où $`\beta`$ est le terme d'amortissement
-
-de solution
-
-L'expression de l'opérateur Laplacien vectoriel $`\Delta`$ en fonction des opérateurs $`grad`$, $`div`$ et $`rot`$ est :
-
-$`\Delta =\overrightarrow{grad} \left(div\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\right)`$
-
-
-### Equation d'onde pour le champ électromagnétique 
-(Ou "Etude du Laplacien du champ électromagnétique")
-
-Pour établir l'expression $`\;\;\Delta \overrightarrow{E}\;\;`$, je calcule 
-$`\;\;\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)\;\;`$ puis 
-$`\;\;\overrightarrow{grad} \left(div \overrightarrow{E}\right)\;\;`$ à partir des équations
-de Maxwell :
-
-
-*  $`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
-\overrightarrow{rot} \,\left( -\dfrac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}\right)`$
-<br><br>
-En physique classique non relativiste, espace et temps sont découplés. Les coordonnées spatiales
-et la coordonnée temporelle sont indépendantes. L'ordre de dérivation ou intégration entre 
-des coordonnées spatiales et la coordonnés temporelle ne change pas le résultat, donc
-je peux écrire :
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}\right)`$
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)=
--\dfrac{\partial}{\partial t} \,\left(\mu_0\;\overrightarrow{j} +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}\right)`$
-<br><br>
-$`\overrightarrow{rot} \, \left( \overrightarrow{rot}\,\overrightarrow{E} \right)
-=-\mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
-<br><br>
-
-* $`\overrightarrow{grad} \left( div \; \overrightarrow{E} \right) = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right)`$
-
-La reconstruction de 
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} =\overrightarrow{grad} \left(div\;\overrightarrow{E}\right) - \overrightarrow{rot}\, \left(\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{E}\right)`$
-donne :
-
-$`\Delta \;\overrightarrow{E} = \overrightarrow{grad}\left( \dfrac{\rho}{\epsilon_O} \right) + \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t}  +
-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2}`$
-
-ce qui donne par identification au premier terme de l'équation d'onde :
-
-$`\Delta \;\overrightarrow{E}-\mu_0 \epsilon_0 \;\dfrac{\partial^2 \overrightarrow{E}}{\partial t^2} = \dfrac{1}{\epsilon_O} \;
-\overrightarrow{grad}\left(\rho \right)+ \mu_0\;\dfrac{\partial \overrightarrow{j}}{\partial t} `$