diff --git a/12.temporary_ins/30.electrostatics-dielectric/overview/cheatsheet.fr.md b/12.temporary_ins/30.electrostatics-dielectric/overview/cheatsheet.fr.md index 3a442fb35..4f933a38c 100644 --- a/12.temporary_ins/30.electrostatics-dielectric/overview/cheatsheet.fr.md +++ b/12.temporary_ins/30.electrostatics-dielectric/overview/cheatsheet.fr.md @@ -40,7 +40,7 @@ neutre. #### Rappel : qu'est-ce qu'un moment dipolaire électrique $`\overrightarrow{p}`$? -* un **vecteur $`\overrightarrow{p}`$** qui *caractérise un dipôle électrique*. +* un **vecteur $`\mathbf{\overrightarrow{p}}`$** qui *caractérise un dipôle électrique*. * **moment dipolaire électrique $`\mathbf{\overrightarrow{p}=+q\cdot \overrightarrow{NP}}`$** : vecteur $`N`$ est le centre de charge de la charge négative $`-q`$ du dipôle, $`P`$ le centre de sa charge positive $`+q`$. @@ -50,12 +50,12 @@ _Figure 2._ * *unité SI* : **$`\mathbf{C\;m}`$**
*unité usuelle* : le **Debye, de symbole D**, avec $`1D \simeq 3,336\times 10^{-30}\,C\;m`$, -
élément de comparaison : **$\mathbf{`1D \simeq 0,39\;e\;a_0}`$**, +
élément de comparaison : **$`\mathbf{1D \simeq 0,39\;e\;a_0}`$**, avec *$`- e`$ charge de l'électron* ($`e=1,602\times 10^{-19}\,C)`$ et *$`a_0`$ rayon de Bohr* de l'atome d'hydrogène (distance moyenne entre l'électron et le proton : $`a_0 =5,3\times 10^{-11}\,m`$). -* *Intérêt de $`\overrightarrow{p}`$* : le **champ électrique créé** *à grande distance* +* *Intérêt de $`\mathbf{\overrightarrow{p}}`$* : le **champ électrique créé** *à grande distance* (devant sa taille) par un dipôle électrique *s'exprime simplement* en fonction de $`\overrightarrow{p}`$ :
@@ -93,12 +93,12 @@ _Figure 3._ ![dielectrics-volume-mesoscopic](dielectrics-volume-mesoscopic_L1200.jpg)
_Figure 4 : Volume mésoscopique, contient N entités élémentaires, avec N grand (>10 000)_ -* Le **vecteur polarisation $`∫\overrightarrow{P}}`$** :
+* Le **vecteur polarisation $`\mathbf{\overrightarrow{P}}`$** :
▪  caractérise l'*état de polarisation dans chaque volume mésoscopique $`\Delta\tau`$*.
▪  c'est le *vecteur densité de moment dipolaire* :

**$`\mathbf{\displaystyle\overrightarrow{P}=\dfrac{1}{\Delta\tau}\sum_{i\in\Delta\tau}\overrightarrow{p_i}}`$** -* *unité SI* : **$\mathbf{`C\;m^2}`$**
+* *unité SI* : **$`\mathbf{C\;m^2}`$**
* Au sein d'un diélectrique :
▪  **$`\mathbf{\overrightarrow{P}=\overrightarrow{cst}}`$** $`\Longrightarrow`$ *polarisation uniforme*.
@@ -126,7 +126,7 @@ Infime décalage du centre de charge ( - ) du nuage électronique par rapport au #### En absence d'un champ électrique extérieur, un diélectrique contient-il des dipôles? -* Les groupements atomiques, moléculaires ou cristallins possèdent **souvent des moments dipolaires électriques permanents $`\overrightarrow{p_i}`$**. +* Les groupements atomiques, moléculaires ou cristallins possèdent **souvent des moments dipolaires électriques permanents $`\mathbf{\overrightarrow{p_i}}`$**. ![dielectrics-points-dipoles-aleatoires](dielectrics-points-dipoles-aleatoires_L1200.jpg) _Figure 5._ @@ -144,9 +144,9 @@ _Figure 6._ $`\Longrightarrow\;`$ *couple non nul* qui **tend à orienter le dipôle en direction du champ**.
$`\Longrightarrow\;`$ *force résultante nulle* sur le dipôle. -* L'application d'un **champ électrique extérieur** $`\overrightarrow{E_{ext}}`$ dans un **volume mésoscopique** $`\Delta\tau`$
-$`\Longrightarrow\;`$ création de dipôles d'orientation moyenne en direction de $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
-ou $`\Longrightarrow\;`$ réorientation des dipôles préexistants vers une direction moyenne selon $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
+* L'application d'un **champ électrique extérieur $`\mathbf{\overrightarrow{E_{ext}}}`$** dans un **volume mésoscopique** $`\Delta\tau`$
+$`\Longrightarrow\;`$ *création de dipôles* d'orientation moyenne en direction de $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
+ou $`\Longrightarrow\;`$ *réorientation des dipôles préexistants* vers une direction moyenne selon $`\overrightarrow{E_{ext}}`$
* L'application d'un **champ électrique extérieur stationnaire**
$`\Longrightarrow\;`$ un *transitoire non mesurable*. @@ -198,14 +198,14 @@ $`\chi=\dfrac{\overrightarrow{P}}{\epsilon_0\,\overrightarrow{E}}\,`$**$`\Longri $`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ d'un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ à un autre.
$`\Longrightarrow`$ pas de variation de $`\overrightarrow{P}`$ si le volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ considéré se déplace d'une fraction de sa longueur. -* Pour simplifier, considère le **dipôle électrique moyen** de moment dipolaire **$`\overrightarrow{p} = q^+\;\overrightarrow{d}`$** dans le diélectrique. Ce dipôle électrique est électriquement **neutre**. +* Pour simplifier, considère le **dipôle électrique moyen** de moment dipolaire **$`\mathbf{\overrightarrow{p} = q^+\;\overrightarrow{d}}`$** dans le diélectrique. Ce dipôle électrique est électriquement **neutre**. * Dans tout *volume mésoscopique $`\Delta\tau`$*, les **dipôles internes**, situés entièrement à l'intérieur de $`\Delta\tau`$, ont une *charge total nulle*. Les **dipôles frontières**, situés de par et d'autre de la surface frontière de $`\Delta\tau`$, ont l'une de leur charge à l'intérieur de $`\Delta\tau`$ et l'autre à l'extérieur, et sont donc *susceptibles de rompre la neutralité* $`\rho=0`$ caractérisant $`\Delta\tau`$. ![dielectrics-mesoscopic-polarization-uniform-1-2](dielectrics-mesoscopic-polarization-uniform-1-2_L1200.jpg) _Figure 8._ -* *Pour chaque face* de $`\Delta\tau`$, les *dipôles frontières* ont leurs centres **localisés dans un volume $`dS\cdot d\cdot\cos\,\theta`$** où $`\theta`$ est l'angle que fait l'axe du dipôle avec la normale à la surface. +* *Pour chaque face* de $`\Delta\tau`$, les *dipôles frontières* ont leurs centres **localisés dans un volume $`\mathbf{dS\cdot d\cdot\cos\,\theta}`$** où $`\theta`$ est l'angle que fait l'axe du dipôle avec la normale à la surface. ![dielectrics-mesoscopic-polarization-uniform-1-2](dielectrics-mesoscopic-polarization-uniform-1-3_L1200.jpg) _Figure 9._ @@ -213,7 +213,7 @@ _Figure 9._ * Pour *deux faces opposées*, une polarisation uniforme implique que statistiquement **autant de charges positives que de charges négatives** *des dipôles frontières* **sont maintenues dans $`\Delta\tau`$**. Ce résultats se généralise sur les 6 faces, le volume **$`\Delta\tau`$ est neutre**. * **Polarisation uniforme $`\Longrightarrow`$ diélectrique neutre en volume**
-**$`\overrightarrow{P}=\overrightarrow{const}`$$`\quad\Longrightarrow\quad\rho=0`$**. +**$`\mathbf{\overrightarrow{P}=\overrightarrow{const}`$$`\quad\Longrightarrow\quad\rho=0}`$**. ##### La polarisation est non uniforme @@ -232,7 +232,7 @@ _Figures 10 : La répartition des charges, à l'intérieur ou à l'extérieur du _Figure 11 : Les volumes qui contiennent les dipôles frontières ne sont pas égaux, le nombre de dipôles frontières, le dipôles friontière moyen varient d'une face à l'autre._ * **Polarisation non uniforme $`\Longrightarrow`$ une densité volumique de charge non nulle apparait**
-**$`\overrightarrow{P}`$ non uniforme $`\quad\Longrightarrow\quad\rho\ne0`$**. +**$`\overrightarrow{P}`$ non uniforme $`\quad\Longrightarrow\quad\mathbf{\rho\ne0}`$**. * Etudions le flux des charges créé par les dipôles sur $`\Delta S_1`$, l'une des 6 faces de $`\Delta\tau`$. Prenons la surface noté 1 sur les figures suivantes. Le dipôle frontière moyen à cette face s'écrit $`\vec{p_1}=d_1\cdot\vec{d_1}`$ et est présent en densité $`N_1`$. Ces dipôles frontières sont contenus dans le volume $`\delta\tau_1=\Delta S\;d_1\;cos\,\theta_1`$. @@ -265,9 +265,9 @@ _Figures 14 et 15._ * Pour revenir au cas précédent, la divergence d'une polarisation uniforme est nulle. Nous en déduisons un fait et une relation très importante : -**En tout point d'un matériau diélectrique, la densité volumique de charges liées ( de charge de polarisation) $`\rho_{pol}`$ est égale à la divergence du vecteur polarisation en ce point.** +**En tout point d'un matériau diélectrique, la densité volumique de charges liées ( de charge de polarisation) $`\mathbf{\rho_{pol}}`$ est égale à la divergence du vecteur polarisation en ce point.** - **$`\rho_{pol}=-\,div\,\overrightarrow{P}`$** + **$`\mathbf{\rho_{pol}=-\,div\,\overrightarrow{P}}`$** ![dielectric-polarization-rho-divP_L1200](dielectric-polarization-rho-divP_L1200.jpg)
_Figures 18 et 19._ @@ -294,10 +294,10 @@ _Figures 25 et 26._ ![dielectrics-polarization-surface-9-10_L1200](dielectrics-polarization-surface-9-10_L1200.jpg) _Figures 27 et 28._ -* Á la *surface d'un diélectrique de polarisation $`\vec{P}`$* apparaît une +* Á la *surface d'un diélectrique de polarisation $`\mathbf{\vec{P}}`$* apparaît une densité surfacique de charges liées, dites -**densité surfacique de charge de polarisation $`\sigma_{pol}`$** telle que :
-
**$`\sigma_{pol} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}_{surf}`$**,
+**densité surfacique de charge de polarisation $`\mathbf{\sigma_{pol}}`$** telle que :
+
**$`\mathbf{\sigma_{pol} = \overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}_{surf}}`$**,

où $`\overrightarrow{u}_{surf}`$ est le vecteur unitaire perpendiculaire à la surface et orienté de l'intérieur vers l'extérieur du diélectrique. #### Que se passe-t-il à l'interface entre un diélectrique et un conducteur? @@ -315,14 +315,14 @@ Bien que l'étude des propriétés physiques anistropes soit du niveau supérieu $`\Longrightarrow`$ Les **dipôles électriques** induits sont orientés autour d'une **direction voisine, mais non parallèle au champ électrique $`\vec{E}`$** créé par la surface chargée du conducteur. * Le vecteur polarisation $`\vec{P}`$ suit la direction moyenne des moments dipolaires électriques.
-**$`\vec{P}`$** n'est **pas parallèle à $`\vec{E}`$** +**$`\mathbf{\vec{P}}`$** n'est **pas parallèle à $`\mathbf{\vec{E}}`$** * Une **densité surfacique de charges de polarisation, $`\sigma_{pol}`$, apparaît à l'interface** côté diélectrique telle que :
$`\quad \sigma_{pol} = -\,\overrightarrow{P} \cdot \overrightarrow{u}`$,
Le signe - sur la figure vient du fait que le vecteur unitaire $`\overrightarrow{u}`$ perpendiculaire à la surface est orienté vers l'intérieur du diélectrique. (Attention ! le signe - doit être rajouté sur les figures 29 à 32). * La **densité surfacique totale de charges $`\sigma`$** à l'interface s"écrit maintenant :
-
**$`\sigma=\sigma_{lib}+\sigma_{pol}`$**. +
**$`\mathbf{\sigma=\sigma_{lib}+\sigma_{pol}}`$**. ![](dielectric-anisotrope-polarization-electric-field_L1200.jpg)
_Figure 29._ @@ -359,7 +359,7 @@ _Figure 32._ Pour un *milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI)* , la **permittivité relative** est le nombre réel $`\epsilon_r`$ qui vérifie : -**$`\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}`$** +**$`\mathbf{\overrightarrow{D}=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\overrightarrow{E}}`$** ##### Lien entre permittivité relative et susceptibilité électrique @@ -390,7 +390,7 @@ avec $`\rho_{tot}=\rho_{lib}+\rho_{pol}`$: densité volumique de charge totale. Nous précisons cela en écrivant : -**$`div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}+\rho_{pol}}{\epsilon_0}`$** +**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho_{lib}+\rho_{pol}}{\epsilon_0}}`$** En remarquant que $`\rho_{pol}=-div\;\overrightarrow{E}`$ je peux réécrire : @@ -400,13 +400,13 @@ $`\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}=\rho_{lib}-div\;\overrightarrow{P}`$ $`\epsilon_0\;div\;\overrightarrow{E}+div\;\overrightarrow{P}=\rho_{lib}`$ -**$`div\left(\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\right)=\rho_{lib}`$** +**$`\mathbf{div\left(\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\right)=\rho_{lib}}`$** ##### Le théorème de Gauss en fonction de $`\overrightarrow{D}`$ : Identifiant $`\epsilon_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}`$ au vecteur induction électrique $`\overrightarrow{D}`$, le **théorème de Gauss exprimé avec l'induction électrique** s'écrit : -**$`div\;\overrightarrow{D}=\rho_{lib}`$** +**$`\mathbf{div\;\overrightarrow{D}=\rho_{lib}}`$** L'avantage de cette expression est que n'apparait seulement que la densité de charges libres, qui ont été amenées par un courant de conduction mesurable.