@ -542,7 +542,7 @@ Pour ne nous intéresser qu'aux facteurs d'atténuation dus à la réflexion ou
!
! Pour l'étude de la réflexion et de la transmission à travers une telle lame, *la lumière rencontre deux dioptres*, du *milieu 1 vers le milieu 2* et du *milieu 2 vers le milieu 1*. C'est le moment de remarquer que :
! * $`r_{12}=-\,r_{21}`$
! * $`T=T_{12}=T_{21}$ n'est pas égal à $`\xcancel{T=t_{12}^2}`$ ou $`\xcancel{T=t_{21}^2}`$, mais nous avons l'égalité
! * $`T=T_{12}=T_{21}`$ n'est pas égal à $`\xcancel{T=t_{12}^2}`$ ou $`\xcancel{T=t_{21}^2}`$, mais nous avons l'égalité
Lorsqu'un faisceau de lumière parallèle éclaire un écran opaque percé d'une toute petite
ouverture, et que j'étudie l'éclairement de la lumière transmise sur un second écran
suffisamment loin du premier, je remarque que les dimensions de la tâche lumineuse observée
ne correspondent pas à l'ombre portée de l'ouverture. Si un faisceau de lumière tombe
sur une fente très fine d'épaisseur variable, l'ouverture angulaire du faisceau augmente
à la traversée de la fente lorsque la largeur de la fente diminue.
Ce phénomène montre que *la lumière est déviée lors de son passage au voisinage d'ouvertures ou d'obstacles de tailles caractéristiques proches de la longueur d'onde* de la lumière, c'est le **phénomène de diffraction** de la lumière.
Ce phénomène est *inexplicable dans le cadre de l'optique des rayons (optique géométrique)* qui postule que la lumière se propage en ligne droite dans un milieu homogène et isotrope comme le vide ou l'air.
#### Le principe de Huygens-Fresnel
Le **principe de Fresnel-Huygens** stipule que :
---------------------------
* *chaque point d'un front d'onde génère une onde sphérique*, l'enveloppe de ces ondes sphériques secondaires constituant un nouveau front d'onde (contribution d'Huygens).
* Ces **sources sphériques secondaires d'un même front d'onde** sont *mutuellement cohérentes*. L'**amplitude complexe** de l'onde lumineuse **résultante** en tout point d'observation est la *somme des amplitudes complexes de toutes ces sources secondaires* (contribution de Fresnel).
-----
Pour *visualiser le principe de Huygens-Fresnel* à l'aide d'un **écran plan et opaque**,
éclairé par une **onde plane monochromatique sous incidence normale** :
* L'écran est percé d'une **simple ouverture infinitésimale**, l'*onde transmise* est
alors une *onde sphérique centrée sur l'ouverture* de *même longueur d'onde* que celle
de l'onde incidente. Il y a *continuité de la phase de l'onde à la traversé* de l'ouverture
* L'écran est percé d'une **ouverture étendue** , *chacun des points* de l'ouverture plane est *source d'une onde sphérique secondaire* qui contribuera à l'onde transmise. Il y a *continuité de la phase* de l'onde *à la traversée de chaque point* de l'ouverture étendue.
_*ATTENTION* ; L'animation proposée ici illustre schématiquement le principe que tu reconstruis l'onde diffractée en faisant l'intégrale des contributions de l'infinité des sources sphériques secondaires. Mais la figure de diffraction finale obtenue est fausse, car seules quelques ondes sphériques ont été prises en compte dans l'image finale. Seul le calcul de l'amplitude puis de l'intensité résultantes en chaque point te permettra de connaitre l'onde transmise.*[Contribution pour une animation schématique plus réaliste bienvenue]*_
! *REMARQUE :*
!
! Ainsi, l'étude du *phénomène de diffraction* se ramène à l'étude des *interférences créés par une infinité d'ondes élémentaires*, issues des sources secondaires uniformémenr réparties sur les pupilles.
!
---
<!-- pour le site, sera en .gif
 -->
#### Description mathématiques du phénomène de diffraction à travers une ouverture rectangulaire.
Je me limite au cas d'une ouverture rectangulaire, éclairée sous incidence normale
par une onde plane monochormatique de longueur d'onde $`\lambda`$.
! *IMPORTANT :*
!
! La *longueur d'onde $`\lambda`$*, caractérisant la période spatiale de l'onde, n'est *pas une grandeur fondamentale* de l'onde. Seules le grandeurs temporelles de l'onde comme la période temporelle $`T`$, sa fréquence (temporelle) $`\nu`$ ou sa pulsation $`\omega`$ sont des fréquences fondamentales car indépendantes du mileu de propagation de l'onde. À fréquence $`\nu`$ donnée, la longueur d'onde $`\lambda`$ *dépend de la vitesse de propagation* de l'onde $`v`$ selon la relation $`\lambda=v/\nu`$. Dans le cas de la lumière et plus généralement d'une onde électomagnétique, la *longueur d'onde considérée sera toujours la longueur d'onde dans le vide*.
!
Pour étudier le phénomène de diffraction, je choisis le **repère cartésien
$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$** tel que :
* l'**origine $`O`$** soit prise *au centre de la pupille* rectangulaire.
* l'**onde plane incidente** se propage en *direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$`*.
* les **côtés de la ouverture** rectangulaire sont dirigés *selon les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$*.
Les **dimensions de l'ouverture'** rectangulaire est *$`x_0`$ selon $`Ox`$* et *$`y_0`$ selon $`Oy`$*.
Les sources secondaires émettant les ondes sphériques sont distribuées uniformément
sur toute la surface de la pupille.
D'une manière générale, le calcul de l'intensité diffractée en un point $`M(x,y,z)`$ de l'espace repéré par le vecteur $`\overrightarrow{OM} =\overrightarrow{r} = r\cdot\overrightarrow{u}`$ situé dans le demi-espace $`(z>0)`$ se conduit en évaluant :
* la différence $`\Delta s`$ entre la distance $`PM`$ (distance de la source secondaire de surface élémentaire $`dS`$ située au point $`P`$ et le point $`M`$ et la distance $`OM`$ :<br>
**$`\Delta s=PM-OM`$**
* la différence de chemin optique $`\delta`$ corespondante :<br>
**$`\delta=n\cdot\Delta s`$**<br>
où $`n`$ est l'indice de réfraction caractérisant le milieu de propagation. Pour l'air et le vide, $`n=1`$`.
* la différence de phase au point $`M`$ entre l'onde émise par la source secondaire en $`P`$ et celle émise par source secondaire située à l'origine $`O`$, prise comme référence des phases :<br>
**$`\phi=\dfrac{2\pi\delta}{\lambda}`$**
La contribution $`\underline{dA}`$ (à un coefficient de proportionnalité près) d'une surface
élémentaire $`dS`$ de la pupille $`\mathscr{P}`$ l'amplitude complexe totale au point M
s'écrit :
* **$`\underline{dA}=e^{i\,\phi} dS`$**
L'amplitude complexe totale et l'intensité de l'onde diffractée se déduisent alors simplement
!! Ce résultat se généralise au cas où l'ouverture, appelée aussi *pupille*, introduit en chacun de ses points une différence de phase et une absoprtion variables, caractérisées par une fonction de *transmittance complexe $`t(x,y)`$ appelée fonction pupillaire*.
!!
!! L'*amplitude complexe diffractée* s'écrit alors :<br>
!! Je reconnais ici la *transformée de Fourier de la fonction pupillaire*.
!!
!! Ce résultat est repris et développé dans ce qui constitue l'*Optique de Fourier*. L'optique de Fourier est un *outil puissant* pour la compréhension et la maîtrise entre autre du *filtrage optique* et de l'*holographie*.
!!
!! L'holographie permet l'enregistrement 2D et la reconstruction 3D d'ondes optiques. Elle permet de reconstituer une scène en vrai relief, contrairement aux diverses techniques de cinéma 3D actuelles. En vraie 3D, l'angle de vision sous lequel un spectateur observe l'image 3D reconstituée d'un objet change lorsque le spectateur se déplace.
!!
##### Calcul 2D de l'intensité diffractée et de la figure de diffraction
Je calcule d'abord l'intensité diffracté dans le cas 2D, où l'onde incidente se propage
en direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ et où la pupille centrée en $`O`$ et de dimension $`x_0`$ est parallèle au vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$
J'utilise la lentille de distance focale image $`f'`$ dans les conditions de Gauss.
Je choisis un repère de l'espace $`(S, \overrightarrow{e_X}, \overrightarrow{e_Z})`$ tel que
* $`\overrightarrow{e_X}= \overrightarrow{e_x}\quad`$ et $`\quad\overrightarrow{e_Z}= \overrightarrow{e_z}`$
* Les points $`O`$ et $`S`$ sont alignés sur l'axe $`Oz`$
La lentille est centré en $`S`$ et l'axe $`Oz`$ est son axe optique.
Les lois de l'optique des rayons dans l'approximation paraxiale (optique gaussienne) me disent
que l'onde diffractée observée à l'infini dans la direction donnée par l'angle $`\theta`$ convergera
en un point se coordonnée $`X=f'\cdot \theta`$.
! *RAPPEL :*
!
! L'expression géométrique exacte est $`X=f'\cdot tan \,\theta`$, mais dans les conditions de l'optique paraxiale (conditions de Gauss), l'angle $`\theta`$ reste petit, et les approximations utilisées en optique paraxiale <br>
! $`\quad\theta\;\simeq\;sin\,\theta\;\simeq\;tan\,\theta\quad`$ lorsque $`\theta`$ est exprimé en radians, <br>
! sont alors valables.
!
L'intensité observée au point de coordonnée $`X`$ est l'intensité diffractée à l'infini
(à un facteur près) par la pupille dans la direction $`\theta`$ , et son expression est
##### Propriétés et représentation des fonctions $`sinc`$ et $`sinc^2`$
! *IMPORTANT :*
!
! La *fonction sinus cardinale *$`sinc\;\phi = \dfrac{sin\;\phi }{\phi }`$* et *son carré $`sinc^2`$* sont deux *fonctions fondamentales* qui interviennent *dans de nombreux phénomènes ondulatoires* en physique.
!
* Ces fonctions $`sinc \;\phi`$ et $`sinc^2\;\phi `$ présentent chacune un **maximum principal unique** lorsque lorsque leurs dénominateurs s'annulent, à l'*origine des phase $`\phi=0`$*. La valeur de ce maximum unique est l'unité :<br>
$`sinc\;0\;=\;1\quad`$ et $`\quad sinc^2 \;0 \;= \;1`$
* Ces fonctions $`sinc \;\phi`$ et $`sinc^2\;\phi `$ **s'annulent** lorsque *$`\phi=0 \Longleftrightarrow \phi=k\;\pi`$*.
* La valeur des pics secondaires de la fonction $`sinc^2`$ décroissent très rapidement avec la valeur entière de k.
##### Calcul 3D de l'intensité diffractée et de la figure de diffraction
L'intensité diffracté dans le cas 3D s'obtient très facilement si le calcul 2D est fait.
L''onde incidente se propage en direction et sens du vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$.
La pupille est centrée en $`O`$ et de dimensions $`x_0`$ selon le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$
et $`y_0`$ selon le vecteur $`\overrightarrow{e_y}`$
* Un **maximum central unique**, rectangulaire et *allongé* dans la *direction où la fente a sa plus petite dimension*. ce maximum est *très intense* car il est le produit des maxima
principaux selon les directions $`X`$ et $`Y`$.
* **Sur chacun des axes $`SX`$ et $`SY`$** j'observe une *série de maxima secondaires d'intensité*,
équivalente à celle calculée dans le cas 2D. L'intensité de chaque maximum secondaire est le produit
de l'intensité d'un maximum secondaire de l'axe considéré par l'intensité du maximum principal de
l'axe perpendiculaire à celui-ci.
* **Hors des axes $`X`$ et $`Y`$**, il existe des *maxima tertiaires*, mais d'intensités si faibles
qu'ils sont *quasiment invisibles à l'oeil humain*.<br><br>
Le **motif en croix** résultant vient du fait que l'intensité totale est le produit des fonctions
$`sinc^2`$ dans les deux directions $`X`$ et $`Y`$. En dehors des axes $`X`$ et $`Y`$,
les *maxima tertiaire d'intensité* résultent du *produit de deux maxima secondaires* selon chacun des
axes $`X`$ et $`Y`$. Chaque maxima secondaire ayant une intensité déjà faible par rapport à maximum
principal, le produit de deux maxima secondaires devient très faible, et les *maxima tertiaires hors axes*
### Description mathématiques du phénomène de diffraction à travers une ouverture circulaire
L'étude du phénomène de **diffraction par une ouverture circulaire** est *très important* pour deux raisons
complémentaires :
* Les **instruments optiques** comme les *objectifs* des appareils photo, les *microscopes*, les *télescopes*,
* utilisent des éléments optiques simples circulaires (lentilles, miroirs), et plus généralement
* présentent la *symétrie de révolution* et voient leurs *faisceaux de lumière incidente limités par des ouvertures circulaires*.
* le **phénomène de diffraction***dégrade l'image obtenue* par ces systèmes, par rapport à ce
qui est attendu en ne considérant que la simple optique géométrique.
Ainsi l'**image d'une source située à l'infini** n'est *pas ponctuelle* dans le plan focal
image de l'instrument, mais une **tache, appelée tache d'Airy**, *dont le diamètre dépend de l'instrument*
et de la longueur d'onde de la lumière observée.
#### Diffraction en champ lointain
<!--=============================
C'est le cas le plus intéressant concernant l'étude de la diffraction par une ouverture circulaire. En effet chacun des instruments optiques cités précédemment est souvent utilisé avec un capteur matriciel placé dans son plan focal. C'est dans ce plan qu'est réalisé la tache d'Airy, figure de diffraction en champ lointain de la pupille circulaire instrumentale.
===============================-->
Conduire les **calculs mathématiques** pour une ouverture circulaire sont *semblables à ce qui a été fait*
dans le cas de l'ouverture rectangulaire, mais je rencontrerai *non pas une fonction sinus cardinale* facile
à calculer, *mais* une fonction spéciale appelé *fonction de Bessel de premier ordre* dont les valeurs
sont tabulées et qui donc est moins facile à manipuler.
Ainsi la description mathématique de la figure de diffraction en champ lointain due à une ouverture
circulaire, que je peux observer dans le plan focal image d'une lentille convergente s'exprime
Ainsi exprimée, l'**intensité observée $`I(X,Y)`$** dans le plan focal image décrit
une *tache centrale très brillante* entourée d'*anneaux concentriques d'intensités* bien plus
faibles et *décroissantes* lorsque la distance au centre croît. La tache centrale et
les anneaux sont séparés par une extinction lumineuse. Cette figure de diffraction
en champ lointain de l'ouverture circulaire, **tache d'Airy**, joue un
*rôle fondamentale dans la limite de résolution* des instruments optiques.
#### Propriétés et représentation de la tache d'Airy
Si je dois décrire la tache d'Airy, j'obtiens
* un **maximum principal unique centré sur l'origine**
* un **premier anneau d'extinction** (intensité nulle) de *rayon $`R_0`$*$`=\sqrt{X_0^2+Y_0^2}`$ d'expression<br>
<br>
**$`R_0=1,22\;\dfrac{\lambda\;f'}{D}`$**
* une **succession d'anneaux d'extinction***séparés par des anneaux moins sombres*. Les rayons normalisés $`R\,/\,(\lambda f'/D)`$ et les intensités relatives correspondantes $`I(R)\,/\,I_0`$ des 6 premiers maxima et minima sont <br>
La dépendance du rayon $`R_0=1,22\;\dfrac{\lambda\;f'}{D}`$ en fonction de la longueur
d'onde $`\lambda`$ et de l'inverse du diamètre $`1\,/\;D`$ implique deux faits importants :
* La *dépendance en $`1\,/\;D`$* implique que **plus grand est la diamètre** d'ouverture d'un système optique, **meilleure est la résolution** de l'image qu'il rend.<br>
<br>
!! *POUR ALLER PLUS LOIN :*
!!
!! Ainsi * en astronomie, augmenter le diamètre d'un télescope*, certes, *augmente la puissance lumineuse interceptée* par celui-ci et donc la *sensibilité* du télescope, son aptitude à observer des objects moins lumineux ou plus lointains dans l'univers. Mais et surtout cela *augmente la résolution des images* des objets observés, et permet de discerner de nouveaux détails sur les surfaces des corps astronomiques observés, ou encore de séparer des sources angulairement très proches (voir critère de Rayleight).
!!
!! En *microscopie optique*, lors de la conception d'un microscpe *le grossissement prévu* par l'optique paraxiale des rayons (suite à la sélection d'un objectif et d'un oculaire) *ne doit pas être dégradé* et donc limité par le *phénomène de diffraction*.
!!
* La *dépendance en $`\lambda`$* implique que lorsque l'ouverture reçoit une onde incidente
polychromatique, chaque $`\lambda`$ produit sa propre tache d'Airy. Le **maximum central**
est **commun** à chaque longueur d'onde (et *apparait blanc* si l'onde polychromatique
est perçue blanche par l'oeil humain), mais un **phénomène d'irisation** est observé au
