From 69c21f37804a97b821a6c53ec99baef9a6ceee3e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 9 Nov 2020 09:36:21 +0100 Subject: [PATCH] Update cheatsheet.fr.md --- .../overview/cheatsheet.fr.md | 124 ++++++++---------- 1 file changed, 55 insertions(+), 69 deletions(-) diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md index 160d6e5eb..060847143 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/electrostatics/Gauss-theorem-demonstration/overview/cheatsheet.fr.md @@ -14,6 +14,61 @@ $`\def\Ssclosed{\mathscr{S}_{\scriptsize\bigcirc}}`$ $`\def\PSopen{\mathscr{S}_{\smile}}`$ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$ +!!!! *COURS EN CONSTRUCTION :*
+!!!! *Non publié, non visible, NON VALIDÉ*
+!!!! Document de travail destiné uniquement aux équipes pédagogiques. + +! *Thème* :
+! *Electrostatique / Démonstration du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale*
+! Guide pour établir les 3 parties : main, overview, beyond
+! +! (_précède le thème : Electrostatique : Application du théorème de Gauss, forme intégrale et forme locale._) + + + + +ÉNONCÉS DU THÉORÈME DE GAUSS
( appliqué à l' ÉLECTROSTATIQUE ) +: --- + + *Domaine de validité* : + + Électrostatique et Électromagnétisme. + + _Attention : Les expressions ci-dessous ne sont valables que dans le système international d'unité $`SI`$, anciennement $`MKS`$._ + + --- + + *FORME INTÉGRALE* + + La flux du vecteur champ électrique $`\overrightarrow{E}`$ à travers toute surface fermée $`S`$ est égal à la charge électrique totale $`Q_{int}`$ (en valeur algébrique) située à l'intérieur de $`S`$ , multiplié par la constante électrique $`\epsilon_0`$ : + +
$`\displaystyle\mathbf{\oiint_{S} \overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=\dfrac{Q_{int}}{\epsilon_0}}`$ + + *Différentes formulations de la charge intérieure* : + + * charges discrètes $`q_i`$ : $`Q_{int}=\sum_i q_i`$ + + * densité volumique de charge $`\rho`$ : $\displaystyle Q_{int}=\iiint_{\tau\leftrightarrow S} \rho\cdot d\tau`$
+ avec $`\tau`$ le volume délimité par $`S`$. + +
+ *FORME LOCALE* + + En tout point de l'espace, la divergence du champ électrique $`div\,\overrightarrow{E}`$ est égal à la densité volumique de chrage en ce point $`\rho`$ divisée par la constante électrique $`\epsilon_0`$ : + +
$`\mathbf{div\,\overrightarrow{E}=\dfrac{\rho}{\epsilon_0}}`$ + + --- + *avec les unités $`SI`$* :
+ + \- champ électrique $`E`$ : $`V\;m^{-1}`$
+ \- charge électrique $`Q_{int},q_i`$ : $` C`$
+ \- densité volumique de charge $`\rho`$ : $` C\;m^{-3}`$
+ \- $`\epsilon_0=8,85418782\cdot 10^{-12}\;SI`$ + + + + #### Quel est l'intérêt du théorème de Gauss intégral ? @@ -470,72 +525,3 @@ div\,\overrightarrow{E}}`$**$`\mathbb{\;=\dfrac{d\Phi_E}{d\tau}}`$**$`\;\mathbf{ ![](ostragradsky_therorem_2b_L1200.gif) --- - -* En coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphérique, **chaque élément de surface fermée $`dS`$** dans le volume se décompose en *6 éléments de surface ouverte $`d\Sigma_i`$* :
-**$`\mathbf{dS=\sum_{i=1}^6 d\Sigma_i}`$** - -* **A l'intérieur du volume $`\tau`$**, tout élément de surface ouverte $`d\Sigma_{int}`$ appartient à 2 élément de volume $`d\tau_1`$ et $`d\tau_2`$. Selon l'élément de volume considéré, un même élément de surface ouverte intérieure *$`\mathbf{d\Sigma_{int}}`$ est représenté par les vecteurs $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}`$ ou $`\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}`$* qui sont opposés :
-**$`\mathbf{\overrightarrow{\Sigma}_{int,2}=-\,\overrightarrow{\Sigma}_{int,1}}`$** - -* $`\Longrightarrow`$ les flux élémentaires *$`\mathbf{d\Phi_{int,1}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,1}}`$* et *$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{int,2}}`$* correspondants sont opposés :
-**$`\mathbf{d\Phi_{int,2}=\,-\,d\Phi_{int,1}}`$** - ---- - -![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_2.gif) - ---- - -* $`\Longrightarrow`$ le **flux** de $`\overrightarrow{X}`$ *à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_i}`$ situés* **à l'intérieur** d'un volume (les $`d\Sigma_i`$ appartenant à la frontière extérieure du volume étant exclus) est **nul**. - -* Tout **élément de volume $`d\tau`$ en contact avec l'extérieur** *possède un élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$*. qui appartient à la frontière entre l'intérieur du volume et l'extérieur. - -* L'ensemble des $`d\Sigma_{ext}`$ est la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :
-$`S=\oiint `d\Sigma_{ext}`$ - -* $`\Longrightarrow`$ le **flux $`\mathbf{\Phi_{ext}}`$** de $`\overrightarrow{X}`$ à travers l'ensemble des $`\overrightarrow{d\Sigma_{ext}}`$ est le flux $`\mathbf{\Phi_X}`$ de $`\overrightarrow{X}`$ à travers la surface fermée $`S`$ délimitant le volume $`\tau`$ :
-**$`\displaystyle\mathbf{\Phi_{ext}=\int d\Phi_{ext}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS}}`$** - ---- - -![](ostrogradsky_flux_nul_element_volume_interior_10.jpg) - ---- - - -* **Théorème de Green-Ostrogradsky**
-= théorème de la divergence :
-**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{X}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \Ltau}\overrightarrow{X}\cdot dS}`$** - - ---- - -![](ostragradsky_therorem_1b_L1200.gif) - ---- - -* Tout élément de surface $`d\Sigma_{ext}`$ n'appartient qu'à un unique élement de volume $`d\tau`$ du volume $`\tau`$ :
-$`\Longrightarrow`$ lui est associé un **unique élément vectoriel de surface $`\overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$** *orienté de l'intérieur vers l'extérieur*. - -* $`\Longrightarrow`$ le *flux élémentaire correspondant $`d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}`$* est en général non nul :
-*en général*, **$`\mathbf{d\Phi_{ext}=\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{d\Sigma}_{ext}}\ne 0`$** - -* **Théorème de Green-Ostrogradsky**
-= théorème de la divergence :
-**$`\mathbf{\displaystyle\iiint_{\tau \leftrightarrow S} div\,\overrightarrow{E}\cdot d\tau = \oiint_{S \leftrightarrow \tau}\overrightarrow{E}\cdot dS}`$** - - - -#### Que devient le théorème de Gauss exprimé localement ? - -#### Quelle est l'utilité du théorème de Gauss local ? - -#### Comment dois-tu l'utiliser ? - - - - - - - -