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## Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations
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+### Analyse vectorielle
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+#### Vecteur
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+Objects mathématiques avec **3 caractéristiques** :
+*norme*, *direction* et *sens*.
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+En mécanique, **représentation graphique** dans l'espace tridimensionnel :
+- des **sègments de droites** indiquant leur *direction*.
+- sègments de droite de **longueur** proportionnelle à leur *norme*.
+- par une **flèche** indiquant leur *sens*.
+
+#### Signification des vecteurs en mécanique.
+
+* Les *vecteurs* peuvent représenter des **grandeurs physiques différentes**.
+_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._
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+* Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple : vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$ et $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.
+
+#### Vecteurs colinéaires et non colinéaires
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+* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :
+Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
+" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
+
+* Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*. Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.
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+* "$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A}\ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
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+#### Base vectorielle
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+##### Dans un plan $`\mathcal{P}`$
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+* Définition :
+**2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.
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+* Propriété :
+Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$ se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.
+
+* Écriture mathématique :
+"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
+$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
+\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
+
+##### Dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$
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+* **n vecteurs ordonnés** dans un *n-upplet $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$* forment une **base** d'un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur $`\vec{V}`$* de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs $`\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n}`$.
+
+* "$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
+\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
+\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{e_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{e_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{e_n}`$
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+#### Systèmes de coordonnées / Repère de l’espace
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+* En mécanique classique, **temps et espace** ne sont *pas couplés*.
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+* *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de l’espace par le **vecteur $`\vec{OM}`$** .
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+* L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace, la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels**, appelés ** coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M.
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+* Il y a *plusieurs façons possible de définir les coordonnées spatiales* : On parle de **systèmes de coordonnées**.
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+_Exemples de systèmes de coordonnées._
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+#### Caractéristiques d’une base / d’un repère
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+##### Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère normé $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
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+* Les vecteurs de la base ou du repère sont de **norme unité**.
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+* $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
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+##### Base orthogonale $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ / repère orthogonal $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$
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+* Les vecteurs de la base ou du repère sont **orthogonaux 2 à 2**.
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+* $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
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+##### Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
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+* orthonormé = **ortho**+*normé* :
+\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.
+\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.
+
+* orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$
+avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :
+$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i\ne j`$
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+#### Règle d'orientation de l'espace.
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+* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ unitaires et non colinéaires forment une base normée $`(\vec{a},\vec{b})`$ d'un plan dans l'espace.
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+
+* Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire et perpendiculaire à $`\vec{a}`$ et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
+
+
+*
+* d'un repère orthonormé $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace
+définissent un plan $`\mathcal{P}`$. Le troisdème vecteur $`\vec{c}`$, perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$, possède **une direction** donnée par la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*.
+
+mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
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+
+
+* Un vecteur $`(\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs $`(\vec{a}`$ et $`(\vec{b}`$ possède **une direction** la *droite normale (perpendiculaire) au plan $`\mathcal{P}`$*, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`(\vec{c}`$.
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+* Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : la **règle des 3 doigts de la main droite** :
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+
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+*
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+#### Repère orthonormé direct / indirect
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+---------
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+#### Produit scalaire de 2 vecteurs / Norme d’un vecteur
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+##### Définition générale, valable dans une base quelconque
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+##### Norme d’un vecteur unitaire
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+##### Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires
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+##### Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux
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+##### Caractéristiques des vecteurs de base d’une base orthonormée
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+* Les vecteurs sont unitaires (de norme unité), donc :
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+* Les vecteurs sont orthogonaux 2 à 2, donc :
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+##### Produit scalaire de 2 vecteurs dans une base orthonormée
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+##### Norme d’un vecteur dans une base orthonormée
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+##### Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée
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+#### Produit vectoriel de 2 vecteurs
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+##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base quelconque
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+##### Produit vectoriel de 2 vecteurs dans une base orthonormée
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+#### Produit mixte de 3 vecteurs
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+##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base quelconque
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+##### Produit mixte de 2 vecteurs dans une base orthonormée
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+#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
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+FR - Localiser un point dans l’espace tridimensionnel : une origine $`O`$, et trois axes $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant en O.
+L’ensemble constitue le repère, notation $`(O,x,y,z)`$
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+Repère orthogonal : les axes sont deux à deux orthogonaux : $`Ox\perp Oy`$, $`Ox\perp Oz`$ et $`Oy\perp Oz`$.
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+#### base, repère de l'espace
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+* base de l'espace
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+* base orthonormée
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+* repère cartésien de l'espace
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+#### vector / vecteur / vector
+(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
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+FR - vecteur, représentation graphique
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+#### addition et soustraction de vecteurs
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+(vers la statique, que nous ne faisons pas)
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+#### produit scalaire de 2 vecteurs
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+#### produit vectoriel de deux vecteurs
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+#### produit mixte
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+#### Différentielle d'un vecteur
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+* rappel sur la différentielle d'une fonction
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+* différentielle d'un vecteur
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+#### dérivée d'un vecteur par rapport au temps
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+#### Différentielle et dérivée d'un vecteur unitaire
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+#### Homegénéïté des relations vectorielles
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+####
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+### Différentielle d'un vecteur
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+###
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