From 76b5d4cfbea446d27f5d342633de1fed9d81ff81 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Tue, 27 Apr 2021 18:24:30 +0200 Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md --- .../99.maths/12.sets/textbook.fr.md | 217 +++++++++++++++++- 1 file changed, 216 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/12.temporary_ins/99.maths/12.sets/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/99.maths/12.sets/textbook.fr.md index e60c1ed75..4e40d1c69 100644 --- a/12.temporary_ins/99.maths/12.sets/textbook.fr.md +++ b/12.temporary_ins/99.maths/12.sets/textbook.fr.md @@ -13,4 +13,219 @@ visible: false !!!! Ne pas publier, ne pas rendre visible. !!!! Do not publish, do not make visible. ---------- \ No newline at end of file +--------- + +Les ensembles au niveau 3, main + +-------------------------------------- + +### Les ensembles + +------------------------------------- + +### L'inclusion et l'égalité + +##### Définition de l'inclusion + +Soient **$`\mathbf{E}`$ et $`\mathbf{F}`$ deux ensembles**. + +L'ensemble *$`\mathbf{E}`$* est une partie ou un *sous-ensemble de $`\mathbf{F}`$* si et seulement si *tous les éléments de $`\mathbf{E}`$ sont élements de $`\mathbf{F}`$*, et je dis alors que **$`\mathbf{E}`$ est inclus dans $`\mathbf{F}`$** ou de façon équivalente que **$`\mathbf{F}`$ contient $`\mathbf{E}`$** +ce que j'écris en écriture mathématique : +* avec le *symbole d'inclusion $`\subset`$*. +
**$`\mathbf{\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}`$** +* avec le *symbole de contenance $`\supset`$*. +
**$`\mathbf{\big(\,F \supset E\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)}`$** + +Si au moins *un élément de $`\mathbf{E}`$ n'est pas un élément de $`\mathbf{F}`$*, alors je dis que **$`\mathbf{E}`$ n'est inclus pas dans $`\mathbf{F}`$** ou de façon équivalente que **$`\mathbf{F}`$ ne contient pas $`\mathbf{E}`$**, +ce que j'écris en écriture mathématique : +* avec le *symbole de non inclusion $`\not\subset`$*. +
**$`\mathbf{\big(\,E \not\subset F\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}`$** +* avec le *symbole de contenance $`\not\supset`$*. +
**$`\mathbf{\big(\,F \not\supset E\,\big) \iff \big(\,\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F\,\big)}`$** + +! *Remarque :* +! Pour démontrer $`E \subset F`$, je dois démontrer l'implication $`\big(\,E \subset F\,\big) \iff \big (\,\forall x \;,\; x\in E \Longrightarrow x\in F\,\big)`$. +! Je dois donc écrire "Soit $`x\in E`$", puis démontrer que $`x\in F`$. +! +!
+! +! Pour démontrer que E n'est pas inclus dans F, je dois ... +! +! démontrer l'implication $`\exists x \;,\; x\in E \land x\not\in F`$. +! Je dois donc écrire "Il existe $`x\in E`$", puis démontrer qu'il existe au moins un élément de $`E`$ qui n'est pas élément de $`F`$. +!
+ +!!! *Exemples :* +!!! * $`\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} `$ +!!! * $`\{3\} \subset \mathbb{N}`$ +!!! * $`\{-1\,,6\} \subset \mathbb{Z}`$ +!!! * $`\{\sqrt{2}\,,0\} \not\subset \mathbb{Q}`$ + +##### Définition de l'égalité + +Les deux ensembles **$`E`$ et $`F`$ sont égaux** si et seulement si : +* *tout élément de $`E`$ est élément de $`F`$* et *tout élément de $`F`$ est élément de $`E`$*, +ce qui s'écrit en écriture mathématique : +**$`\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,\forall x \;,\; x\in E \Longleftrightarrow x\in F\,\big)}`$** + +ce qui est équivalent à dire + +* *$`E`$ est inclus dans $`F`$* et *$`F`$ est inclus dans $`E`$*, +ce qui s'écrit en écriture mathématique : +**$`\mathbf{\big(\,E=F\,\big) \Longleftrightarrow\big(\,E \subset F \land F \subset E\,\big)}`$** + +! *Remarque :* +! Pour montrrer que deux ensembles $`E`$ et $`F`$ sont égaux, je dois démontrer pour tout $`x`$ l'équivalence $`(x \in E \iff x \in F)`$. +! Je pose donc un $`x`$ quelconque, puis +! * *soit* je raisonne directement par équivalence et montre que *$`(x \in E \iff x \in F)`$*. +! * *soit* je démontre deux implications, c'est à dire une double inclusion : +! \- *d'abord* je montre que $`(E \subset F)`$, +! c'est à dire que *si $`x\in E`$ alors $`x\in F`$* +! \- *puis* je montre que $`(F \subset E)`$, +! c'est à dire que *si $`x\in F`$ alorsS $`x\in E`$*. + +!!! *Exemple :* +!!! _il faut développer complètement un exemple ici_. +!!! _Les travaux personnels de l'apprenant seront mis dans la partie "au-delà" de ce cours, avec pour certains dans un menu déroulant, d'abord des indices, puis une solution._ + +!!!! *Attention :*. +!!!! *Ne pas confondre $`\in`$ et $`\subset`$*. +!!!! Si $`x`$ est un élément, et $`E\,,F\,,G`$ des ensembles, je peux avoir $`x\in E`$ et $`F\subset G`$. +!!!! +!!!! *Un élément peut être considéré comme un ensemble*. +!!!! Par exemple : +!!!! * une droite est un ensemble de points. +!!!! * une droite est aussi un élément de l'ensemble des droites du plan qui le contient. + +##### Transitivité de l'inclusion + +Soit **$`\mathbf{E}`$ un ensemble**, +et soient **$`\mathbf{A\,,B\,,C}`$ trois sous-ensembles** (ou parties) de $`\mathbf{E}`$. + +La **transitivité de l'inclusion** exprime le fait que +si *$`\mathbf{A}`$ est inclus dans $`\mathbf{B}`$*, et que ce même *$`\mathbf{B}`$ est inclus dans $`\mathbf{C}`$, alors* je peux dire avec certitude que *$`\mathbf{A}`$ est inclus dans $`\mathbf{C}`$*, +ce qui s'écrit en écriture mathématique : +**$`\mathbf{\big[\,\big(\,A \subset B\,\big) \land \big(\,B \subset C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A \subset C\,\big)}`$** + +*Démonstration* + +Je pars de l'hypothèse que $`\,A \subset B`$ et que $`\,B \subset C`$, et je dois prouver que $`\,A \subset C`$. + +Comme $`A`$ est inclus dans $`B`$, alors tout élément de $`A`$ est élément de $`B`$ : +$`\big(\,\,A \subset B\,\big) \Longrightarrow \big(\,\forall x\;,\; x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big)`$. +
+De même l'inclusion de $`B`$ dans $`C`$ implique que tout élément de $`B`$ est élément de $`C`$ : +$`\big(\,\,B \subset C\,\big) \Longrightarrow \big(\,\forall x\;,\; x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big)`$. +
+Ceci me permet de dire qu'alors tout élément de $`A`$ est élément de $`C`$, +_Comment écrire cela correctement ?_ + +$`\left. +\begin{array}{l} +\forall x\;,\; x\in A \Longrightarrow x\in B \\ +\quad\;\;\; x\in B \Longrightarrow x\in C +\end{array} +\right\}\Longrightarrow x\in A \Longrightarrow x\in C`$ + +$`\forall x\;,`$ +$`\left. +\begin{array}{l} +\big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \\ +\big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big) +\end{array}\right\}\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)`$ + +$`\forall x\;,`$ +$`\left. +\begin{array}{c} +\big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \\ +\land \\ +\big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big) +\end{array} +\right\}\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)`$ + +$`\forall x\;,`$ $`\;\big[\big(\, x\in A \Longrightarrow x\in B\,\big) \land \big(\,x\in B \Longrightarrow x\in C\,\big)\big]`$ +$`\Longrightarrow \big(\, x\in A \Longrightarrow x\in C\,\big)`$ +
+Ce qui prouve la transitivité de l'inclusion : +$`\big[\,\big(\,A \subset B\,\big) \land \big(\,B \subset C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A \subset C\,\big)`$ + +##### Transitivité de l'égalité + +Soit **$`\mathbf{E}`$ un ensemble**, +et soient **$`\mathbf{A\,,B\,,C}`$ trois sous-ensembles** (ou parties) de $`\mathbf{E}`$. + +La **transitivité de l'égalité** exprime le fait que +si *$`\mathbf{A=B}`$ et si $`\mathbf{B=C}`$, alors *$`\mathbf{A=C}`$*, +ce qui s'écrit en écriture mathématique : +**$`\mathbf{\big[\,\big(\,A = B\,\big) \land \big(\,B = C\,\big)\,\big] \iff \big(\,A = C\,\big)}`$** + +*Démonstration* + +Je pars de l'hypothèse que $`A = B`$ et $`B = C`$. +Par définition j'ai $`A \subset B`$ et $`B \subset C`$, et la transitivité de l'inclusion implique $`A \subset C`$. +De même, $`B \subset A`$ et $`C \subset A`$ impliquent $`C \subset A`$. +Il en résulte que $`A = C`$. + +------------------------------------------------ + +### Opération sur les parties de $`E`$ + +#### Le complémentaire d'un ensemble $`E`$ + +##### Définition + +Soit $`E`$ un ensemble, et $`A`$ un sous-ensemble de $`E`$. +Le **complémentaire de $`A`$ dans $`E`$**, noté **$`\mathbf{\complement_E A}`$**, est l'*ensemble des éléments de $`E`$ qui n'appartiennent pas à $`A`$* : + +**$`\mathbf{\complement_E A=\{x\in E\,,\, x \notin A\}}`$** + +! *Remarques :* +! +! * $`\complement_E A`$ est un sous-ensemble de $`E`$. +! +! * *$`\mathbf{\complement_E A}`$* peut aussi se noter *$`\mathbf{\overline{A}}`$* ou *$`\mathbf{A^c}`$* lorsque l'ensemble $`E`$ sur lequel la complémentarité s'applique est bien spécifié avant, et qu'il n'y a pas d'autre risque de confusion. + +!!! *Exemple :* +!!! Soient $`E=\{1\,,2\,,3\,,4\,,5\} \;,\; A=\{1\,,3\}\subset E \;,\; B=\{2\,,4\,,5\}\subset E`$. +!!! Nous avons : +!!! $`\complement_E A=\{2\,,4\,,5\}=B`$. +!!! $`\complement_E A\,(\complement_E A) =\{1\,,3\}=A`$. +!!! $`\complement_E B=\{1\,,3\}=A`$. +!!! $`A+\complement_E A) =E`$ +!!! $`B+\complement_E B) =E`$ + +*Proposition* + +Soient un ensemble $`E`$, et $`A`$ et $`B`$ deux sous-ensembles de $`E`$. +Les deux assertions suivantes sont vraies : + + +##### Le complémentaire du complémentaire + + + + + +#### L'ensemble vide + +##### Existence de ensemble vide + +*Théorème* + + +*Démonstration* + +! *Remarques :* +! .... + + + +### Intersection, Union + + +### Produit cartésien + + + +### Famille d'éléments et partition d'un ensemble +