diff --git a/12.temporary_ins/95.electromagnetism-in-media/10.propagation-lhi-media/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/95.electromagnetism-in-media/10.propagation-lhi-media/10.main/textbook.fr.md index 841a58980..c8d14d875 100644 --- a/12.temporary_ins/95.electromagnetism-in-media/10.propagation-lhi-media/10.main/textbook.fr.md +++ b/12.temporary_ins/95.electromagnetism-in-media/10.propagation-lhi-media/10.main/textbook.fr.md @@ -1,3 +1,825 @@ +--- +title : Ondes électromagnétiques dans la matière +published : false +routable: false +visible : false +--- +(en construction) + + +### Propagation dans les milieux L.H.I. + + +#### Principe général de la propagation d'un signal électromagnétique dans un matériau + +##### Equations de propagation dans un milieu + +L'équation de propagation des champs électrique et magnétique d'une onde se propageant +dans un milieu fait intervenir la densité de charge $`\rho`$ et la densité de courant +de charge $`\vec{j}`$ du milieu. Pour le champ électrique, les variations temporelles +et spatiales de $`\vec{E}`$ sont ainsi liées à $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ de la façon +suivante : + +$`\Delta\vec{E}\left(M,t\right)-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}\left(M,t\right)}{\partial t^{2}}`$ +$`=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\;grad\left(\rho\left(M,t\right)\right)+\mu_{0}\dfrac{\partial\vec{j}\left(M,t\right)}{\partial t}`$ + +r, le passage de l'onde dans le milieu va nécessairement perturber l'équilibre électrostatique +des charges présentes dans celui-ci et contribuer ainsi localement à leur mouvement +et/ou à leur accumulation. Afin de résoudre les équations de propagation, il est donc +nécessaire de connaître les relations de dépendance de $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ à $`\vec{E}`$ +et $`\vec{B}`$. Dans ces conditions seulement, il sera possible d'obtenir la forme exacte +de l'onde électromagnétique qui se propage dans le milieu en question. + +##### Notion d'échelle mésoscopique + +La dépendance du mouvement des charges à l'onde é.m. qui se propage ne peut pas être +déterminée expérimentalement à l'échelle microscopique. A cette échelle en effet, +on passe sur de très courtes distances d'une situation où le point considéré est +proche d'un noyau (de charge positive) à celle où il est plutôt proche d'un électron +(de charge négative). Cela signifie que les champs électriques et magnétiques locaux +$`\vec{E}_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{B}_{\textrm{local}}`$ fluctuent de façon très +abrupte lorsque l'on considère le problème à l'échelle atomique. Il n'est donc pas +possible d'en évaluer l'orientation et l'amplitude, ni même de déterminer +$`\rho_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{j}_{\textrm{local}}`$. Pour décrire le système, +il faut donc travailler à une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique +et l'échelle macroscopique : on la définira comme l'échelle mésoscopique. Les grandeurs +étudiées seront alors des moyennes spatiales des grandeurs locales réalisées sur des +volumes mésoscopiques. La dimension caractéristique de ces volumes est de l'ordre de +3 à 10 nm. A cette échelle, on s'affranchit des fluctuations rapides de densité de +charge (et donc de champ électrique) liées à la structure de l'atome dont la dimension +caractéristique est inférieure à l'Angström ($`10^{-10}\,m)`$. +Ainsi : + +$`\vec{E}=\langle \vec{E}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ et +$`\vec{B}=\langle \vec{B}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ + + +![](Mesoscopique.PNG) + +Suite au choix de cette échelle, on doit nécessairement se limiter aux ondes é.m. +dont les champs ne varient que très peu sur des distances de 3 à 10 nm, i.e. $`\lambda\gg 3`$ +nm, soit $`\lambda\geq`$ 300 nm. En considérant une vitesse de phase égale à $`c`$, +cela signifie qu'on doit se limiter à des fréquences $`\nu \leq 10^{15}`$ Hz. Cette +condition sera vérifiée dans la suite du cours et nous permettra de définir des relations +"macroscopiques" entre $`\rho`$, $`\vec{j}`$, $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. + +##### Décomposition d'un signal électromagnétique périodique en une somme d'OPPM (série de Fourier) + +Tant que l'on reste dans un régime linéaire pour le comportement du milieu vis à +vis des champs électrique et magnétique des ondes qui s'y propagent, on peut considérer +que si plusieurs ondes vérifient les équations de propagation, alors tout signal représenté +comme la combinaison linéaire de ces ondes vérifie lui aussi les équations de propagation. +Or, tout signal périodique peut être décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales +selon l'équation suivante (en notation complexe avec $`T`$ la période): + +$`f(u)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_{n}(f)\cdot e^{2i\pi\frac{n}{T}u}`$ + +De ce fait, on pourra se limiter dans la suite du cours à l'étude des signaux é.m. +les plus simples, c'est-à-dire les OPPMs. + +##### Notion de vitesse de groupe + +Lorsque l'on étudie la propagation d'un paquet d'ondes (ensemble d'OPPMs caractérisant +un signal réel par exemple) dans un milieu, chacune d'entre elles est caractérisée par +sa pulsation $`\omega`$, donc par son nombre d'onde $`k`$ et par une certaine vitesse +de phase $`v_\varphi`$ qui en découle. Pour des pulsations différentes, la vitesse +de phase peut varier. De ce fait, les ondes du paquet ne se déplacent pas toutes à +la même allure et le paquet se disperse dans le temps en fonction de la distance +parcourue dans le milieu. On peut définir une vitesse de propagation du paquet d'onde, +appelée vitesse de groupe $`v_g`$, qui tient compte de cette dispersion et qui se +détermine de la façon suivante : + + +$`v_g = \dfrac{\omega}{k}.`$ + +La vitesse de groupe est une des grandeurs caractéristiques de la propagation des +ondes dans un milieu comme nous allons le voir par la suite. + +#### Propriétés des milieux + +Afin de résoudre l'équation de propagation des champs, il est nécessaire d'introduire +d'abord quelques notions sur le comportement des milieux soumis à des champs électrique +et magnétique. Nous allons nous intéresser à l'interaction de trois principaux types +de milieu avec $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. + + +##### Milieux conducteurs : conductivité + +Les milieux conducteurs sont définis comme les milieux contenant des charges électriques +libres de se déplacer. Ils comprennent donc les métaux qui sont de bons conducteurs, +les solutions ioniques et les plasmas (gaz ionisés). Les conducteurs sont caractérisés +par une densité de charges libres $`\rho_{\textrm{libre}}`$ (en $`C.m^{-3}`$), et par +une conductivité $`\sigma`$ (en $`\Omega.m^{-1}`$). + +Lorsque ces charges libres sont soumises à un champ électrique, elles se mettent +en mouvement et génèrent une densité volumique de courant de charges libre $`\overrightarrow{j}_{lib}`$ +caractérisée par la loi d'Ohm locale : + +$`\vec{j}_{\textrm{lib}}=\sigma \vec{E}`$ + +Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. +La réponse à un champ électrique tend à annuler la cause : la séparation des charges +positives et négatives dans des directions opposées vis à vis du champ électrique +appliqué génère un champ électrique induit opposé et dont l'amplitude augmente jusqu'à +annuler totalement le champ initial. Le conducteur revient alors à l'équilibre électrostatique. +Ce retour à l'équilibre est relativement rapide dans le cas des très bons conducteurs +et on peut considérer alors qu'une onde é.m. ne peut pas y pénétrer car le champ +électrique moyen y est maintenu nul constamment (voir le modèle du métal parfait +en fin de chapitre). + + +#### Milieux diélectriques : polarisation + +Les milieux diélectriques (ou isolants) sont caractérisés par la présence de charges +dites de polarisation ou liées (par opposition aux charges libres). Sous l'influence +d'un champ électrique, ces charges peuvent se déplacer sur des distances limitées +(électron en interaction forte avec un noyau par exemple). La séparation locale +des charges induit la création de petits moments dipolaires dont la somme $`\Delta\vec{p}`$ +sur un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ est caractérisée par le vecteur polarisation +diélectrique $`\vec{P}`$ telle que : + +$`\vec{P}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta\tau}`$ + + +La norme de $`\vec{P}`$ s'exprime en C.m$^{-2}$. +Si le vecteur polarisation diélectrique n'est pas homogène dans tout le milieu, il +y aura des accumulations locales de charges de polarisation telles que : + +$`\rho_{p}=- div \vec{P}`$ + +Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. Dans ce cas, +$`\rho_p`$ dépend aussi du temps et ses variations temporelles entraînent la création +d'une densité volumique de courant de charges de polarisation $`\vec{j}_{p}`$ définie +par : + + +$`\vec{j}_{p}=\dfrac{\partial\vec{P}(t)}{\partial t}`$ + +Ces définitions de $`\rho_p`$ et de $`\vec{j}_{p}`$ permettent de vérifier l'équation +de conservation des charges de polarisation. + + +! *Remarque} :* +! +! A la surface du milieu, la discontinuité de $`\vec{P}`$ entraîne la création d'une densité surfacique de charges de polarisation $`\sigma_p`$ telle que ($\vec{n}$, vecteur unitaire orthogonal à la surface) : +! +! $`\sigma_p = \vec{P}.\vec{n}`$ +! + + +##### Milieux magnétiques : aimantation + +Les milieux magnétiques sont caractérisés par l'existence de moments dipolaires +magnétiques individuels $`\vec{m}_i`$ localisés sur les atomes, ions ou molécules +qui les composent. Pour un volume $`\Delta\tau`$, le moment magnétique $`\Delta\vec{m}`$ +n'est autre que la somme de ces moments magnétiques individuels contenus dans $`\Delta\tau`$. +La densité volumique des moments magnétiques est représentée par le vecteur aimantation +$`\vec{M}`$ défini par : + +$`\vec{M} = \dfrac{\Delta\vec{m}}{\Delta\tau}`$ + +Le vecteur aimantation, ou plus simplement l'aimantation, a pour unité $`A.m^{-1}`$. +Lorsque l'aimantation d'un milieu n'est pas homogène, il y apparaît une densité +volumique de courant d'aimantation $`\vec{j}_M`$ non nulle telle que : + +$`\vec{j}_M = rot \vec{M}`$ + +A la surface du matériau, cela se traduit par une densité surfacique de courant +d'aimantation $`\vec{j}_{M_{\textrm{ surf}}}`$ telle que : + +$`\vec{j}_{M_{\textrm{surf}}} = \vec{M}\wedge\vec{n}`$ + +où $`\vec{n}`$ est le vecteur unitaire normal à la surface du matériau. +Toutes ces relations restent valides lorsque l'aimantation $`\vec{M}(t)`$ dépend du temps. + +! *Remarque :* +! +! Il n'existe pas en physique de charge magnétique, \emph{i.e.} un point de l'espace +qui pourrait à lui seul générer un champ magnétique (par analogie avec une charge +électrique et le champ électrique qu'elle génère). De ce fait, on ne peut pas définir +de densité volumique de charge magnétique, contrairement à ce que nous venons de voir +dans le cas des charges liées dans les milieux diélectriques. +! + +#### Equations de Maxwell généralisées aux milieux + +##### Equations de Maxwell + +En écrivant les équations de Maxwell dans un milieu différent du vide, il faut maintenant +tenir compte de toutes les contributions à la densité volumique de charge et à la +densité volumique de courant. On obtient alors : + +$`\quad div\;\vec{B} \; = \; 0`$, + +$`\quad rot \; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}`$, + +$`\quad div \; \vec{E} \; = \; \dfrac{\rho_{total}}{\epsilon_0}`$, + +$`\quad rot\; \vec{B} \; = \; \mu_0\;\left( \vec{j}_{total} +\epsilon_0\; \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)`$, + + +avec $`\;\rho_{total}=\rho_{libre}+\rho_{P}\;`$ et $`\;\vec{j}_{total}= \vec{j}_{libre} + \vec{j}_{P} + \vec{j}_{M}.`$ + +D'après le paragraphe précédent et après développement, ces équations deviennent : + +$`\quad div\; \vec{B} \; = \; 0\;`$, + +$`\quad rot\; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\;`$, + +$`\quad div\; \vec{D} \; = \; \rho_{libre}`$ , + +$`\quad rot\; \vec{H} \; = \; \vec{j}_{libre} +\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}`$ + +avec + +$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}\quad`$ , l'induction électrique +(en $`C.m^{-2}`$), et + +$`\quad \vec{H} \; = \; \dfrac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\quad`$, l'excitation +magnétique (en $`A.m^{-1}`$). + +Ces 4 équations de Maxwell dites généralisées prennent en compte les propriétés +du milieu traversé par l'onde électromagnétique. + +De plus, dans un milieu, le vecteur de Poynting s'écrit de façon générale (exprimé +en $`W.m^{-2}`$) : + + +\begin{equation} +\vec{\Pi} = \vec{E} \wedge \vec{H} \, \text{,} +\end{equation} +et la densité volumique d'énergie (exprimé en W.m$^{-3}$) : +\begin{equation} +u = \dfrac{1}{2} (\vec{E}.\vec{D} + \vec{B}.\vec{H}) \, \text{.} +\end{equation} + +##### Relations constitutives des milieux + +**Lorsque les milieux sont linéaires** (au sens vectoriel du terme) , ils sont alors +caractérisés par des grandeurs intrinsèques qui permettent de relier simplement +la densité volumique de courant de charge libre $`\vec{j}_{libre}`$, l'induction +électrique $`\vec{D}`$ et l'excitation magnétique $`\vec{H}`$ aux champs électrique +$`\vec{E}`$ et magnétique $`\vec{B}`$ auxquels ils sont soumis. On peut ainsi définir +*trois relations constitutives des milieux* : + +**$`\quad \vec{j}_{libre} \; = \; \sigma \vec{E}\quad`$** , avec *$`\sigma`$* la +*conductivité électrique* du milieu, + +**$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon \vec{E}\quad`$**, avec *$`\epsilon`$* la *permittivité +diélectrique* du milieu, + +**$`\quad \vec{B} \; = \; \mu \vec{H}\quad`$**, avec *$`\mu`$* la *perméabilité +magnétique* du milieu. + + + +Il est possible de définir des **grandeurs relatives par rapport au vide** pour +les deux dernières, à savoir : + +**$`\quad \epsilon_r \; = \; \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}\quad `$** la *permittivité +diélectrique relative* du milieu, + +**$`\quad \mu_r \; = \; \dfrac{\mu}{\mu_0}\quad`$** la *perméabilité magnétique +relative* du milieu + + + +Les relations constitutives pour $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ dérivent des deux relations suivantes : + +**$`\quad\vec{P}=\epsilon_0\, \chi_e\, \vec{E}\quad`$** avec *$`\chi_e`$* la *susceptibilité diélectrique* du milieu, + +**$`\quad\vec{M}=\chi_m\, \vec{H}\quad`$** , avec *$`\chi_m`$* la *susceptibilité magnétique* du milieu. + + + +Ceci permet aussi d'écrire : + +**\begin{equation} +\epsilon_r = 1 + \chi_e \quad \text{ et } \quad +\mu_r = 1 + \chi_m. +\end{equation}** + +##### Milieux linéaires, homogènes et isotropes (M.L.H.I.) + +Dans le cas général d'un milieu linéaire quelconque, les grandeurs $`\sigma`$, +$`\epsilon`$ et $`\mu`$ définies précédemment, sont des tenseurs de rang 2 qui dépendent +du point $`M`$ considéré dans le milieu : + +\[ +\vec{\vec{\sigma}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\epsilon}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\mu}}(M,t). +\] + +Cela signifie que $`\vec{j}_{libre}`$, $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ ne sont pas nécessairement +colinéaires à $`\vec{E}`$ et $`\vec{H}`$. + +Par contre, lorsque le milieu est homogène, ces grandeurs sont indépendantes du point +$`M`$ considéré. Si le milieu est isotrope, ce qui signifie si sa réponse à une +perturbation électromagnétique est identique quelle que soit l'orientation de la +perturbation, alors ces tenseurs de rang 2 deviennent des scalaires. De ce fait, +un milieu linéaire, homogène et isotrope sera caractérisé par les trois relations +constitutives où $`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$ seront des scalaires indépendants +du point de l'espace considéré. On note ces milieux des M.L.H.I. + +Nous nous limiterons dans la suite du cours à l'étude de la propagation d'une onde +électromagnétique. dans ces milieux particuliers afin de simplifier la résolution +des équations de propagation des champs. + + +#### OPPM dans un M.L.H.I. + +Nous allons maintenant nous attacher à déterminer les caractéristiques d'une OPPM +se propageant dans un M.L.H.I. en résolvant l'équation de propagation de champs +électrique et magnétique. + +##### Equation de dispersion et constante diélectrique généralisée + +Le calcul de l'équation de propagation du champ $`\vec{E}`$ ou $`\vec{B}`$ à partir +des équations de Maxwell généralisées conduit, lorsque l'on travaille en notation +complexe, à l'équation de dispersion du milieu : + +\begin{equation} +k^2=\underline{\mu} \,\underline{\epsilon}_{g} \,\omega^2 \, \text{ ,} +\end{equation} + +où $`\underline{\epsilon}_{g}`$ est la constante diélectrique généralisée définie par : + +\begin{equation} + \underline{\epsilon}_{g}(\omega) = \underline{\epsilon} + \dfrac{i \underline{\sigma}}{\omega}. +\end{equation} + +! *Remarque :* Dans certains livres de référence la notation de $`\underline{\epsilon}_{g}`$ +est souvent $`\underline{\epsilon}^{\ast}`$. +! + +L'équation de dispersion relie donc le nombre d'onde $`k`$ aux propriétés du milieu +L.H.I. ($`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$) et à la pulsation de l'onde $`\omega`$. +Dans le cas général :` + +\begin{eqnarray} +\underline{\sigma}(\omega) & = & \sigma^{'}(\omega) + i\sigma^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ +\underline{\epsilon}(\omega) & = & \epsilon^{'}(\omega) + i\epsilon^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ +\underline{\mu}(\omega) & = & \mu^{'}(\omega) + i\mu^{''}(\omega) \, \text{ .} +\end{eqnarray} + +$`\underline{k}`$ sera par conséquent un nombre complexe dépendant de $`\omega`$. + + +##### Trois types de propagation + +L'analyse de l'équation de dispersion conduit à la distinction de 3 types de propagation +en fonction de $`k^2`$. + +**Si $`k^2`$ réel positif** : + +Dans ce cas, *$`k`$ sera un réel pur* tel que $`k=\pm k^{'}`$, avec $`k^{'}(\omega) \in \Re^+`$ +; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation. En optant ici pour le signe +positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : + +**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k\,'}.\vec{r}-\omega t)}`$** + +On retrouve l'expression d'une **OPPM qui se propage sans atténuation dans le milieu**. + +![](prop_lib_g.png) + +* **Si $`k^2`$ réel négatif** + +Dans ce cas, *$`k`$ sera un imaginaire pur* tel que $`k=\pm i k''`$, avec $`k''(\omega) \in \Re^+`$ +; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra +nécessairement conduire à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à +mesure que l'onde s'y enfonce (s'il n'y a aucune source extérieure apportant de +l'énergie à l'onde). En optant ici pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ +s'écrit alors : + +$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(i\vec{k}^{''}.\vec{r}-\omega t)}`$ + +soit + +**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})}\exp{(-i\omega t)}`$** + +On obtient une *expression réelle du champ* sous la forme : + +*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\omega t)}\;`$*, + +ce qui correspond à une *onde stationnaire atténuée*, encore appelée **onde évanescente**. + +![](electromagnetic-wave-media-evanescente.jpg) + +* **Si $`k^2`$ complexe** + +Dans ce cas général, *$`\underline{k}`$ sera un complexe* tel que +$`\underline{k}=\pm (k^{'} + i k^{''})`$, +avec $`k^{'}(\omega)`$ et $`k^{''}(\omega) \in \Re^+`$ ; le signe de $`\underline{k}`$ +sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra nécessairement conduire +à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à mesure que l'onde s'y enfonce +(s'il n'y a aucune source extérieure apportant de l'énergie à l'onde). En optant ici +pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : + +$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{\underline{k}}.\vec{r}-\omega t)}`$ + +soit + +**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})} \exp{i(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)}`$** + +On obtient ainsi une *expression réelle du champ* sous la forme : + +*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)} \, \text{,}`$* + +![](electromagnetic-wave-media-attenuation.jpg) + +Lorsque $`\underline{k}`$ est complexe, \emph{i.e.} lorsque **l'amplitude de l'onde +est atténuée**, ce qui caractérise un **milieu dissipatif**. + + +##### Vitesse de phase, vitesse de groupe, indice + +La **vitesse de phase** *d'une OPPM se propageant dans un M.L.H.I.* est définie par : + +**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega}{k\,'(\omega)}.`$** + +Si *$`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$* alors cela caractérise un **milieu +dispersif** . Ceci revient à dire que la fonction $`k\,'(\omega)`$ n'évolue pas +linéairement avec $`\omega`$. + +Dans le cas d'un milieu dispersif, un paquet d'OPPMs de pulsations différentes +centrées autour d'une valeur de référence $`\omega_0`$ s'étalera au fur et à mesure +qu'il progresse dans le milieu, la vitesse de propagation $`v_\varphi`$ de chaque OPPM +étant différente. Si on souhaite caractériser la vitesse de propagation du paquet d'OPPMs, +il faut utiliser la notion de vitesse de groupe au "point" $`\omega_0`$, définie par : + +\begin{equation} +v_g = \dfrac{d \omega}{dk\,'}. +\end{equation} + +Si $`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$, alors $`v_g`$ l'est aussi nécessairement. + +On peut enfin définir l'**indice complexe du milieu** par : + +**\begin{equation} +\underline{n}(\omega) = n\,' (\omega) + i~n\,''(\omega) = \dfrac{c \underline{k}}{\omega} +\end{equation}** + +La *partie réelle $`n\,'`$* correspond à l'**indice de réfraction** ou indice optique +$`n_{opt}`$, et la *partie imaginaire $`n\,''`$* à l' **indice d'extinction** du milieu. +D'après ce qu'on vient de voir, on peut aussi définir l'indice de réfraction de la +façon suivante : + +**$`\quad n\,' (\omega) = n_{opt}(\omega) = \dfrac{c}{v_{\phi}(\omega)}`$** + +##### Courbe de dispersion + +Pour faciliter l'analyse rapide du comportement d'un milieu vis-à-vis de la propagation +d'une OPPM, on trace la **courbe de dispersion du milieu $`\omega (k\,')`$**. Celle-ci +n'est bien sûr définie que lorsqu'il peut y avoir propagation, c'est-à-dire lorsque +$`k\,'`$ est non nul. Cette courbe *permet de distinguer* très rapidement les +**bandes passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles $`k^2`$ est réel positif +ou complexe), des **bandes non-passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles +$`k^2`$ est réel négatif). La courbe de dispersion d'un milieu est de plus toujours +comparée à celle du vide pour laquelle on a $`\omega = c\,k`$. Il s'agit dans ce cas +d'une droite de pente $`c`$. + +![](electromagnetic-waves-media-dispersion2.jpg) + +Par définition, la **vitesse de phase $`v_\varphi (\omega_1)`$** est donnée par la +*pente du segment reliant l'origine au point $`M_1(k_{1}^{'},\omega_1)`$ de la courbe +de dispersion*. En effet, celle-ci vaut bien : + +**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega_1}{k_{1}^{'}} \, \text{.}`$** + +Il est donc très facile d'estimer l'évolution de $`v_\varphi`$ en fonction de +$`\omega`$, en suivant l'évolution de cette pente. + +De même, la **vitesse de groupe $`v_{g}(\omega_2)`$** est par définition donnée +par la *pente de la tangente à la courbe de dispersion au point $`M_2(k_{2}',\omega_2)`$.* +En effet : + +**$`\quad v_{g}(\omega_2) = \left(\dfrac{d \omega}{d k\,'}\right)_{M_2} = \omega\,'(k\,'_2)`$** + +Sachant cela, il est alors aisé de déterminer si le milieu est dispersif (i.e si +$`v_\varphi`$ varie en fonction de $`\omega`$), et de comparer $`v_\varphi`$ et $`v_g`$ +en fonction $`c`$, la vitesse de phase et de groupe de toute OPPM dans le vide. + + +#### Cas d'un M.L.H.I. diélectrique + +##### Equation de dispersion + +On se place maintenant dans le cas d'un **milieu L.H.I. diélectrique** tel que +**$`\sigma = 0`$, $`\mu = \mu_0`$** et +**$`\underline{\epsilon}(\omega) = \epsilon\,'(\omega) + i\epsilon\,''(\omega)`$**. +L'équation de dispersion se réduit alors à : + +**\begin{equation} +\quad\underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} +\end{equation}** + +ou encore : + +**\begin{equation} +\quad\underline{k}^2=\dfrac{\omega^2}{c^2} \underline{\epsilon}_r \, \text{,} +\end{equation}** + +avec **$`\underline{\epsilon}_r (\omega) = \epsilon^{'}_r(\omega) + i\epsilon^{''}_r(\omega) = \dfrac{\underline{\epsilon}}{\epsilon_0}`$.** + +L'étude de la propagation d'une OPPM dans ce diélectrique revient à étudier les +variations de $`\underline{\epsilon}(\omega)$. + +##### Diélectrique non-absorbant, et indice optique + +Lorsque le **diélectrique est non-absorbant**, cela se traduit par une *constante +diélectrique réelle* pour toutes valeurs de $`\omega`$ (soit $`\epsilon\,''(\omega)=0`$, +$`\forall \omega`$).
+On en déduit que la **propagation** a bien lieu **sans atténuation**, caractérisée par : + + + +**$`\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c}`$**, + +**$`\quad v_\varphi \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}`$**, + +**$`\quad v_g \, = \, \dfrac{ 2c\,\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}{\omega\cdot \epsilon_r'(\omega)+2\;\epsilon_r(\omega)}`$** + +L'**indice optique** s'écrit alors **$`n_{opt}(\omega) = \sqrt{\epsilon_r (\omega)}`$**. + +La **longueur d'onde** de l'OPPM dans ce milieu vaut +**$`\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\textrm{opt}}}`$**, où $`\lambda_0 = c/\nu`$ est +la longueur d'onde dans le vide. + +Si on note $`\vec{u}`$ le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens de +propagation, le champ magnétique $`\vec{B}`$ s'écrit : + +\begin{equation} +\quad\underline{\vec{B}}=\dfrac{n_{opt}}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E}). +\end{equation} + +On en déduit, en notation réelle, que : + + + +$`\quad u \, = \, \epsilon E^2`$ + +$`\quad \vec{\Pi} \, = \, c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u}`$ + +soit + +$`\quad \vec{\Pi} \, = \, v_\varphi u \, \vec{u}`$ + +$`\quad \langle \vec{\Pi}\rangle_T \, = \, \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}`$ + + +##### Diélectrique absorbant + +Un **diélectrique absorbant** est un diélectrique dans lequel le *vecteur polarisation +$`\vec{P}(t)`$* *suit les variations de $`\vec{E}(t)`$ avec un certain retard $`\varphi_p`$* +, de sorte que : + + +**$`\quad \underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)`$** + +avec + +**$`\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}`$** + + + +En notation réelle, on obtient finalement pour l'induction électrique : + +$`\displaystyle \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0 \cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \left( \epsilon_r' \; cos (\overrightarrow{k'}.\overrightarrow{r} - \omega t) - \epsilon_r'' \; sin (\overrightarrow{k'} \,\overrightarrow{r}-\omega t) \right) \overrightarrow{E}_0`$ + +avec + +$`\quad\epsilon_r' (\omega) = 1 + \chi_e' (\omega) \; \text{ et } \; \epsilon_r''(\omega) = \chi_e'' (\omega)`$ + +On peut aussi écrire l'induction électrique sous la forme : + +$`\displaystyle \quad \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0\;\sqrt{\epsilon_r'^2+\epsilon_r''^2}\cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \;cos\,\left(\overrightarrow{k'} .\overrightarrow{r}-\omega. t+\phi_D) \right) \overrightarrow{E}_0`$, + +avec + +$`\quad\tan{\varphi_D}=\dfrac{\epsilon^{''}_r}{\epsilon^{'}_r}`$ + + +Comme $`\vec{D}`$ est nécessairement en retard sur $`\vec{E}`$, $`\epsilon_r'' (\omega)`$ +est positive. Pour les très faibles fréquences cependant ($\omega \rightarrow 0$), +le retard à la polarisation tend vers $`0`$ donc $`\epsilon_r''`$ tend vers $`0`$ +et $`\epsilon_r'`$ tend vers $`(1+\chi'_{e}(\omega))`$. + +##### Indice complexe + +L'équation de dispersion s'écrit à nouveau : + +\begin{equation} +\quad \underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} +\end{equation} + +ce qui se décompose en un système de 2 équations à 2 inconnues lorsqu'on identifie +les parties réelles et imaginaires : + +$`\left\{ \begin{array}{ccc} +k'^{2} - k''^{2} \, = \, \mu_0\, \epsilon' \omega^2 \\ +2\, k' k'' \, = \, \mu_0\, \epsilon'' \omega^2 +\end{array} +\right.`$ + +L'indice complexe $`\underline{n}`$ du milieu est défini par : + +$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \underline{\epsilon}_{r}\quad`$ , ou encore +$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \dfrac{c^2 \underline{k}^2}{\omega ^2}`$ + +Dans ces conditions, le système d'équations à résoudre devient : + +$`\left\{ \begin{array}{ccc} +n'^{2} - n''^{2} \, = \, \epsilon_r' \\ +2 \,n' n'' \, = \, \epsilon_r' +\end{array} +\right.`$ + +La vitesse de phase $`v_\varphi`$ se définit comme : +$`v_\varphi = \dfrac{\omega}{k'} = \dfrac{c}{n'}`$ + +**Définition :** + +La **partie réelle $`n'`$** est appelée *indice de réfraction* du milieu alors que +la **partie imaginaire** correspond à l' *indice d'extinction*. + + +##### Propagation de l'énergie + +Le vecteur de Poynting associé à une OPPM qui se propage selon $`(Ox)`$ vers les +$`x`$ croissants, dans ce diélectrique absorbant est le suivant : + +$`\vec{\Pi}=\dfrac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_0}=c \,\epsilon_0\,{E_0}^2 \,e^{-2k''x}`$ +$`\times \left[ n^{'} \cos^2 (k'x-\omega t) - n'' \sin (k'x-\omega t)\right.`$ +$`\left.\,cos (k'x-\omega t)\right]~\vec{e}_x `$, + +et sa valeur moyenne associée : + +$`\displaystyle\langle \vec{\Pi} \rangle_T =c n' \frac{\epsilon_0 {E_0}^2}{2} \;e^{\left(-2n'' \dfrac{\omega}{c}x\right)}~\vec{e}_x `$ + +La décroissance de la puissance propagée par l'onde est caractérisée par le coefficient +d'extinction $`\beta`$ (ou coefficient d'atténuation) du milieu : +$`\beta = 2 k'' = 2 n'' \dfrac{\omega}{c}`$. + +#### Cas d'un M.L.H.I. très bon conducteur + +##### Temps de relaxation d'un bon conducteur + +D'après l'équation de conservation de la charge et la loi d'Ohm locale dans un +conducteur, la densité volumique de charge libre $`\rho_{\textrm{libre}}`$ vérifie +l'équation différentielle suivante : + +$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} \,+ \,div\, \vec{j}_{libre} = 0`$ + +avec $`\quad\vec{j}_{libre}=\sigma \vec{E}\quad`$ et +$`\quad div\, \vec{E}=\dfrac{\rho_{libre}}{\epsilon_0}`$ + +d'où : + +$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_{libre} = 0`$ + +Si on suppose une accumulation de charge de densité non-nulle $`\rho_0`$ à l'instant +$`t = 0`$ dans le métal, celle-ci disparaîtra exponentiellement selon la loi : + +$`\rho_{libre} = \rho_0\;e^{-\frac{t}{\tau}}\quad`$ avec $`\quad \tau = \dfrac{\epsilon_0}{\sigma}`$ + +Dans le cas du cuivre par exemple où $`\sigma = 0,57.10^{8}~\Omega^{-1}\,m^{-1}`$, +$`\tau = 1,5.10^{-19}\,s`$. Pour des temps si courts, la loi d'ohm locale n'est plus +valable car la conductivité est définie par l'intermédiaire du temps de libre parcours +moyen des porteurs de charge entre 2 chocs qui est de l'ordre de $`10^{-14}\,s `$. +A l'échelle mésoscopique, nous travaillons cependant avec des OPPMs de période temporelle +$`T`$ supérieure à $`10^{-14}\,s`$. Ainsi, comme $`\tau \gg T`$, nous pourrons considérer +que $`\rho_{libre} = 0`$ à tout instant dans le bon conducteur. + +De plus, la comparaison des amplitudes des densités volumiques de courant de charges +libres et de courant de déplacement conduit à : + +\begin{equation} +\dfrac{\left| \underline{\overrightarrow{j}} \right|}{\left| \epsilon_0 \dfrac{\partial \underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t} \right|} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 \omega} = 2 \pi \dfrac{T}{\tau} \ll 1 +\end{equation} + +Ceci montre que nous pouvons négliger dans ce cas la densité volumique de courant +de déplacement. + +##### Equation de dispersion et profondeur de pénétration + +Les 4 équations de Maxwell s'écrivent alors : + + +$`\quad div\, \vec{B} \, = \, 0 `$ + +$`\quad rot\, \vec{E} \, = \, -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}`$ + +$`\quad div\, \vec{E} \, = \, 0 `$ + +$`\quad rot\, \vec{B} \, = \, \mu_0 \,\vec{j}_{libre} = \mu_0 \,\sigma\, \vec{E} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 c^2}\, \vec{E}`$ + + +Ceci conduit à l'équation de propagation pour le champ électrique suivante (en notation complexe) : + +\begin{equation} +\Delta \underline{\vec{E}} + i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2} \underline{\vec{E}} = \vec{0}. +\end{equation} + +D'où l'équation de dispersion du milieu : + +\begin{equation} +\underline{k}^2 = i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2}. +\end{equation} + +Ainsi $`\underline{k}`$ s'écrit pour une onde se propageant dans le sens "positif" : + +\begin{equation} +\underline{k} = \dfrac{1+i}{\delta} \, \text{ avec } \delta = \sqrt{\dfrac{2 \epsilon_0 c^2}{\sigma \omega}}. +\end{equation} + +$`\delta`$ est appelé la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal, exprimée +en m. On est donc dans le cas d'une propagation avec atténuation de l'OPPM avec comme +vitesse de phase $`v_\varphi = \omega \delta`$. L'indice de réfraction du milieu +est donc défini par $`n' = \dfrac{c}{\omega \delta}`$. Ces 2 dernières grandeurs +dépendent de la pulsation de l'OPPM donc le milieu est dispersif. + +##### Modèle du métal parfait + +Pour un bon conducteur, la profondeur de pénétration $`\delta`$ n'excède généralement +pas quelques mm aux fréquences les plus basses comme on peut le voir dans le tableau +donné ci-dessous pour le cuivre.\\ + +----------------- + | | | | | +| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | +| Fréquence | $`\lambda`$ | $`\delta`$ | $`v_\varphi`$ | $`n'`$ | +| 100 Hz | 3000 km | 6,5 mm | 4,1 m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^7`$ | +| 10 GHz | 3 cm | 0,65 $`\mu`$m | 4,1 10$`^4`$ m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^3`$ | +-------------- + +_Valeurs à deux fréquences typiques de la profondeur de pénétration et des grandeurs +associées pour le cuivre massif._ + + +Ceci nous permet de justifier l'utilisation du modèle du métal parfait, c'est-à-dire +un métal de conductivité infinie. Dans ce cas, $`\tau`$ tend vers $`0`$, ainsi que $`\delta`$. +L'OPPM est donc instantanément, et totalement atténuée dès son entrée dans le métal +parfait. On considère alors qu'en tout point du métal parfait le champ électrique $`\vec{E}`$ +est nul (et par conséquent le champ magnétique $`\vec{B}`$ aussi), et qu'il ne peut +exister d'onde é.m. L'utilisation de ce modèle rend bien compte, -comme nous allons +le voir au chapitre suivant-, de la très bonne réflectivité des métaux (utilisés +comme miroir de ce fait). + +A l'interface de 2 matériaux dont un modélisé par un métal parfait, la réflexion +d'une OPPM génère une densité surfacique de courant non nulle sur la surface. +Ce qui reste en accord avec une loi d'Ohm locale pour laquelle $`\sigma`$ est +infinie et $`\vec{E}`$ est égal à $`\vec{0}`$. + + + + + + + + + --- title: published: false