Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en el plano $`xOy`$
que conduce al punto $`m_ {xy}`$, y en el eje $`Oz`$ que conduce al punto $`m_z`$.
El punto $`m_ {xy}`$ se proyecta ortogonalmente en los ejes $`Ox`$ y $`Oy`$, liderando
respectivamente en los puntos $`m_x`$ y $`m_y`$ (ver figura ...). <br>
o, para un equivalente de escritura más simple, pero menos visual: <br>
Cualquier punto $`M`$ del espacio se proyecta ortogonalmente en cada uno de los ejes $`Ox, Oy, Oz`$
conduciendo respectivamente a los puntos $`m_x`$, $`m_y`$ y $`m_z`$. <br>
_otra propuesta, o mejorar en el texto: _
(XXX1):
(XXX2):
[FR]
(CME):
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$
conduisant au point $`m_{xy}`$, et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$.
Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant
respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...). <br>
ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :<br>
Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$
conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. <br>
_autre proposition, ou améliorer dans le texte :_
(XXX1):
(XXX2):
[EN] (aut-tra)
Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on the plane $`xOy`$
leading to the point $`m_{xy}`$, and on the axis $`Oz`$ leading to the point $`m_z`$.
The point $`m_ {xy}`$ is projected orthogonally on the axes $`Ox`$ and $`Oy`$, leading
respectively at points $`m_x`$ and $`m_y`$ (see figure ...). <br>
or, for a simpler, but less visual, writing equivalent: <br>
Any point $`M`$ of space is orthogonally projected on each of the axes $`Ox, Oy, Oz`$
leading respectively to the points $`m_x`$, $`m_y`$ and $`m_z`$. <br>
_other proposal, or improve in the text: _
(XXX1):
(XXX2):
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* *COOSYS-120*
Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les
distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$.
Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**.
**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$**
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* *COOSYS-130*
Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$.
Si le point est un point quelconque, on simplifie :
$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
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* *COOSYS-140*
**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont :
!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes :
!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie.
!!!!
!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$
!!!!
!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée.
<!--
* *COOSYS-60* :
[ES] Característica de los sistemas de coordenadas "cartesianos" : si un punto $`M(x,y,z)`$
hace un desplazamiento infinitesimal hasta el punto $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
el Elemento escalar de línea $`dl`$ se escribe simplement :
[FR] Caractéristique des systèmes de coordonnées "cartésiennes" : si un point $`M(x,y,z)`$
fait un déplacement infinitésimal jusqu'au point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
l'élément scalaire de longueur $`dl`$ s'écrit simplement :
[EN] Characteristic of "Cartesian" coordinate systems : if a point $`M(x,y,z)`$ makes
an infinitesimal displacement up to point $`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$,<br>
Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$
forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes.
En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la
**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**.
base orthogonale indépendante de la position de $`M`$
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* *COOSYS-190*
[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$,
est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :<br>
\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.<br>
\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression
$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $`x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$.
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* *COOSYS-200*
Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$: <br>
$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.<br>
Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :<br>
\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I. <br>
\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I. <br>
\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I. <br>
