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@@ -37,44 +37,121 @@ riz jusqu'à la dernière case de l'échiquier.
J'écris d'abord la formule mathématique qui décrit comment calculer le nombre de grains de riz nécessaire
pour répondre au souhait de Sissa :
+
+
$`\text{nombre de grains requis pour l'échiquier}`$
$`\quad = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}`$
$`+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}`$
-Ce calcul ne semble vraiment pas compliqué à faire si j'ai un peu ... beaucoup!... de temps. Il ne s'agit que de multiplications par le chiffre 2, et d'additions.
-Le nombre de grains que je trouverais est :
+Ce calcul ne semble vraiment pas compliqué à faire si tu as un peu ... beaucoup!... de temps. Il ne s'agit que de multiplications par le chiffre 2, et d'additions.
+Le nombre de grains que tu trouverais est :
$`\quad = \text{18 446 744 073 709 551 615 grains}`$
-C'est un peu plus que dix-huit milliards de milliard de grains de riz. Cela semble vraiment beaucoup !
-C'est ce que j'appelle un grand nombre. J'ai l'intuition certaine que trois bole sont largement insuffisants.
-Que faudra-t-il pour contenir tout ce riz? Cela représente combien de silots à grains?
+C'est *un peu plus que* **dix-huit milliards de milliard de grains de riz**.
+
+!! *Pour aller plus loin :*
+!!
+!! Trouver une *nouvelle expression plus compacte* de ce nombre de grains de riz pour
+!! un *calcul plus rapide avec une calculatrice*, en utilisant la *fonction puissance $`x^y`$*.
+!!
+!! Nomme $`N`$ le nombre de grains requis pour l'échiquier.
+!!
+!! $`N = \overset{\text{case 1}}{1} + \overset{\text{case 2}}{2} + \overset{\text{case 3}}{(2\times 2)}`$
+!! $`+ \overset{\text{case 4}}{(2\times 2\times 2)} + ... + \overset{\text{case 64}}{\underset{\text{2 écrit 63 fois}}
+!! {\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}}`$
+!!
+!! Ce nombre peut être réécrit en utilisant la *fonction puissance de 2*, définie pour toute nombre entier naturel $`n`$ par
+!! *$`2^n=\underset{\text{2 écrit n fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}`$*
+!! *$`2^n`$* se dit *deux à la puissance n*.
+!!
+!! $`N=1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +\,.\,.\,. + 2^{62}`$$`\; + 2^{63}`$$`\;\quad (equ.1)`$
+!!
+!! Tu as le droit de multiplier les deux membres (gauche et droit) de cette égalité par un même nombre réel. Ainsi cette égalité écrite restera vraie. Multiple les par 2 :
+!!
+!! $`N \times 2 = 1 \times 2 + 2^1 \times 2 + 2^2 \times 2 `$$`\;+ 2^3 \times 2 + \,.\,.\,. + 2^{62} \times 2 + 2^{63} \times 2`$
+!!
+!! Mais par définition :
+!!
+!! $`2^n \times 2 = \underset{\text{2 écrit n fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}\times 2`$
+!! $`\quad = \underset{\text{2 écrit n+1 fois}}{\underbrace{(2\times 2\times 2\times ... \times 2)}}=2^{n+1}`$
+!!
+!! Tu peux donc réécrire
+!!
+!! $`N \times 2 = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \,.\,.\,. + 2^{63}`$$`\; + 2^{64}\quad(equ.2)`$
+!!
+!! Tu peux maintenant comparer les équations $`(equ.1)`$ et $`(equ.2)`$, et remarquer que
+!!
+!! $`2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \,.\,.\,. + 2^{63} + 2^{64}`$$`\; = (1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +\,.\,.\,. + 2^{62} + 2^{63}`$$`\;-1+2^{64}`$
+!!
+!! donc $`N \times 2 = N - 1 + 2^{64}`$
+!!
+!! $`(N \times 2) - N = 2^{64}- 1`$
+!!
+!! soit au final $`N = 2^{64}- 1`$.
+!!
+!! Pour ce calcul, une calculatrice avec suffisamment de chiffres d'affichage donnerait $`2^{64}=18\,446\,744\,073\,709\,551\,616`$.
+!!
+!! Peu de calculatrices affichent autant de chiffres, car un résultat affiché avec autant de précision n'a pas vraiment d'intérêt.
+!! Une calculatrice standard affiche par exemple :
+!! $`N=18\,446\,744\,073\,709\,55e19`$
+!! Le "e19" signifie que pour obtenir le nombre affiché, il faut reculer la virgule vers la droite de 19 positions, en ajoutant des $`0`$ si nécessaire. Tu pourrais ainsi écrire :
+!! $`N=1,844674407370955e19`$$`\quad N=18446744073709550000`$.
+!! Comme tu le vois, tu perds la précision sur les 4 derniers chiffres ($`0000`$ eu lieu de $`1615`$.
+!!
+!! En fait, afficher un résultat avec une erreur de $`1615`$ sur plus de 18 milliards de milliard n'a aucune importance. Seul l'*ordre de grandeur* est important, et pour afficher celui-ci, *2 chiffres significatifs sont suffisants* en général. Les chiffres significatifs sont les chiffres les plus à gauche et différents de $`0`$. Tu écriras ainsi :
+!!
+!! $`N\sim 18\,000\,000\,000\,000\,000\,000`$
+!!
+!! où mieux encore sous forme de puissance de dix :
+!!
+!! $`N\sim 1,8^{19}`$, ou encore $`N\sim 18^{18}`$ (dans ce dernier cas, la puissance 18 t'indique directement le nombre de 0, ce qui évite de les recompter).
+!!
+!! *Une telle somme*, qui commence par un entier $`a`$ et dont chaque terme est le produit du terme suivant par un entier b *est appelée suite géométrique* de premier terme a et de raison b.
+!! Les étapes du calcul précédent sont la base pour établir un résultat très général concernant les suites géométriques.
+!! La suite géométrique sera dans le programme du *prochain niveau "collines"*.
+
+
+Il faudra expliquer le symbole $`\sim`$
-Note : Le calcul relève au moins du niveau 2, manipuler les puissances, etc... mais c'est peut-être bien
-dans dire un mot dans une partie "au-delà".
##### C'est un nombre énorme ! Combien de ... tonnes de riz cela représente-t-il?
-$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$
-$`\text{masse totale de riz}\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$
+**Estimation de la masse de riz** *que cela représente*
-Il faudra expliquer le symbole $`\sim`$
+Essaye de réfléchir à ce que représente ce nombre $`2^{64}`$, en évaluant à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente :
+
+
+
+Une méthode serait de :
+
+* **mesurer** approximativement la *masse de 100 grains* de riz.
+* en déduire par une **règle de trois** la *masse de $`2^{64}`$ grains* de riz.
+* trouver sur internet des **informations** qui permettent de se représenter la *signification mentale d'une telle quantité* de riz.
+
+Méthode : mesure de la masse de 100 grains de riz. Incertitude de mesure très grande, mais pas d'incertitude au niveau 1. Et ce n'est pas l'objectif de ce chapitre au niveau 2. Donc on prend le symbole $`\sim`$ qu'il faudra expliquer.
+
+$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$
+
+$`\text{masse totale de riz}`$$`\;\;\;\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$
$`M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g`$
-=...
-On obtient ainsi 18 446 744 073 709 551 615 grains
+$`\text{masse de 100 grains de riz}\sim 3\,\text{grammes}`$
+
+$`\text{masse totale de riz}\sim\dfrac{\text{nombre de grains}}{100}\times \text{masse de 100 grains}`$
-Et une réflexion sur ce que représente ce chiffre de $`2^{64}`$, en évaluant
-à la louche, avec une petite expérience que chacun peut faire, la masse de riz que cela représente :
+$`M_{riz}= \dfrac{18\;446\;744\;073\;709\;551\;615}{100}\times 3\,g`$
+=...
+à continuer :
Ramenez au temps qu'il faudrait pour compter ces grains,
ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé.
@@ -82,12 +159,6 @@ ou pour observer l'évènement, le dernier grains sur la 64ème case est posé.
Avec l'idée de montrer que si la fréquence d'un évènement est trop faible, même si
mathématiquement elle n'est pas nulle, en pratique elle ne s'observera jamais.
-Ca, manipuler l'exposant, c'est plutôt lycée, niveau 2 :
-(mais on peut peut-être le mettre dans un apparté "Pour aller plus loin")
-
-$`2^{64}=\underset{\text{2 écrit 64 fois}}{\underbrace{2\times 2\times 2\times ... \times 2}}`$
-
-Bon ... là je mets juste pour reprendre toute cela plus tard, et ne pas oublier. Mais là! ... dodo.
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