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@@ -11,35 +11,49 @@ de coordonnées / Course elements : the coordinate systems
 * **No es un curso**, son simplemente elementos de curso (vocabulario, ecuaciones, 
 ideas) que se pueden utilizar para crear cursos.
 * **Revisar la redacción de las ecuaciones, el vocabulario, proponer modificaciones**.
-* Si podemos tener una presentación y ecuaciones comunes, está bien. Si tenemos alguna diferencia, los estudiantes deberán verla y comprenderla. También es bueno.
-* Existe un estándar internacional (vocabulario, escritura), disponible en cada idioma. Podemos cumplirlo. Podemos cumplirlo. Si no cumplimos, dejaremos de lado el estándar.
+* Si podemos tener una presentación y ecuaciones comunes, está bien. Si tenemos alguna 
+diferencia, los estudiantes deberán verla y comprenderla. También es bueno.
+* Existe un estándar internacional (vocabulario, escritura), disponible en cada idioma.
+Podemos cumplirlo. Podemos cumplirlo. Si no cumplimos, dejaremos de lado el estándar.
 * Los elementos están desordenados.
 * *Se indica una estimación del nivel*.
 * El vínculo entre los sistemas de coordenadas y el marco de referencia estará en otra parte.
-* En *tipo marrón y negrita : vocabulario para comprobar*, propuestas de las *ecuaciones para la parte de síntesis* (recordatorio: cada curso consta de 3 partes: principal / resumen / más allá).
+* En *tipo marrón y negrita : vocabulario para comprobar*, propuestas de las 
+*ecuaciones para la parte de síntesis* (recordatorio: cada curso consta de 3 partes:
+principal / resumen / más allá).
 * Los elementos de cursos están numerados para encontrarlos más fácilmente.
 
 [FR] : 
-* **Ce n'est pas un cours**, ce sont simplement des éléments de cours (vocabulaire, équations, idées) qui pourront servir à construire des cours.
+* **Ce n'est pas un cours**, ce sont simplement des éléments de cours (vocabulaire, 
+équations, idées) qui pourront servir à construire des cours.
 * **Vérifier l'écriture des équations, le vocabulaire, proposer des modifications**.
-* Si nous pouvons avoir une présentation et des équations communes, c'est bien. Si nous avons des différences, les étudiants devront les voir et les comprendre. C'est bien aussi.
-* Il existe une norme (vocabulaire, écriture) internationale, déclinée dans chaque langue. Nous pouvons nous y conformer. Si nous ne nous y conformons pas, nous donneront en apparté la norme.
+* Si nous pouvons avoir une présentation et des équations communes, c'est bien. Si 
+nous avons des différences, les étudiants devront les voir et les comprendre. C'est bien aussi.
+* Il existe une norme (vocabulaire, écriture) internationale, déclinée dans chaque langue.
+Nous pouvons nous y conformer. Si nous ne nous y conformons pas, nous donneront en 
+apparté la norme.
 * Les éléments sont donnés dans le désordre.
 * *Une estimation du niveau est indiquée*. 
 * Le lien entre systèmes de coordonnées et référentiel sera dans une autre partie.
-* En *caractères marrons et gras : vocabulaire à vérifier*, propositions des *équations pour la partie synthèse*.
+* En *caractères marrons et gras : vocabulaire à vérifier*, propositions des 
+*équations pour la partie synthèse*.
 * Les éléments de cours sont numérotés, pour les retrouver plus facilement.
 
 
 [EN] :
-* **It is not a course**, here are simply course elements (vocabulary, equations, ideas) that can be used to build courses.
+* **It is not a course**, here are simply course elements (vocabulary, equations,
+ideas) that can be used to build courses.
 * **Check the writing of the equations, the vocabulary, suggest modifications**.
-* If we can have a common presentation and equations, that's good. If we have any differences, the students will need to see and understand them. That is good too.
-* There is an international standard (vocabulary, writing), available in each language. We can comply with it. If we don't comply, we'll set aside the standard.
+* If we can have a common presentation and equations, that's good. If we have any 
+differences, the students will need to see and understand them. That is good too.
+* There is an international standard (vocabulary, writing), available in each language. 
+We can comply with it. If we don't comply, we'll set aside the standard.
 * The *elements are given out of order*.
 * An estimate of the level is indicated.
 * The link between coordinate systems and reference frame will be in another part.
-* In *brown and bold type : vocabulary to check*, proposals for the *equations that will remain in the summary part*. (reminder: each course is in 3 parts: main / summary / beyond).
+* In *brown and bold type : vocabulary to check*, proposals for the 
+*equations that will remain in the summary part*. (reminder: each course is in 3 parts:
+main / summary / beyond).
 * The course elements are numbered, to find them more easily.
 
 <!--caligraphie de l'intégrale double curviligne-->
@@ -70,17 +84,21 @@ the mastery of the trigonometric functions.
 
 * *20* : **N1 ($`\rightarrow`$ N2, N3, N4)**
 
-[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, que va del pasado al futuro <br>
-$`\Longrightarrow`$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican la posición y fecha 
+[ES] Se percibe que el espacio tiene 3 dimensiones, y el tiempo una sola dimensión, 
+que va del pasado al futuro <br>
+$`\Longrightarrow`$ sistema de coordenadas : 3+1=4 números reales que especifican 
+la posición y fecha 
 en el espacio y el tiempo de cualquier punto o evento $`M`$.
 
-[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique fléché du passé vers le futur <br>
+[FR] L'espace est perçu comme ayant 3 dimensions, et le temps une dimension unique
+fléché du passé vers le futur <br>
 $`\Longrightarrow`$ système de coordonnées : 3+1=4 nombres réels qui précisent la position 
 et la date dans l'espace et le temps de tout point ou évènement $`M`$.
 
-[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, arrowed from the past to the future <br>
-$`\Longrightarrow`$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position and the date 
-in space and time of any point or event $`M`$.
+[EN] Space is perceived as having three dimensions, and time a single dimension, 
+arrowed from the past to the future <br>
+$`\Longrightarrow`$ coordinate system : 3+1=4 real numbers which specify the position 
+and the date in space and time of any point or event $`M`$.
 
 [Fr] : <br>
 Vos initiales : **XXX** , institut/université : **INSA** :<br>
@@ -273,12 +291,14 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 [FR] Dans le cadre de l'espace temps de Newton, et de la géométrie euclidienne 
 (on ne précise pas tout cela au niveau 2).
 
-[EN] In the framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry (we do not specify all this at level 2).
+[EN] In the framework of Newton's space and time, and Euclidean geometry (we do not
+specify all this at level 2).
 
 
 * *50* : **N2 ($`\rightarrow`$ N3, N4)**
 
-Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / The artesian coordinates write :
+Las coordenadas cartesianas se escriben / les coordonnées cartésiennes s'écrivent / 
+The artesian coordinates write :
 
 $`(x,y,z)`$, **$`\mathbf{(x,y,z)}`$**
 
@@ -288,7 +308,8 @@ $`x\in\mathbb{R}`$,  $`y\in\mathbb{R}`$ et $`z\in\mathbb{R}`$.
 
 **$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$**,  **$`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$**, **$`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$**
 
-Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
+Coordenadas cartesianas de un punto $`M`$ /coordonnées cartésiennes d'un point $`M`$ / 
+Cartesian coordinates of a point $`M`$ :
 
 $`(x_M,y_M,z_M)`$.
 
@@ -296,7 +317,8 @@ Escribimos / on écrit / we write :
 
 $`M(x_M,y_M,z_M)`$
 
-Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :
+Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, 
+on simplifie / If the point is any point, we simplify :
 
 $`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
 
@@ -334,7 +356,8 @@ et $`(x_2, y_2, z_2)`$ est donné par le théorème de Pythagore :
 two points $`M_1`$ and $`M_2`$ in space, and of Cartesian coordinates $`(x_1, y_1, z_1)`$ 
 and $`(x_2, y_2, z_2)`$ is given by the Pythagorean theorem:
 
-$`d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`$ , **$`\mathbf{d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}`$**
+$`d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}`$ , 
+**$`\mathbf{d_{12}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}}`$**
 
 <!--$`d_{12}=\sqrt{(x_2-X_1)^2+(Y_2-Y_1)^2+(Z_2-Z_1)^2}=\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^3(X_2^î-X_1î)^2}`$-->
 
@@ -504,14 +527,17 @@ tangent vector to the trajectory at point $`M`$. It writes :
 
 $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$
 
-[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_x}`$ (que indica la dirección y el sentido
-de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
+[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_x}`$ (que 
+indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto M cuando solo aumenta 
+infinitesimalmente la coordenada x se escribe:
 
-[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens 
-de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit :
+[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique 
+la direction et le sens de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît 
+de façon infinitésimale) s'écrit :
 
-[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_x}`$  (which indicates the direction of displacement 
-of the point M when only the coordinate x increases in an infinitesimal way) writes :
+[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_x}`$  (which indicates 
+the direction of displacement of the point M when only the coordinate x increases 
+in an infinitesimal way) writes :
 
 $`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$
 
@@ -755,24 +781,36 @@ And what do you want to use, knowing that the standard is the letter $`A`$?
 
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=121-11-21
 
-[ES] Tenga en cuenta que en el electromagnetismo, el potencial vectorial usa la letra $`A`$. En el conjunto de ecuaciones encontraremos las áreas $`\overrightarrow{dS}`$ y el potencial vectorial $`A`$. Mantenemos $`S`$?
+[ES] Tenga en cuenta que en el electromagnetismo, el potencial vectorial usa la letra $`A`$.
+En el conjunto de ecuaciones encontraremos las áreas $`\overrightarrow{dS}`$ y el
+potencial vectorial $`A`$. Mantenemos $`S`$?
 
-[FR] Remarque, en électromagnétisme, le potentiel vecteur utilise la lettre $`A`$.  Dans l'ensemble des équations nous rencontrerons des aires $`\overrightarrow{dS}`$ et le potentiel vecteur $`A`$. On garde $`S`$ ?
+[FR] Remarque, en électromagnétisme, le potentiel vecteur utilise la lettre $`A`$.  
+Dans l'ensemble des équations nous rencontrerons des aires $`\overrightarrow{dS}`$ 
+et le potentiel vecteur $`A`$. On garde $`S`$ ?
 
-[EN] Note, in electromagnetism, the vector potential uses the letter $`A`$. In the set of equations we will meet areas $`\overrightarrow{dS}`$ and the vector potential $`A`$. Do we keep $`S`$?
+[EN] Note, in electromagnetism, the vector potential uses the letter $`A`$. In the 
+set of equations we will meet areas $`\overrightarrow{dS}`$ and the vector potential 
+$`A`$. Do we keep $`S`$?
 
-[ES] Proposición: Anotamos los objetos físicos o matemáticos mediante mayúsculas caligrafiadas. Ejemplo :<br>
-\- un plano $`\mathscr{P}`$, una superficie $`\mathscr{S}`$ de área $`S`$, un volumen físico $`\mathscr{V}`$ de volumen (en $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
+[ES] Proposición: Anotamos los objetos físicos o matemáticos mediante mayúsculas 
+caligrafiadas. Ejemplo :<br>
+\- un plano $`\mathscr{P}`$, una superficie $`\mathscr{S}`$ de área $`S`$, un volumen
+físico $`\mathscr{V}`$ de volumen (en $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
 \- una superficie cerrada  $`\PSclosed`$ de área $`S`$?<br>
 \- una superficie abierta $`\PSopen`$ de área $`S`$?
 
-[FR] Proposition : On note les objects physiques ou mathématiques par des lettres majuscules caligraphiées. Exemple :<br>
-\- un plan $`\mathscr{P}`$, une surface $`\mathscr{S}`$ d'aire $`S`$, un volume physique  $`\mathscr{V}`$ de volume (en $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
+[FR] Proposition : On note les objects physiques ou mathématiques par des lettres 
+majuscules caligraphiées. Exemple :<br>
+\- un plan $`\mathscr{P}`$, une surface $`\mathscr{S}`$ d'aire $`S`$, un volume physique
+$`\mathscr{V}`$ de volume (en $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
 \- une surface fermée $`\PSclosed`$ d'aire $`S`$?<br>
 \- une surface ouverte $`\PSopen`$ d'aire $`S`$?
 
-[EN] Proposition : We note the physical or mathematical objects by caligraphed capital letters. Example :<br>
-\- a plane $`\mathscr{P}`$, a surface $`\mathscr{S}`$ of area $`S`$, a physical volume $`\mathscr{V}`$ of volume (in $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
+[EN] Proposition : We note the physical or mathematical objects by caligraphed capital 
+letters. Example :<br>
+\- a plane $`\mathscr{P}`$, a surface $`\mathscr{S}`$ of area $`S`$, a physical volume 
+$`\mathscr{V}`$ of volume (in $`m^3`$) $`\large\tau`$?<br>
 \- a closed surface $`\PSclosed`$ of area $`S`$?<br>
 \- an open surface $`\PSopen`$ of area $`S`$?
 
@@ -806,11 +844,14 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 * *105* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
 
-[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie $`dS`$** en coordenadas cartesianas son :
+[ES] Según la dirección elegida, los **elementos escalares de superficie $`dS`$** 
+en coordenadas cartesianas son :
 
-[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont :
+[FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** 
+en coordonnées cartésiennes sont :
 
-[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dS`$** in cartesian coordinates are :
+[EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dS`$** 
+in cartesian coordinates are :
 
 \- en un **plano $`z = cst`$** / dans un plan $`z = cst`$ / in a plane $`z = cst`$ :<br>
 $`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**<br>
@@ -900,8 +941,10 @@ sin cruzar la superficie. Ejemplo: la superficie de una hoja de papel. (presenta
 [FR] Une surface $`\mathscr{S}`$ est une **surface fermée** si elle est la 
 **frontière délimitant un volume intérieur et un espace extérieur**. 
 Tout chemin reliant un point quelconque dans le volume intérieur et un point
-quelconque de l'espace extérieur traverse nécessairement la surface fermée. Exemple : la surface d'un ballon.<br>
-Une surface $`\mathscr{S}`$ est une **surface ouverte** si elle n'est **pas fermée**. Alors, quelques soient deux points 
+quelconque de l'espace extérieur traverse nécessairement la surface fermée. Exemple : 
+la surface d'un ballon.<br>
+Une surface $`\mathscr{S}`$ est une **surface ouverte** si elle n'est **pas fermée**. 
+Alors, quelques soient deux points 
 infiniment proches l'un de l'autre et situés de part et d'autre de la surface, il existe 
 un chemin qui lie ces deux points sans traverser la surface. Exemple : la surface 
 d'une feuille de papier. (à soumettre à des mathématiciens).
@@ -1049,7 +1092,8 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 
 * *135* :  **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
 
-Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / The cylindrical coordinates write :
+Las coordenadas cilíndricas se escriben / les coordonnées cylindriques s'écrivent / 
+The cylindrical coordinates write :
 
 $`(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{(\rho, \varphi, z)}`$**
 
@@ -1058,7 +1102,8 @@ con / avec /with :
 $`\rho\in [0;\infty[`$,  $`\varphi\in [0;2\pi[`$ et $`z \in [-\infty;\infty[`$ , 
 **$`\mathbf{\rho\in [0;\infty[}`$**,  **$`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[}`$** et **$`\mathbf{z \in [-\infty;\infty[}`$** 
 
-Coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ /coordonnées cylindriques  d'un point $`M`$ / cylindrical  coordinates of a point $`M`$ :
+Coordenadas cilíndricas de un punto $`M`$ /coordonnées cylindriques  d'un point $`M`$ / 
+cylindrical  coordinates of a point $`M`$ :
 
 $`(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$,
 
@@ -1066,7 +1111,8 @@ Escribimos / on écrit / we write :
 
 $`M(\rho_M, \varphi_M, z_M)`$
 
-Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, on simplifie / If the point is any point, we simplify :
+Si el punto es cualquier punto, simplificamos / Si le point est un point quelconque, 
+on simplifie / If the point is any point, we simplify :
 
 $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$**
 
@@ -1204,14 +1250,17 @@ tangent vector to the trajectory at point $`M`$ oriented in the direction of the
 
 $`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial \rho}\cdot d\rho`$
 
-[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (que indica la dirección y el sentido
-de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:
+[ES] El vector unitario tangente a la trayectoria  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
+(que indica la dirección y el sentido de desplazamiento del punto $`M`$ cuando solo 
+aumenta infinitesimalmente la coordenada $`\rho`$ se escribe:
 
-[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui indique la direction et le sens 
-de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée $`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :
+[FR] Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ (qui 
+indique la direction et le sens de déplacement du point $`M`$ lorsque seule la coordonnée 
+$`\rho`$ croît de façon infinitésimale) s'écrit :
 
-[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$  (which indicates the direction of displacement 
-of the point $`M`$ when only the coordinate $`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :
+[EN] The unit vector tangent to the trajectory  $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$  (which 
+indicates the direction of displacement of the point $`M`$ when only the coordinate
+$`\rho`$ increases in an infinitesimal way) writes :
 
 $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}}{||\partial\overrightarrow{OM}_{\rho}||}`$
 
@@ -1298,8 +1347,9 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 
 * *160* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
 
-[ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en coordenadas cilíndricas es
-el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando 
+[ES] El **elemento vectorial de línea** o ?? $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ 
+en coordenadas cilíndricas es el vector de desplazamiento del punto $`M(\rho, \varphi, z)`$ 
+al punto $`M'(\rho+ d\rho, \varphi + d\varphi, z+ dz)`$ cuando 
 las coordenadas varían infinitesimalmente de $`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$, y se escribe :
 
 [FR] L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en 
@@ -1382,9 +1432,15 @@ In cylindrical coordinates, the base vectors change of direction when the point
 $`||\overrightarrow{e_{\rho}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$<br>
 $`\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\rho}}\perp\overrightarrow{e_z}`$
 
-$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cilíndrica asociada *directa*.
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ base cylindrique associée *directe*.
-<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* associated cylindrical base.
+$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana 
+*directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
+base cilíndrica asociada *directa*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe*
+$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
+base cylindrique associée *directe*.
+<br>$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base 
+$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$
+*direct* associated cylindrical base.
 
 $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
 base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante
@@ -1464,11 +1520,16 @@ cos\,\varphi(t) \\
 0 \\
 \end{array}\right.`$ 
 
-[ES] ? En el marco de referencia $`\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ del observador, es decir cuando la origen del espacio $`O`$ es fija y los tres vectores base verifican
+[ES] ? En el marco de referencia $`\mathcal{R}(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ 
+del observador, es decir cuando la origen del espacio $`O`$ es fija y los tres vectores base verifican
 
-[FR] Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 
+[FR] Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ 
+de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien
+$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc 
+tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient 
 
-[EN] In the reference frame $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ of the observer, i.e.when the origin $`O`$ is fixed and the three base vectors satisfy 
+[EN] In the reference frame $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ 
+of the observer, i.e.when the origin $`O`$ is fixed and the three base vectors satisfy 
 
 $`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ :
 
@@ -1556,7 +1617,8 @@ $`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
 
 $`\overrightarrow{e_{\rho}}=\overrightarrow{e_{\rho}}(\varphi)`$ et 
 $`\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\varphi)`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation  infinitésimale $`d\varphi`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
+$`\quad\Longrightarrow\quad`$ pour une variation  infinitésimale $`d\varphi`$, 
+$`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
 
 $`d\overrightarrow{e_{\rho}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$ <br>
 $`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot d\varphi`$
@@ -1593,13 +1655,16 @@ $`=\left|\begin{array}{l}
 \end{array} \right.\quad`$
 $`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$
 
-$`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour unè variation infinitésimale  $`dt`$ , $`\varphi`$ varie de :
+$`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour unè variation infinitésimale 
+$`dt`$ , $`\varphi`$ varie de :
 
 $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
 
-$`\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale  $`dt`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
+$`\Longrightarrow\quad`$ pour une variation infinitésimale  $`dt`$, $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ 
+et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ varient de :
 
-$`d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
+$`d\overrightarrow{e_{\rho}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
+$\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot \dfrac{d\overrightarrow{e_{\rho}}}{d\varphi}\quad=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt \cdot
 \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
 
 $`d\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad=\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{d\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
@@ -1679,11 +1744,29 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 
 * *182* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**<br>
 
-[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, es posible que necesitemos conocer la segunda derivada  temporal de los vectores base para el estudio del movimiento.
-
-[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position, nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs de base pour l'étude du mouvement.
-
-[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms of force $`\vec{F}`$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional to the inverse of its mass of inertia  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (or $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to know the second time derivative of the base vectors.
+[ES] En la mecánica clásica, las interacciones entre cuerpos materiales se traducen 
+en términos de fuerza $`\vec{F}`$ y conducen a una aceleración $`\vec{a}`$ de cada 
+cuerpo en interacción proporcional a la inversa de su masa de inercia $`m_I`$ : 
+$`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (o $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , ver capítulo mecánico). 
+Como el vector de aceleración es la segunda derivada temporal del vector de posición, 
+es posible que necesitemos conocer la segunda derivada  temporal de los vectores base 
+para el estudio del movimiento.
+
+[FR] En mécanique classique, les interactions entre les corps matériels se traduisent
+en terme de force $`\vec{F}`$, et conduisent à une accélération $`\vec{a}`$ de chaque 
+corps en interaction proportionnelle à l'inverse de sa masse d'inertie  $`m_I`$ : 
+$`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ (ou $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , voir chapitre mécanique). 
+Dans l'étude du mouvement, nous aurons besoin d'étendre l'étude à la dérivée seconde des
+vecteurs de base. Comme le vecteur accélaration est la dérivée seconde du vecteur position,
+nous pourrions avoir besoin de connaître la dérivée seconde par rapport au temps des vecteurs 
+de base pour l'étude du mouvement.
+
+[EN] In classical mechanics, the interactions between material bodies are expressed in terms 
+of force $`\vec{F}`$ , and lead to an acceleration of each interacting body proportional
+to the inverse of its mass of inertia  $`m_I`$ : $`\vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m_I}`$ 
+(or $`\vec{F}=m_I\;\vec{a}`$ , see mechanical chapter). As the acceleration vector is the 
+second time derivative of the position vector, when studying the motion we might need to
+know the second time derivative of the base vectors.
 
 $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\right)`$
 $`\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\varphi}{dt}\right)\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}\,
@@ -1695,11 +1778,14 @@ $`\quad=\dfrac{d^2\,\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}} \,-\,\left(
 
 **$`\mathbf{\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\rho}}}{dt^2}=-\,\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 \cdot e_{\rho}\,+\,\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
 
-[ES] ¡Atención! No confunda $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ y $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (dar un ejemplo).
+[ES] ¡Atención! No confunda $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ y $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ 
+(dar un ejemplo).
 
-[FR] Attention ! Ne pas confondre $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ et $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (donner un exemple).
+[FR] Attention ! Ne pas confondre $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ et $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ 
+(donner un exemple).
 
-[EN] Look out ! Do not confuse $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ and $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ (give an example).
+[EN] Look out ! Do not confuse $`\dfrac{d^2\varphi}{dt^2}`$ and $`\left( \dfrac{d\varphi}{dt} \right)^2 `$ 
+(give an example).
 
 
 $`\dfrac{d^2\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt^2}\quad=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{d\,\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}\right)\quad=\dfrac{d}{dt}\left(-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}\right)`$
@@ -1844,7 +1930,8 @@ http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-06.
 [FR] Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dA`$** en coordonnées cartésiennes sont :<br>
 [EN] According to the chosen direction, the **scalar surface elements $`dA`$** in Cartesian coordinates are :
 
-$`dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad`$, $`\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad`$, $`\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz`$
+$`dA_{\rho\varphi}=dl_{\rho}\;dl\varphi=d\rho\cdot\rho\;d\varphi\quad`$, $`\quad dA_{\rho z}=dl_{\rho}\;dlz=d\rho\;dz\quad`$, 
+$`\quad dA_{\varphi z}=dl_{\varphi}\;dlz=\rho\,d\varphi\;dz`$
 
 http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-07.<br>
 [ES] y los **elementos vectoriales de superficie $`\overrightarrow{dA}`$** correspondiente son :<br>
@@ -1870,7 +1957,9 @@ $`=dz\;d\rho\;(\overrightarrow{e_z}\land\overrightarrow{e_{\rho}})`$.
 
 [ES] :
 
-[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ directe $`\Longrightarrow`$ :
+[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ directe
+$`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ 
+directe $`\Longrightarrow`$ :
 
 [EN] : 
 
@@ -1881,7 +1970,9 @@ $`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=+\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,
 
 
 [ES] :<br>
-[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte  $`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte $`\Longrightarrow`$ :<br>
+[FR] Base cartésien de référence $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ indirecte
+$`\Longrightarrow`$  base cylindrique $`(\overrightarrow{e_{\rho}},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$
+indirecte $`\Longrightarrow`$ :<br>
 [EN] : 
 
 $`\overrightarrow{e_{\rho}}\land\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\,\overrightarrow{e_z}`$.
@@ -1911,16 +2002,27 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 
 * *200* : **N3**
 
-[ES] En una parte "más allá" (inserte en verde en la parte principal, o desarrollo cultural en la parte "más allá" del curso), responder a la siguiente pregunta : <br>
-¿Por qué en coordenadas esféricas, elegir un ángulo $`\theta`$ definido desde un polo y que varía de $`0`$ a $`\pi`$? ¿Por qué no tomar el ángulo conocido de latitud $`l`$ de las coordenadas geográficas, definidas desde el ecuador y que varían de $`-\pi/2` $ à $`+\pi/2`$? <br>
-Porque el cálculo integral del volumen o de la área de la esfera con un angle $`l`$ variando de $`-\pi/2`$ a $`+\pi/2` $ daría un resultado igual a cero . 
-
-[FR] Dans une partie "au-delà" (insert en vert dans la partie principale, ou développement culturel dans la partie "au-delà" du cours), répondre à la question suivante :<br>
-Pourquoi en coordonnées sphériques, choisir un angle $`\theta`$ défini à partir d'un pôle et variant de $`0`$ à $`\pi`$ ? Pourquoi ne pas reprendre l'angle de latitude $`l`$ des coordonnées géographique, défini à partir de l'équateur et qui varie de $`-\pi/2`$ à $`+\pi/2`$ ?<br>
-Parce que la calcul intégrale du volume ou de la surface de la sphère en faisant varier $`l`$ de $`-\pi/2`$ à $`+\pi/2`$ donnerait chaque fois un résultat égal à zéro.
-
-[EN] In a "beyond" part (insert in green in the main part, or cultural development in the "beyond" part of the course), answer the following question : <br>
-Why in spherical coordinates, to choose an angle $`\theta`$ defined from a pole and varying from $`0`$ to $`\pi`$? Why not take the well-known angle of latitude $`l`$ from the geographic coordinates, defined from the equator and which varies from $`-\pi/2`$ to $`+\pi/2` $? < br>
+[ES] En una parte "más allá" (inserte en verde en la parte principal, o desarrollo cultural 
+en la parte "más allá" del curso), responder a la siguiente pregunta : <br>
+¿Por qué en coordenadas esféricas, elegir un ángulo $`\theta`$ definido desde un polo y que 
+varía de $`0`$ a $`\pi`$? ¿Por qué no tomar el ángulo conocido de latitud $`l`$ de las coordenadas 
+geográficas, definidas desde el ecuador y que varían de $`-\pi/2` $ à $`+\pi/2`$? <br>
+Porque el cálculo integral del volumen o de la área de la esfera con un angle $`l`$ variando de
+$`-\pi/2`$ a $`+\pi/2` $ daría un resultado igual a cero . 
+
+[FR] Dans une partie "au-delà" (insert en vert dans la partie principale, ou développement
+culturel dans la partie "au-delà" du cours), répondre à la question suivante :<br>
+Pourquoi en coordonnées sphériques, choisir un angle $`\theta`$ défini à partir d'un pôle et
+variant de $`0`$ à $`\pi`$ ? Pourquoi ne pas reprendre l'angle de latitude $`l`$ des coordonnées 
+géographique, défini à partir de l'équateur et qui varie de $`-\pi/2`$ à $`+\pi/2`$ ?<br>
+Parce que la calcul intégrale du volume ou de la surface de la sphère en faisant varier $`l`$ 
+de $`-\pi/2`$ à $`+\pi/2`$ donnerait chaque fois un résultat égal à zéro.
+
+[EN] In a "beyond" part (insert in green in the main part, or cultural development in the
+"beyond" part of the course), answer the following question : <br>
+Why in spherical coordinates, to choose an angle $`\theta`$ defined from a pole and varying
+from $`0`$ to $`\pi`$? Why not take the well-known angle of latitude $`l`$ from the geographic 
+coordinates, defined from the equator and which varies from $`-\pi/2`$ to $`+\pi/2` $? < br>
 Because the integral calculation of the volume or area of the sphere by varying $`l`$ from
 $`-\pi/2`$ to $`+\pi/2`$ would each time give a result equal to zero. <br>
 
@@ -1946,7 +2048,8 @@ Your initials: **XXX** , institute / university : **...**: <br>
 
 * *205* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
 
-Las coordenadas esféricas se escriben / les coordonnées sphériques s'écrivent / The spherical coordinates write :<br>
+Las coordenadas esféricas se escriben / les coordonnées sphériques s'écrivent /
+The spherical coordinates write :<br>
 $`(r, \theta, \varphi)`$,<br>
 con / avec /with :<br>
 $`r\in [0;\infty[`$,  $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$.<br>