diff --git a/12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md b/12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md index 0e1fe56be..6f93c54f5 100644 --- a/12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md +++ b/12.temporary_ins/10.electrostatics-vacuum/30.gauss-theorem-demonstration/20.overview/cheatsheet.fr.md @@ -74,7 +74,7 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$ * Il *permet d'établir l'équation de conservation* de toute grandeur physique. -* Dans la limite ou une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :
+* Dans la limite où une surface de Gauss tend vers 0, il *permet de définir la notion de divergence* qui quantifie une propriété locale de tout champ vectoriel :
$`\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss aura une expression locale. * Cette notion de divergence est l'*une des trois notions essentielles* (avec le gradient et le rotationnel) *pour décrire les lois de la physique* au niveau universitaire. @@ -182,7 +182,7 @@ $`\Longrightarrow`$ :
##### Flux d'un champ vectoriel à travers une surface -* $`\Phi_X=\int d\Phi_X`$ +* $`\displaystyle\Phi_X=\int d\Phi_X`$ * flux à travers une *surface ouverte* : **$`\displaystyle\mathbf{\Phi_X=\iint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}}`$**. @@ -232,14 +232,14 @@ Flux d'un champ de force centrale en $`1/r^2`$ à travers une surface fermée * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre pair de fois . * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total -$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues. +$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre pair $`2n`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues. * Dans une moitié des cas : $`0<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi/2 \Longrightarrow d\Phi_i>0`$,
dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\pi \Longrightarrow d\Phi_i<0`$

$`\Longrightarrow`$*$`\;d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=0`$*. * *$`\Longrightarrow`$ Le flux $`\Phi_X`$ à travers toute surface fermée qui ne contient pas la source de $`X`$ est nul* :
-
**$`\mathbf{\Phi_X=\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$** +
**$`\mathbf{\Phi_X=\displaystyle\int_S d\Phi_{\Delta} =\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=0}`$** ![](Flux_surface_exterior_Gauss_integral_theorem_1_L800.jpg) @@ -251,7 +251,7 @@ dans l'autre moitié : $`\pi/2<\widehat{\overrightarrow{X}\overrightarrow{dS}}<\ * Partant de $`O`$, toute demi-droite $`\Delta`$ en direction de la surface $`S`$ traverse $`S`$ un nombre impair de fois . * Observé dans un même angle solide $`d\Omega`$ centré autour de $`\Delta`$, le flux élémentaire total -$`d\Phi_{\Delta}`$ est égale à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues. +$`d\Phi_{\Delta}`$ est égal à la somme d'un nombre impair $`2n+1`$ de flux élémentaires $`d\Phi_i`$ d'égales valeurs absolues. * $`2n`$ flux élémentaires s'annulent, et le flux élémentaire total $`d\Phi_{\Delta}`$ est égal au flux restant :

$`\Longrightarrow`$**$`\; d\Phi_{\Delta}=\sum d\Phi_i=K\cdot x\cdot d\Omega\quad`$**, @@ -272,7 +272,7 @@ $`\Phi_X=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}=\int_{\Omega_S} K\c #### Qu'est-ce que le théorème de superposition ? -* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé chaque une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. +* La présence ou non d'autre sources n'influence pas le champ $`\overrightarrow{X}_{tot}`$ créé par une source élémentaire. Donc le champ total $` X`$ créé par une distribution de sources élémentaires est la somme des champs $`X`$ créé par chacune des sources élémentaires. * $`\Longrightarrow`$ :
\- pour une *distribution discrète de sources* : **$`\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\sum_i \overrightarrow{X}_i}`$**.
\- pour une *distribution continue de sources* : **$`\displaystyle\mathbf{\overrightarrow{X}_{tot}=\int d\overrightarrow{X}}`$**.
@@ -293,7 +293,7 @@ $`\Longrightarrow`$ le flux total de $`\overrightarrow{X}`$ à travers $`S`$ s' $`\Phi_{X}=\oiint_S \overrightarrow{X}\cdot\overrightarrow{dS}`$ $`\quad=\oiint_S (\overrightarrow{X_1}+\overrightarrow{X_2})\cdot\overrightarrow{dS}`$ $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrightarrow{X_2}\cdot\overrightarrow{dS}`$
-**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(s_1+s_2)}$** +**$`\mathbf{\Phi_{X}=4\pi\,K\,(x_1+x_2)}`$** * Ce résultat *se généralise facilement* à tout nombre entier de sources discrètes $`x_i`$ ou à une distribution continue de densité volumique $`\rho_x(\overrightarrow{r})`$
\- pour *n sources discrètes* : @@ -305,7 +305,7 @@ $`\quad=\oiint_S \overrightarrow{X_1}\cdot\overrightarrow{dS}+\oiint_S \overrigh ##### L'interaction électrostatique -* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement l'interaction électromagnétique). +* La **charge électrique**, de symbole **$`q`$**, est la grandeur physique $`x`$ qui *caractérise la sensibilté d'un corps à l'interaction électrostatique* (et plus généralement à l'interaction électromagnétique). * La charge $`q`$ peut être **négative ou positive**. @@ -319,14 +319,14 @@ où $`\overrightarrow{E_{1,M_2}}`$ est le champ électrostatique créé par la p $`\overrightarrow{E}_{1\rightarrow 2}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. -* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $'q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :
+* Le **champ électrostatique** créé en tout point $`M`$ de l'espace par une particule de charge $`q`$ immobile en un point $`O`$ s'écrit :
**$`\mathbf{\overrightarrow{E}=\dfrac{1}{4\pi\,\epsilon_0}\cdot q\cdot \dfrac{\overrightarrow{OM}}{OM^3}}`$** ##### Quel est le lien entre électrostatique et électromagnétisme ? * L'électrostatique décrit le champ électrique créé par des particules chargées immobile. -* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobile ou en mouvement. +* L'électromagnétisme généralise aux champs électrique et magnétiques créés par des particules chargées immobiles ou en mouvement. ##### Le théorème de Gauss intégral en électrostatique @@ -372,9 +372,9 @@ où $`G`$ est la constante universelle de la gravitation.
C'est une *force centrale décroissant en $`1/r^2`$*$`\quad\Longrightarrow`$ le théorème de Gauss s'applique. * Cette force se réécrit :
-$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$
-où $`\overrightarrow{\Gamma_{1,M_2}}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :
-$`\overrightarrow{\Gamma}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$
+$`\overrightarrow{F}_{1\rightarrow 2}=m_2\cdot \mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}}`$
+où $`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}`$ est le champ gravitationnel créé par le corps en $`M_1`$ au point $`M_2`$ :
+$`\mathcal{\overrightarrow{G}}_{M_1,M_2}_{1\rightarrow 2}=\;G\cdot m_1\cdot \dfrac{\overrightarrow{M_1M_2}}{M_1M_2^3}`$
C'est une force centrale décroissant en $`1/r^2`$. * Dans le cadre de la physique classique, le **champ gravitationnel $`\mathcal{\overrightarrow{G}}`$** créé en tout point $`M`$ de l'espace par un corps de masse $'m`$ situé un point $`O`$ s'écrit :