From 85b0c22710a3df57da03b82090ccbeef8733c36c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Claude Meny <claude.meny@irap.omp.eu>
Date: Thu, 27 May 2021 19:29:30 +0200
Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md

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@@ -224,11 +224,11 @@ tous deux à la surface de la sphère.
 Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds^{3D}_{P_1P_2}`$ entre ces deux points est
 la distance euclidienne qui vérifie :
 
-$`ds^{3D}_{P_1P_2}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
+$`ds_{3D}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
 
 Les deux points appartiennent à la surface de la sphère, ils appartiennent à la variété 2D perçue par la fourmie mais
 celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant 
-$`ds^{2D}_{P_1P_2}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
+$`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées
 $`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet d'obtenir $`z`$ en fonction de $`x`$ et de $`y`$   
 
 $`x^2+y^2+(z+R)^2=R^2`$
@@ -247,15 +247,15 @@ $`dz=-\dfrac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}`$
 
 Les deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ étant situés aussi bien dans l'espace tridimensionnel euclidien 
 que sur la surface bidimensionnelle de la sphère, et la sphère étant incluse dans l'espace, 
-les invariants $`ds^{3D}_{P_1P_2}`$ et $`ds^{2D}_{P_1P_2}`$ sont égaux et nous pouvons écrire :
+les invariants $`ds_{3D}`$ et $`ds_{2D}`$ sont égaux et nous pouvons écrire :
 
 $`ds_{3D}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$$`\quad=dx^2+dy^2+\dfrac{(x\,dx+y\,dy)^2}{R^2-x-2-y-2}`$
 $`\quad=\left(1+\dfrac{x^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dx^2+\left(1+\dfrac{y^2}{R^2-x^2-y^2}\right)dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
-$`\ds_{2D}^2`$
+$`ds_{2D}^2`$
 
 Soit in fine :
 
-$`\ds_{2D}^2=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
+$`ds_{2D}^2=\dfrac{R^2-y^2}{R^2-x^2-y^2}dx^2+1+\dfrac{R^2-x^2}{R^2-x^2-y^2}dy^2+2\,\dfrac{XY}{R^2-x^2-y^2}dxdy`$
 $`\quad=g_{xx}\,dx^2+1+g_{yy}\,dy^2+(g_{xy}+g_{yx})\,dxdy`$