diff --git a/20.classical-mechanics/vector-analysis/textbook.fr.md b/20.classical-mechanics/vector-analysis/textbook.fr.md
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--- a/20.classical-mechanics/vector-analysis/textbook.fr.md
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@@ -1,740 +0,0 @@
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-title : Collection disparate d'éléments de cours (étape 1) : vocabulaire et équations
-published : false
-visible : false
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-!!!! *ATTENTION* :
-!!!! Ce contenu n'est pas un cours validé !
-!!!! Page non répertoriée
-
-### IMPORTANTE / IMPORTANT
-
-[ES] Por favor, *debes agregar* lo que haces en tu universidad, si no está en la lista. 
-Para lo que está escrito en su idioma nativo, *debes borrar y volver a escribir* si
-usas otras palabras u otras explicaciones. Complete sus ecuaciones habituales 
-si son diferentes de las ya escritas. Escriba sus comentarios entre <!-- y --> <br>
-ejemplo: <!-- esto es un comentario -->
-<! - this is a comment ->
-
-[FR] *Il faut rajouter* ce que vous faites dans votre université, si ce n'est pas dans la liste. 
-Pour ce qui est écrit dans votre langue natale, *il faut effacer et écrire de nouveau*
-si vous utilisez d'autres mots ou d'autres expliactions. Compléter vos équations usuelles 
-si elles sont différentes de celles déjà écrite. Ecrivez vos commentaire entre <!-- et --> <br>
-exemple : <!-- ceci est un commentaire -->
-
-[EN] *You must add* what you do in your university, if it is not in the list. For what is written 
-in your native language, *you must erase and rewrite* if you use other words or other explanations.
- Complete your usual equations if they are different from those already written. 
- Write your comments between <!-- et --> <br>
-example: <!-- this is a comment -->
-
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-
-"\<br>" impone un salto a la linea siguente.<br>
-"\<br>" impose un retour à la ligne.<br>
-"\<br>" impose a line break.
-
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-[ES] Esta es una oportunidad para estandarizar nuestros notación y vocabulario,<br> 
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
-o para indicar en el texto la equivalencia con la norma internacional si
-queremos mantener nuestras notaciones y vocabularios. Ejemplo :
-
-[FR] C'est l'occasion de normaliser notre notation et vocabulaire, <br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
-ou d'indiquer dans le texte l'équivalence avec la norme internationale si
-on souhaite garder nos notations et vocabulaires. Exemple :
-
-[EN] This is an opportunity to standardize our notation and vocabulary, <br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/index?openform&part=102<br>
-or to indicate in the text the equivalence with the international standard 
-if we wish to keep our notations and terms. Example :
-
-"élément scalaire de surface $`dA`$" au lieu de "surface élémentaire ou infinitésimale $`dS`$".
-
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-[ES] La oportunidad también de que un matemático verifique la conformidad de expresiones
-matemáticas lógicas. Ejemplo :
-
-[FR] L'occasion aussi de faire vérifier par un mathématicien la conformité des expressions
-mathématiques logiques. Exemple :
-
-[EN] The opportunity also to have a mathematician verify the conformity of logical
-mathematical expressions. Example :
-
-$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
-\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
-
-https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11
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-## Colección de elementos del curso: conceptos, vocabulario y ecuaciones / Collection d'éléments de cours : Concepts, vocabulaire et équations / Collection of Course Elements: Concepts, Vocabulary and Equations
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-### Vectores, análisis vectorial / Vecteurs, analyse vectorielle / Vectors, vector analysis
-
-(http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04)
-
-##### Vectores en el espacio euclidiano / Vecteurs dans un espace euclidien / Vectors in Euclidean Space
-
-[ES] 3 caracteristicas : norma, dirección y sentido ? <br>
-[FR] 3 caractéristiques : norme, direction et sens <br>
-[EN] 2 characteritics :  magnitude (or length) and direction.
-
-ATENCIÓN / ATTENTION / BE CAREFUL :
-[ES] matemáticamente, la palabra "dirección / direction / direction" no tiene el mismo significado en francés y español, y en inglés.
-[FR] mathématiquement, le mot dirección / direction / direction" n'a pas le même sens en français et espagnol, et en anglais.
-[EN] mathematically, the word "dirección / direction / direction" does not have the same meaning in French and Spanish, and in English.
-
-##### Significado de los vectores en mecánica / Signification des vecteurs en mécanique / Meaning of vectors in mechanics.
-
-* [ES] Los *vectores* pueden representar *diferentes cantidades físicas*. <br>
-_ejemplo: vector de velocidad del punto M, y la fuerza que se aplica al punto M._<br>
-[FR] Les *vecteurs* peuvent représenter des *grandeurs physiques différentes*.<br>
-_exemple : vecteur vitesse du point M, et la force qui s’applique sur le point M._<br>
-[EN] The *vectors* can represent *different physical quantities*. <br>
-_example: velocity vector of point M, and the force that applies to point M._
-
-* [ES] Las *normas* de vectores correspondientes a diferentes cantidades físicas _(ejemplo: 
-velocidad y fuerza)_ se expresan en *diferentes unidades* _(respectivamente: $`ms^{-1}`$ y $`N`$)_. 
-Ellos *no se pueden comparar*.<br>
-[FR] Les *normes* de vecteurs correspondant à des grandeurs physiques différentes _(exemple :
-vitesse et force)_ s’expriment dans des **unités différentes** _(respectivement : $`m.s^{-1}`$  
-et  $`N`$)_. Elles *ne peuvent pas être comparées*.<br>
-[EN] The *magnitudes* of vectors corresponding to different physical quantities _(example: speed
-and force)_ are expressed in *different units* _(respectively: $`ms^{-1}`$ and $`N`$)_. 
-They *cannot be compared*.
-
-##### Vectores colineales y no colineales / Vecteurs colinéaires et non colinéaires / Collinear and non-collinear vectors
-
-* [ES] Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si tienen *igual dirección*.<br>
-[FR] Deux *vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$* sont **colinéaires** s’ils ont la *même direction* :<br>
-[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **collinear** if they lie on the *same line or parallel lines* :<br>
-<br>Il existe alors un nombre réel $`\alpha`$ tel que l’on peut écrire $`\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$<br>
-" $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont colinéaires" $`\Longleftrightarrow \exists \alpha\in\mathbb{R}\quad\overrightarrow{A}=\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
-
-
-* [ES]  Dos **vectores $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** son **colineales** si non tienen *igual dirección*.<br>
-[FR] Deux **vecteurs $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** sont **non colinéaires** s’ils ont des *directions différentes*.<br>
-[EN] Two **vectors $`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$** are **non collinear** if they lie on *non parallel lines* :<br>
-<br>Pour tout nombre réel $`\alpha`$ on peut écrire $`\overrightarrow{A} \ne \alpha\cdot\overrightarrow{B}`$.<br>
-"$`\vec{A}`$ et $`\vec{B}`$ sont non colinéaires" $`\Longleftrightarrow \forall\; \alpha\in\mathbb{R}`$$`\quad\overrightarrow{A} \ne\alpha\cdot\overrightarrow{B}`$
-                                   
-Fig "mechanics-vectors-collinear.png" ready for use.
-
-#### addition et soustraction de vecteurs
-
-
-#### vecteurs lié&s, vecteurs libres
-
-                                                     
-#### Base vectorial / Base vectorielle / Base of a vector space
-
-#####  en un plano $`\mathcal{P}`$ / dans un plan $`\mathcal{P}`$ / in a plane $`\mathcal{P}`$
-
-* Definición / Définition :<br>
-[ES] **2 vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ pertenecientes a un plano $`\mathcal{P}`$, no nulos, no colineales y ordonados**
-en una secuencia $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ forman una *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de este plano.<br>
-[FR] **2 vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ appartenant à un plan $`\mathcal{P}`$, non nuls, non colinéaires et ordonnés** 
-dans une suite $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$  forment une *base* $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ de ce plan.<br>
-[EN] ...
-
-* Propiedad / Propriété :<br>
-[ES] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ es una base de un plano $`\mathcal{P}`$, entonces cualquier *vector $`\vec{V}`$* de 
-$`\mathcal{P}`$ se descompone *de forma única* en una **combinación lineal** *de los vectores de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
-[FR] Si $`(\vec{a}\,,\,\vec{b})`$ est une base d'un plan $`\mathcal{P}`$, alors tout *vecteur $`\vec{V}`$* de $`\mathcal{P}`$
-se décompose de *façon unique* en une **combinaison linéaire** *des vecteurs de base* $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$.<br>
-[EN] ...
-
-* Écriture mathématique :<br>
-"$`(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})`$ est une base de $`\mathcal{P}`$"
-$`\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$$`\quad\exists ! (\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2`$$`\quad
-\overrightarrow{V}=\alpha\cdot\overrightarrow{a}+\beta\cdot\overrightarrow{b}`$
-
-Fig "mechanics-vector-base-plane_L1200.gif" ready for use.
-
-##### en un espacio vectorial $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ / dans un espace vectoriel $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$ / in a vector space $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$
-
- 
-* [ES] En matemáticas, una **secuencia** es un *conjunto ordenado de elementos*, llamados sus "términos".
-y que están *indexados por números naturales*.<br>
-[FR] En mathématiques, une **suite** est un *ensemble ordonné d'éléments*, appelés ses "termes" 
-et qui sont *indexées par les entiers naturels*.(le terme "n-uplet" n'est pas bon ...)<br>
-[EN] In mathematics, a **sequence** is an *ordered set of elements*, called its "terms"
-and which are *indexed by natural numbers*.
-
-
-* [ES] *$`n`$ vectores ordenados* en una secuencia $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forman 
-una **base de un espacio vectorial** $`\mathcal{E}`$ de dimensión $`n`$ si *cualquier vector* de este 
-espacio se descompone de *manera única en una combinación lineal* de los vectores $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
-[FR] *$`n`$ vecteurs ordonnés* dans une suite $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ forment
-une **base d'un espace vectoriel** $`\mathcal{E}`$ de dimension $`n`$, si *tout vecteur* $`\vec{V}`$
-de cet espace $`\mathcal{E}`$ se décompose de *façon unique* en une *combinaison linéaire* des vecteurs  
-$`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.<br>
-[EN] *$`n`$ ordered vectors* in a sequence $`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ form a 
-**basis of a vector space** $`\mathcal{E}`$ of dimension $`n`$ if *any vector* of this space decomposes in 
-*a unique way* into a *linear combination* of the vectors $`\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n}`$.
-
-* "$`(\vec{a_1},\vec{a_2},...,\vec{a_n})`$ est une base de $`\mathcal{E}`$"$`
-\quad\Longrightarrow \quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{E}`$$`\quad\exists ! (\alpha_1,\alpha_1,...;\alpha_1)\in\mathbb{R}^n`$$`\quad
-\overrightarrow{V}=\alpha_1\cdot\overrightarrow{a_1}+\alpha_2\cdot\overrightarrow{a_2}+...+\alpha_n\cdot\overrightarrow{a_n}`$
-
-* [ES] Para cualquier base denotamos los vectores base $`\vec{a_i}`$.
-(ejemplo : vectores de la base convencionale (no ortonormales) de un cristal en física
-del estado sólido/estructura de materiales) :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
-Reservamos la notación $`\vec{e_i}`$ para las bases normales y ortonormales:<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
-<br>[FR] Pour un base quelconque nous notons les vecteurs de base $`\vec{a_i}`$.
-(exemple des vecteurs de base conventionnelle (non orthonormée) d'un cristal,
-en physique du solide/structure des matériaux) :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
-Nous réservons la notation $`\vec{e_i}`$ pour les vecteurs des bases normées et orthonormée :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.<br>
-<br>[EN] For any base we denote the base vectors $`\vec{a_i}`$.
-(example of the conventional base (not orthonormal) of a crystal, in solid state
-physics/structure of materials) :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-08<br>
-We reserve the notation $`\vec{e_i}`$ for vectors of normal and  orthonormal bases :<br>
-http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-28.
-
-
-
-#### Sistemas de coordenadas / Systèmes de coordonnées - Repère de l’espace / Coordinate systems
-
-IMPORTANTE / IMPORTANT
-
-[ES] No veo en español o inglés la distinción entre "sistema de coordenadas" y
-lo que llamamos en Francia el "repère" asociado. ¿Me equivoco? Si esta diferencia 
-existe entre los tres idiomas, será importante explicarla en el curso.<br>
-Definir un "repère" me parece importante para hacer la distinción entre
-"repère" y marco de referencia...<br>
-[FR] Je ne vois pas en espagnol ou en anglais la distinction entre "système de coordonnées" et
-le repère associés. Je me trompe ? Si cette différence existent entre les trois langues,
-l'expliciter dans le cours sera important.<br>
-Définir la notion de repère me parait important pour faire la différence entre repère
-et référentiel...
-[EN] I don't see in Spanish or English the distinction between "coordinate system" and
-what we call in France the associated "repère". I am wrong? f this difference exists
-between the three languages, explaining it in the course will be important.<br>
-To define a "repère" seems to me important to me to make the distinction between
-"repère" and reference frame...
-
-
-* [ES] En mecánica clásica (no relativista), *el tiempo y el espacio no* están *acoplados*.<br>
-[FR] En mécanique classique (non relativiste) , *temps et espace* ne sont *pas couplés*.<br>
-[EN] In classical mechanics (not relativistic), *time and space* are *not coupled*.
-
-
-* [ES] *En el espacio*, la *posición de un punto M* se identifica a partir de un **punto O origen** del
-espacio por el **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
-[FR] *Dans l’espace*, la *position d’un point M* est repérée à partir d’un **point O origine** de
-l’espace par le **vecteur $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
-[EN] *In space*, the *position of a point M* is marked from a **point origin O** of
-the space by the **vector $`\overrightarrow{OM}`$**.<br>
-
-* [ES] El *espacio clásico* de Newton tiene **3 dimensiones**. Esto significa que, desde el origen O del espacio,
-la posición de cualquier punto M se puede definir de forma única mediante 
-**3 números reales $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**, llamados **coordenadas** (o coordenadas espaciales) 
-del punto M. Escribimos $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
-[FR] L’*espace classique de Newton* a **3 dimensions**. Cela signifie que, à partir de l’origine O de l’espace,
-la position de tout point M peut-être définie de façon unique par **3 nombres réels $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**
-, appelés **coordonnées** (ou coordonnées spatiales) du point M. On écrit $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.<br>
-[EN] The Newton's *classical space* has **3 dimensions**. This means that, from the origin O of space,
-the position of any point M can be uniquely defined by **3 real numbers $`(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M )`$**,
-called **coordinates** (or spatial coordinates) of point M. We write $`M=M(\alpha_M, \beta_M, \gamma_M)`$.
-
-* [ES] Si no nos referimos a un punto particular en el espacio, sino a un cualquier punto
-que puede estar en cualquier lugar del espacio, entonces sus coordenadas son
-variables reales, y simplemente escribimos $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
-[FR] Si nous ne faisons pas référence à un point particulier de l'espace, mais à un point
-quelconque pouvant se situer n'importe où dans l'espace, alors ses coordonnées sont des
-variables réelles, et nous écrivons simplement $`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.<br>
-[EN] If we are not referring to a particular point in space, but to any point that can
-be located anywhere in space, then its coordinates are real variables, and we simply write
-$`M=M(\alpha, \beta, \gamma)`$.
-
-
-* [ES] Hay *varias formas posibles de definir unas coordenadas espaciales*: Hablamos de 
-** sistemas de coordenadas**.<br>
-[FR] ]Il y a *plusieurs façons possible de définir des coordonnées spatiales* : On parle de
-**systèmes de coordonnées**.<br>
-[EN] There are *several possible ways to define spatial coordinates*: We speak of 
-**coordinate systems**.
-
-* [ES] Se definen caracteres alfanuméricos específicos para los sistemas de coordenadas comunes:<br>
-\- *coordenades cartesianas* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
-\- *coordenades cilindricas* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
-**$`(\rho, \phi, z)`$** (o $`(r, \phi, z)`$ si hay una ambigüedad con $`\rho`$, 
-por ejemplo si $`\rho`$ se usa para la densidad densidad de carga eléctrica).<br>
-\- *coordenades esfèriques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
-[FR] Des caractères alphanumériques spécifiques sont définis pour les systèmes de coordonnées 
-usuels :<br>
-\- *cartésiennes* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
-\- *cylindriques* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
-**$`(\rho, \phi, z)`$** (ou $`(r, \phi, z)`$  si il y a une ambiguïté avec $`\rho`$, 
-par exemple si $`\rho`$ est utilisé pour la charge (électrique) volumique).<br>
-\- *sphériques* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
-[EN] Specific alphanumeric characters are defined for some widely used coordinate systems :<br>
-\- *cartesian* : **$`(x, y, z)`$ or $`(O, x_1, x_2, x_3)`$**<br>
-\- *cylindrical* https://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31-11 :
-**$`(\rho, \phi, z)`$** (or $`(r, \phi, z)`$ if there is an ambiguity with $`\rho`$, 
-for example if $`\rho`$ is used for (electric) charge density).<br>
-\- *spherical* : **$`(r, \theta, \phi)`$**<br>
-<br>Par exemple à l'INSA au GP, on utilise $`(r, \theta, z)`$ et  $`(r, \theta, \phi)`$, ce qui
-fait que l'angle $`\theta`$ en coordonnées cylindriques est définit comme l'angle $`\phi`$
-en sphériques. C'est l'occasion de changer cela pour nous conformer aux normes, et pour redonner
-de la simplicité dans l'apprentissage des systèmes de coordonnées.
-
-
-#### Características de una base / Caractéristiques d’une base et d’un repère / Characteristics of a base
-
-##### Base normal / Base et repère normés / (Normal base ????)
-
-* [ES] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
-[FR] Base normée $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère normé  $`(O,\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
-[EN] Normal base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$<br>
-
-* [ES] Los vectores de una **base normal** son *vectores de norma uno* : vectores unitarios.<br>
-[FR] Les vecteurs d'une **base normée** et d'un repère normé sont des *vecteurs de norme unité* : vecteurs unitaires.<br>
-[EN] The vectors of a **normal base** ???? (I am not sure at all here...) are *vectors with a magnitude 1* (1 in the unit system).
-
-*  $`||\overrightarrow{a}||=1\; ; \;||\overrightarrow{b}||=1\; ; \;||\overrightarrow{c}||=1`$ .
-
-##### Base ortogonal / Base et repère orthogonaux / Orthogonal base
-
-* Base $`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ et repère  $`(O, \vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ 
-
-* [ES] Los vectores de una **base ortongonale** son *vectores perpendiculares dos a dos*.<br>
-[FR] Les vecteurs d'une **base** ou d'un **repère orthogonal** sont des *vecteurs orthogonaux 2 à 2*.<br>
-[EN] The vectors of the **orthogonal base** or of the coordinate system are *orthogonal 2 to 2 vectors*
-
-*  $`\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\; ; \;\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{c}\; ; \;\overrightarrow{b}\perp\overrightarrow{c}`$.
-
-##### Base ortonormal / base et repère orthonormés / 
-
-* Base orthonormée $`(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$ / repère orthonormé $`(O,\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3})`$
-
-* orthonormé = **ortho**+*normé* :<br>
-\- ortho : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \vec{e_i}\perp\vec{e_j}`$.<br>
-\- normé : $`\forall \vec{e_i} \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\} \quad ||\vec{e_i}||=1`$.
-
-* orthonormé : $`\forall (\vec{e_i},\vec{e_j}) \in \{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}^2 \quad \overrightarrow{e_i}\cdot\overrightarrow{e_j}=\delta_{i\,j}`$<br>
-avec le **symbole e Kronecker $`\delta_{i\,j}`$** défini par :<br>
-$`\delta_{i\,j}=1`$ si $`i=j\quad`$ et $`\quad\delta_{i\,j}=0`$ si $`i \ne j`$
-
-
-
-#### Regla de la mano derecha  / règle de la main droite / right-hand rule 
-
-* Dos vectores $`\vec{a}`$ y $`\vec{b}`$ distintos de cero, unitarios y ortogonales, forman
-una base ortonormal $`(\vec{a},\vec{b})`$ de un plano en el espacio.
-* Deux vecteurs $`\vec{a}`$ et $`\vec{b}`$ non nuls, unitaires et orthogonaux forment
-une base orthonormée $`(\vec{a},\vec{b})`$  d'un plan dans l'espace.
- 
-
-* [ES] Esta base $`(\vec{a},\vec{b})`$ se puede completar con un tercer vector $`\ve{c}`$, unitario
- y perpendicular a $`\vec{a}`$ y a $`\vec{b}`$, para formar una base ortonormal
-$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ del espacio.<br>
-<br> [FR] Cette base $`(\vec{a},\vec{b})`$ peut être complétée par un troisième vecteur $`\vec{c}`$, unitaire 
- et perpendiculaire à $`\vec{a}`$  et à $`\vec{b}`$, pour former une base orthonormée 
-$`(\vec{a},\vec{b},\vec{c})`$ de l'espace.
-
-* Este tercer vector $`\vec{c}`$ perpendicular a los vectores $`\vec{a}`$ y
-  $`\vec{b}`$ tiene **una dirección**, la 
-línea recta normal (perpendicular) al plano $`\mathcal{P}`$, pero hay **dos sentidos posibles** 
-para este vector $`\vec{c}`$.<br>
-Estos dos posibles sentidos se distinguen por una *regla de orientación del espacío*: la
-**regla de los 3 dedos de la mano derecha**.<br>
-<br> Ce troisième vecteur $`\vec{c}`$ perpendiculaire à la fois aux vecteurs  $`\vec{a}`$  et
- $`\vec{b}`$ possède **une direction**, la *droite normale (perpendiculaire)  au plan
- $`\mathcal{P}`$, mais il y a **deux sens possibles** pour ce vecteur $`\vec{c}`$.<br>
-Ces deux sens possibles sont distingués par une *règle d’orientation de l’espace* : 
-la **règle des 3 doigts de la main droite**.
-
-Fig "physics-mechanics-space-orientation-right-hand-rule-direction_L1200_horiz_vert.jpg" ready for use.
-
-
-#### Repère orthonormé direct / indirect 
-
----------
-
-####  Producto escalar de dos vectores, y norma de un vector / Produit scalaire de 2 vecteurs, et norme d’un vecteur /
-
-
-##### valable dans une base $`(\vec{a},\vec{b})`$ quelconque d'un plan $`\mathcal{P}`$
-
-$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$
-
-$`\Longrightarrow`$ commutativité : 
-$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})\in\mathcal{P}^2\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=\overrightarrow{V}\cdot\overrightarrow{U}`$
-
-$`\Longrightarrow`$ associativité : 
-$`\forall(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})\in\mathcal{P}^3`$
-$`\quad\overrightarrow{U}\cdot(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{W}`$
-
-$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{U}=U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
-$`\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad\overrightarrow{V}=V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b}`$<br>
-$`\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=(U_a\cdot\overrightarrow{a}+U_b\cdot\overrightarrow{b})\cdot (V_a\cdot\overrightarrow{a}+V_b\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
-$` = U_a\,V_a\,(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a})+U_a\,V_b\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
-$`+U_b\,V_a\,(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a})+U_b\,V_b\,(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{b})`$<br>
-$`= U_a\,V_a\,\overrightarrow{a}^2 + U_b\,V_b\,\overrightarrow{b}^2 + (U_a\,V_a+U_b\,V_a)\,(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b})`$
-
-##### Norma de un vector / norme d'un vecteur / vector magnitude
-
-[EN] magnitude = length
-
-$`||\overrightarrow{U}||=\sqrt{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{U}}=\overrightarrow{U}^{\frac{1}{2}}`$
-
-##### Vector unitario / Vecteur unitaire / Unit vector
-
-$`\overrightarrow{U}`$ est unitaire $`\quad\Longleftrightarrow\quad ||\overrightarrow{U}||=1`$
-
-##### Producto escalar de dos vectores colineales / Produit scalaire de 2 vecteurs colinéaires / Scalar product of 2 collinear vectors
-
-[EN] scalar product = dot product
-
-$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires
-$`\quad\Longleftrightarrow\quad (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{0,\pi\}`$
-$`\quad\Longleftrightarrow\quad cos(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})\in\{-1,+1\}`$
-
-$`\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{V}`$ sont colinéaires 
-$`\;\Longrightarrow\left|\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=+\;||\overrightarrow{U}||\cdot
-||\overrightarrow{V}||\;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=0 
-\\ \,
-\\
- \overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=-\;||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||
- \;\text{si}\;\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}=\pi\end{array}\right.`$ 
- 
-
-##### Producto escalar de dos vectores ortogonales / Produit scalaire de 2 vecteurs orthogonaux / Scalar product of two orthogonal vectors
-
-$`\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad, \forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}`$
-$`\overrightarrow{U}\perp\overrightarrow{V}\Longleftrightarrow\widehat{\overrightarrow{U},
-\overrightarrow{V}}=\dfrac{\pi}{2}\Longleftrightarrow cos(\widehat{\overrightarrow{U},
-\overrightarrow{V}})=0`$**$`\Longrightarrow\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=0`$**.
-
-##### Producto escalar de dos vectores en una base ortonormal del espacio / Prduit scalaire de deux vecteurs 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Scalar product of 2 vectors in an orthonormal basis
-
-"$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée.
-$`\quad\Longrightarrow`$
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
-**$`\displaystyle\quad\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + ... + U_n\,V_n = \sum_{i=1}^n\;U_i\,V_i`$**
-
-
-##### Cálculo del ángulo entre 2 vectores en una base ortonormal del espacio / Calcul de l’angle entre 2 vecteurs dans une base orthonormée de l'espace / Calculation of the angle between 2 vectors in an orthonormal basis
-
-Plano euclidiano / plan euclidien / euclidian space : $`n=3`$ :
-
-$`\left.\begin{array}{l}\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||\cdot 
-cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}) \\
-\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}=U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3\end{array}\right|`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
-{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
-$`\quad\Longrightarrow\quad cos (\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})=\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
-{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}`$
-**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{\overrightarrow{U}\cdot\overrightarrow{V}}
-{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
-**$`\quad\Longrightarrow\quad \widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}= arcos\left(\dfrac{U_1\,V_1 + U_2\,V_2 + U_3\,V_3}
-{||\overrightarrow{U}||\cdot||\overrightarrow{V}||}\right)`$**
-
-L'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian :
-$`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\quad`$ (rad).
-
-#### Producto vectorial de 2 vectores / Produit vectoriel de 2 vecteurs / Vector product of 2 vectors
-
-Selon http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-36,
-il faudrait mieux utiliser en France la notation $`\vec{U}\times\vec{V}`$ plutôt
-que $`\vec{U}\land\vec{V}`$.
-On le fait pour le cours en français, ou alors on garde notre notation en expliquant
-notre différence avec la notation anglosaxonne ?
-
-##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
-
-* [ES]  .<br>
-[FR] Le produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ non nuls et non 
-colinéaires de l'espace, noté $`\vec{U}\land\vec{V}`$ est un vecteur $`\vec{W}`$ :<br>
-\- de norme $`||\overrightarrow{W}||=||\overrightarrow{U}|\cdot||\overrightarrow{V}|\cdot sin(\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}})`$<br>
-(l'angle est donné en valeur non algébrique et exprimé en radian : $`\widehat{\overrightarrow{U},\overrightarrow{V}}\in [0, \pi]\;`$ (rad) ).<br>
-\- de direction perpendiculaire au plan définit par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$
-: $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{U}`$ et $`\overrightarrow{W}\perp\overrightarrow{V}`$<br>
-\- de sens donné par la règle de la main droite : si le sens du premier vecteur $`\vec{U}`$ 
-est indiqué par le pouce, le sens du deuxième vecteur $`\vec{V}`$ par l'index, alors le sens du
-produit vectoriel $`\vec{W}=\vec{U}\land\vec{V}`$ est donné par le majeur.<br>
-[EN] .
-
-* [ES]   .<br>
-[FR] La norme $`||\vec{U}\land\vec{V}||`$ du produit vectoriel de deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$ a pour valeur numérique
-l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs $`\vec{U}`$ et $`\vec{V}`$.<br>
-[EN]     .
-
-* [ES]  .<br>
-[FR] On note que, du fait de l'utilisation une fois (ou d'un nombre impair de fois) d'une (même) règle d'orientation 
-de l'espace dans sa définition, le produit vectoriel est anti-commutatif :<br>
-$`\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}=\,-\,\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{U}`$.<br>
-[EN]
-
-* [ES]  .<br>
-[FR] Le produit vectoriel est distributif par rapport à l'addition de deux vecteurs :<br>
-$`\overrightarrow{U}\land\,(\overrightarrow{V}+\overrightarrow{W})=
-\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{V}+\overrightarrow{U}\land\overrightarrow{W}`$.<br>
-[EN]
-
-##### En relation avec les symétries ...
-
-Le produit scalaire de deux vecteurs vraies (ou polaires) est un vecteur axial (ou pseudo vecteur)...
-
-##### Pour un chemin sur les 4 niveaux ...
-
-Scalaire = tenseur de rang 0, vecteur = tenseur de rang 1, tenseurs de rang 2, 3, 4 ...
-tenseur polaires et tenseurs axiaux ...
-
-Physique classique :<br>
-grandeurs physique : rang 0 polaire : température,...
-grandeurs physique : rang 1 polaire : position, vitesse, accélération, force, champ électrique...<br>
-grandeurs physique : rang 1 axial : moment d'un force, vitesse angulaire, champ magnétique...<br>
-grandeurs physique : rang 2 polaire : contrainte, déformation, ...<br>
-propriété physique : rang 1 polaire : effet pyroélectrique,  ...<br>
-propriété physique : rang 2 polaire : dilatation themique, ...<br>
-propriété physique : rang 3 polaire : effet piézoélectrique, ...<br>
-propriété physique : rang 4 polaire : élasticité, rigidité, ...<br>
-Physique relativiste :<br>
-tenseur de courbure, tenseur énergie-impulsion, ...
-
-
-##### Componentes de un producto vectorial en base ortonormal / Composantes d'un produit vectoriel dans une base orthonormée / Components of a vector product in an orthonormal basis
-
-$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
-
-* [FR] For the expression of a vector $`\vec{U}`$ in the base $`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$,
-we shouldn't we use (http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-03-04) : <br>
-$`\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$ or $`\overrightarrow{U}=\begin{bmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{bmatrix}`$
-instead of $`\overrightarrow{U}=\left|\begin{array}{l}U_1\\U_2\\U_3\end{array}\right.`$ as we do at INSA ?
-
-* [ES]  <br>
-[FR] méthode des produits en croix :<br>
-[EN] <br>
-$`\forall\overrightarrow{U}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
-$`\quad\forall\overrightarrow{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}`$
-$`\quad\vec{U}\land\vec{V}=\begin{pmatrix}U_1\\U_2\\U_3\end{pmatrix}\land\begin{pmatrix}V_1\\V_2\\V_3\end{pmatrix}`$
-$`\begin{pmatrix}U_2 V_3 - U_3 V_2\\U_3 V_1 - U_1 V_3\\U_1 V_2 - U_2 V_1\end{pmatrix}`$
-$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
-$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
-
-
-* [ES]  <br>
-[FR] <br>
-[EN] method similar to the sum used to obtain the determinant of a matrix :<br>
-<br>$`\vec{U}\land\vec{V}=\begin{vmatrix} \overrightarrow{e_1}&\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3}\\
-U_1 & U_2 & U_3\\V_1 & V_2 & V_3\end{vmatrix}`$
-$`=U_1V_2\,\overrightarrow{e_3}+U_2V_3\,\overrightarrow{e_1}+U_3V_1\,\overrightarrow{e_2}`$
-$`-\,U_1V_3\,\overrightarrow{e_2}-U_2V_1\,\overrightarrow{e_3}-U_3V_2\,\overrightarrow{e_1}`$
-
-
-#### Producto mixto de 2 vectores / Produit mixte de 3 vecteurs / Scalar triple product of 3 vectors
-
-* [ES] Producto triple escala = producto mixto.<br>
-[FR] Produit mixte.<br>
-[EN] Scalar triple product = triple product.
-
-* [ES] :<br>
-[FR] Le produit mixte de 3 vecteurs ordonnés $`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$, 
-noté $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ est le scalaire (pseudo-scalaire) défini par :<br>
-[EN] :<br>
-$`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})=\overrightarrow{U}\cdot (\overrightarrow{V}\land\overrightarrow{W})`$
-
-* 	Propiedades / Prppriétés / Properties :<br>
-<br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
-=(\overrightarrow{V},\overrightarrow{W},\overrightarrow{U})
-=(\overrightarrow{W},\overrightarrow{U},\overrightarrow{V})`$<br>
-<br> $`(\overrightarrow{U},\overrightarrow{V},\overrightarrow{W})
-=-\,(\overrightarrow{V},\overrightarrow{U},\overrightarrow{W})
-=-(\overrightarrow{U},\overrightarrow{W},\overrightarrow{V})
-=-(\overrightarrow{W},\overrightarrow{V},\overrightarrow{U})`$
-
-##### Componentes de un producto mixto en base ortonormal / Composantes d'un produit mixte dans une base orthonormée / Components of a triple product in an orthonormal basis
-
-$`(\vec{e_1},\vec{e_2},...,\vec{e_n})`$ est une base orthonormée
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{U}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{U}=\sum_{i=1}^n\;U_i\cdot\vec{e_i}`$ 
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{V}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{V}=\sum_{i=1}^n\;V_i\cdot\vec{e_i}`$  
-$`\displaystyle\quad\forall \overrightarrow{W}\in\mathcal{P}\quad \overrightarrow{W}=\sum_{i=1}^n\;VW_i\cdot\vec{e_i}`$  
-* [ES] :<br>
-[FR] Le produit mixte $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ se calcule comme le déterminant 
-de la matrice formée par les coordonnées ordonnées en ligne des trois vecteurs 
-$`\vec{U}`$, $`\vec{V}`$ et $`\vec{W}`$ ordonnés en colonne :<br>
-[EN] :<br>
-<br>$`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})=\begin{vmatrix} U_1 & U_2 & U_3\\
-V_1 & V_2 & V_3\\W_1 & W_2 & W_3\end{vmatrix}`$
-$`=U_3 V_1 W_2 + U_1 V_2 W_3 + U_2 V_3 W_1 - U_2 V_1 W_3 - U_3 V_2 W_1 - U_1 V_3 W_2`$
-
-
-##### Representación en el espacio euclidiano / Représentation dans l'espace euclidien / Representation in Euclidean space.
-
-[ES] <br>
-[FR] Le module du produit mixte de trois vecteurs $`(\vec{U},\vec{V},\vec{W})`$ 
-donne le volume du parallélépipède construit à partir des trois vecteurs appliqués en un même point de l'espace.<br>
-[EN]
-
-Figure à créer.
-
-#### Différentielle d'un vecteur
-
-Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
-
-![](vector-differential_PolyINSA.png)
-
-Consédérons un vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ susceptible d'évoluer dans le temps, à la fois
-en direction et en norme. Entre un instant $`t`$ et $`t+dt`$ (avec $`dt`$ une variation
-infinitésimale du temps) le vecteur a varié d'une quantité $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
-que l'on appelle la différentielle du vecteur $`\vec{OM}`$. Ainsi on peut écrire :<br>
-
-$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)`$
-
-La figure ci-contre représente les vecteurs $`\overrightarrow{OM}(t+dt)`$, $`\overrightarrow{OM}(t)`$
-et $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$. 
-
-Plutôt que d'utiliser les vecteurs de base "conventionnels" $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, 
-nous allons exprimer l'ensemble des vecteurs dans la base $`\overrightarrow{e_{||}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\perp}}`$.
-
-Le vecteur $`\overrightarrow{E_{||}}`$ est parallèle à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
-$`t`$ de sorte que $`\overrightarrow{OM}=||\overrightarrow{OM}|| \cdot\overrightarrow{e_{||}}`$.
-De la même manière le vecteur $`\overrightarrow{E_{\perp}}`$ est perpendiculaire à $`\overrightarrow{OM}`$ à l'instant
-$`t`$. Ici nous considérons le cas général dans lequel le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ 
-a pu, pendant le temps $`dt`$, à la fois s'allonger et tourner d'un angle infinitésimal
-$`\Psi`$ (avec $`\Psi=\Psi(t+dt)-\Psi(t)`$).
-
-Nous décomposons le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ de la manière suivante (conférer figure) :
-
-$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
-+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$
-
-Dans la limite où $`\Psi`$ tend vers $`0`$, $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$ 
-va s’aligner avec $`\overrightarrow{e_{||}}`$. Dans cette situation,
-$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|`$ correspond 
-simplement à l’allongement du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$. Ainsi 
-$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}\right|\right|=\left|\left|d
-\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|`$.
-Par construction, le vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$ va 
-s’aligner avec le vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_T}`$ (toujours dans la limite
-où $`\Psi`$ tend vers $`0`$). En utilisant le triangle rectangle, nous déduisons que
-sa norme vaut :<br>
-$`\left|\left|d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}\right|\right|
-= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot tan (d\Psi)`$
-$`= \left|\left|d\overrightarrow{OM}(t)\right|\right|\cdot d\Psi`$.
-Ainsi, la différentielle du vecteur $`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)`$
-s'écrit de la manière suivante :
-
-$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
-\cdot \overrightarrow{e_{||}}\,+\,\left|\left|\overrightarrow{OM}(t)_{\perp}\right|\right|
-\cdot d\Psi\cdot\overrightarrow{e_{\perp}}`$
-
-La différentielle d'un vecteur peut aussi être calculée directement à partir de son 
-expression analytique. Considérons l'exemple suivant : 
-
-$`\overrightarrow{OM}(t)=A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-
-Ce vecteur est exprimé dans la base des vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$ 
-et $`\overrightarrow{e_y})`$ qui sont "fixes" dans le référentiel d'observation. 
-Les coordonnées $`A(t)`$ et $`B(t)`$ dépendent du temps avec, par exemple
-$`A(t)=t^2`$, et $`B(t)=4t`$. La différentielle n'étant qu'une "simple" opération
-de soustraction vectorielle, elle est distributive de sorte que :
-
-$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
-+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
-$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
-+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$
-
-Or les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y})`$ sont fixes, 
-on a donc :
-
-$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
-+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
-$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
-+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-$`=d\left(t^2\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
-+d\left(4t\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-$`2\,t\,dt\cdot\overrightarrow{e_x}
-+4\,dt\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-
-
-
-#### Dérivée d’un vecteur par rapport au temps
-
-Por INSA / pour l'INSA / for INSA :
-
-$`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
-=\lim_{dt\rightarrow 0}
-\left(
-\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
-\right)`$
-
-
-##### Propongo el siguiente escrito (a discutir) / Je propose l'écriture suivante (à débattre) / I propose the following writing (to be discussed)
-
-* [ES] En la escritura de una ecuación, vemos con relativa frecuencia vemos el error de tipo :<br>
-[FR] Dans l'écriture d'une équation, nous voyons relativement souvent l'erreur de type :<br>
-[EN] In the expression of an equation, we relatively often see the type of error :<br>
-<br> $`d ... = \int ... d...`$<br>
-[ES] En una parte del curso "Atención" (fondo rojo), deberíamos explicar esto.<br>
-[FR] Dans une partie de cours "Attention" (fond rouge), nous devrions expliquer cela.<br>
-[EN] In a part of the course "Attention" (red background), we should explain this.
-
-* [ES] Si $`xxx`$ es una cantidad física escalar o vectorial, propongo que $`dxxx`$ significa una 
-variación infinitesimal de esta cantidad y $`\Delta xxx`$ una variación macroscópica.<br>
-[FR] Si $`xxx`$ est une grandeur physique scalaire ou vectorielle, je propose que $`dxxx`$ signifie 
-une variation infinitésimale de cette grandeur, et d$`\Delta xxx`$ une variation macrosocpique.<br>
-[EN] If $`xxx`$ is a scalar or vector physical quantity, I propose that $`dxxx`$ means an infinitesimal
-variation of this quantity, and $`\Delta xxx`$ a macrosocpic variation.<br>
-<br> Ainsi
-<br> $`\displaystyle\dfrac{d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)}{dt}
-=\lim_{dt\rightarrow 0}
-\left(
-\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t))}{dt}
-\right)`$
-<br>deviendrait<br>
-<br> $`\displaystyle\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}
-=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}
-\left(
-\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+\Delta t)-\overrightarrow{OM}(t))}{\Delta t}
-\right)`$
-$`=\dfrac{\overrightarrow{OM}(t+dt)-\overrightarrow{OM}(t)}{dt}`$<br>
-<br>
-[ES] En las expresiones anteriores, también simplificaría la escritura. Algunos ejemplos :<br>
-[FR] Sur les expressions ci-dessus, cela permettrait aussi de simplifier l'écriture. Quelques exemples : :<br>
-[EN] On the expressions above, it would also simplify the writing. Some examples :
-
-
-* Asi / ainsi / thus :<br>
-$`d\left(\overrightarrow{OM}\right)(t)=d\left(A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right)
-+d\left(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right)`$
-$`=d\left(A(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_x}
-+d\left(B(t)\right)\cdot\overrightarrow{e_y}`$
-$`+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x} + B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$<br>
-se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
-$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
-$`=d\left[A(t)\cdot\overrightarrow{e_x}\right]+d\left[B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}\right]`$
-$`=dA(t)\cdot\overrightarrow{e_x}+A(t)\cdot d\overrightarrow{e_x}
-+d(B(t)\cdot\overrightarrow{e_y}+ B(t)\cdot d\overrightarrow{e_y}`$
-
-* Asi / ainsi / thus :<br>
-$`d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)=d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{||}
-+d\left(\overrightarrow{OM}(t)\right)_{\perp}`$<br>
-se convertiría en / deviendrait / would become :<br>
-$`d\overrightarrow{OM}(t)=d\overrightarrow{OM}_{||}(t)
-+d\overrightarrow{OM}_{\perp}(t)`$<br>
-con / avec / with <br>
-$`\overrightarrow{OM}_{||}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{||}})\,\overrightarrow{e_{||}}\quad`$ and 
-$`\quad\overrightarrow{OM}_{\perp}=(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{e_{\perp}})\,\overrightarrow{e_{\perp}}`$ 
-
-
-
-
-