diff --git a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md index 8727c414f..9f4cc39db 100644 --- a/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md +++ b/00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cartesian/textbook.fr.md @@ -4,401 +4,286 @@ published: false visible: false --- -Coordonnées sphériques N3_ +_Coordonnées cartésiennes N3_ -#### Coordonnées sphériques +#### Coordonnées cartésiennes -##### Définition des coordonnées et domaines de définition +##### Définition des coordonnées et domaines de définition -* *205* : + -Les coordonnées sphériques s'écrivent $`(r, \theta, \varphi)`$, +Système de coordonnées cartésiennes :
+\- **1 punto $`\mathbf{O}`$** de l'espace, choisi comme **origine** des coordonnées cartésiennes.
+\- **3 axes** appelés **$`\mathbf{Ox , Oy , Oz}`$**, se coupant en $`O`$ et **orthogonaux deux à deux**.
+\- **1 unité de longueur**. -avec : +Coordonnées cartésiennes : $`( x, y, z)`$ -$`r\in [0;\infty[`$ , $`\theta\in[0,\pi]`$ et $`\varphi\in [0;2\pi[`$. +Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur le plan $`xOy`$ conduisant au point $`m_{xy}`$, +et sur l'axe $`Oz`$ conduisant au point $`m_z`$. Le point $`m_{xy}`$ est projeté orthogonalement sur les axes $`Ox`$ et $`Oy`$, conduisant respectivement aux points $`m_x`$ et $`m_y`$ (voir figure ...).
+ou, pour un équivalent d'écriture plus simple, mais moins visuel :
+Tout point $`M`$ de l'espace est projeté orthogonalement sur chacun des axes $`Ox , Oy , Oz`$ conduisant respectivement aux points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. -**$`\mathbf{ r\in [0;\infty[}`$ , $`\mathbf{\theta\in[0,\pi]}`$ , $`\mathbf{\varphi\in [0;2\pi[ }`$** +Les **coordonnées cartésiennes $`\mathbf{x_M , y_M , z_M}`$** du point $`M`$ sont les +distances algébriques $`\overline{Om_x}`$, $`\overline{Om_y}`$ et $`\overline{Om_z}`$ mesurées depuis le point origine $`O`$ jusqu'à chacun des points $`m_x`$, $`m_y`$ et $`m_z`$. -Coordonnées sphériques d'un point $`M`$ : +**$`\mathbf{x_M=\overline{Om_x}}`$ , $`\mathbf{y_M=\overline{Om_y}}`$ , $`\mathbf{z_M=\overline{Om_z}}`$** -$`(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ : +Les coordonnées $`x , y , z`$ sont des **longueurs** algébriques, dont l'**unité** dans le système international d'unité **S.I.** est le **mètre**, de symbole **$`\mathbf{m}`$**. -on écrit : +**Unidades S.I. / Unités S.I. / S.I. units : $`\mathbf{x(m)\;,\;y(m)\;,\;z(m)}`$** -$`M(r_M, \theta_M, \varphi_M)`$ +Chaque point $`M`$ de l'espace est repéré de façon unique par un et un seul triplet constitué de ses 3 coordonnées cartésiennes. On écrit : $`M=M(x_M,y_M,z_M)`$. -Si le point est un point quelconque, on simplifie +Si le point est un point quelconque, on simplifie : -$`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$** +$`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$** -##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée +**Tout l'espace** est couvert par les coordonnées cartésiennes lorsque chacune varie de façon indépendante des autres dans son propre domaine de variation. Leurs domaines de variation sont : -* *210* : +**$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$ , $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$** -[FR] élément scalaire de longueur : -$`dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}`$ , -**$`\mathbf{dl=\sqrt{dr^2+(r\,d\theta)^2+(r\,sin\theta\,d\varphi)^2}}`$** +##### Base vectorielle et repère de l'espace associés +__*Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée*__ -* *215* : + -Vecteur position d'un point $`M(r,\theta,\varphi)`$ en coordonnées sphériques : +Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x, y, z)`$ varie de façon +continue entre les valeurs $`y`$ et $`\rho+\Delta \rho`$, le point $`M`$ parcourt un sègment +de droite de longueur $`\Delta l_{\rho}=\Delta \rho`$. Lorsque $`\Delta \rho`$ tend vers $`0`$, +la longueur infinitésimale $`dl_{\rho}`$ parcourue pour le point $`M`$ est : -
$`\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}`$ , **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=r\;\overrightarrow{e_r}}`$** +$`\displaystyle dx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta x>0} \Delta x`$ +$`\quad\Longrightarrow\quad dl_x=dx`$ , **$`\mathbf{dl_x=dx}`$** -* *220* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** +de même -Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées sphériques : +$`dl_y=dy`$ , **$`\mathbf{dl_y=dy}`$**
-$`d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{d{\large\tau} =\rho^2\;sin\,\theta\;dr\;d\theta\;d\varphi}`$**. +$`dl_z=dz`$ , **$`\mathbf{dl_z=dz}`$** -* *225* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** +!!!! Attention : Cette propriété que les longueurs élémentaires $`dl_{\alpha}`$ s'identifie à la variation infinitésimale de la coordonnée $`d\alpha`$ correspondante est une propriété des systèmes de coordonnées cartésiennes : +!!!! +!!!! Coordonnées cartésiennes $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha}=d\alpha`$. +!!!! +!!!! Mais lorsque nous passons aux coordonnées cylindriques et sphériques, et en généralisant aux coordonnées curvilignes, cette identité n'est plus systématiquement vraie. +!!!! +!!!! En général : $`\Longrightarrow \quad dl_{\alpha} \ne d\alpha`$ +!!!! +!!!! Il est donc important de *distinguer la distance infinitésimal $`dl_{\alpha}`$* parcourue par un $`M`$ lors d'une variation infinitésimale d'une seule de ses coordonnées $`\alpha`$, *de la variation $`d\alpha`$* de cette même coordonnée. -Lorsque seule la coordonnées $`r`$ d'un point $`M(r, \theta, \varphi)`$ varie de façon -continue entre les valeurs $`r`$ et $`r+\Delta r`$, le point $`M`$ parcourt un sègment -de droite de longueur $`\Delta l_r=\Delta r`$. Lorsque $`\Delta r`$ tend vers $`0`$, -la longueur infinitésimale $`dl_r`$ parcourue pour le point $`M`$ est : + -$`\displaystyle d\varphi=\lim_{\Delta \varphi\rightarrow 0 \\ \Delta \varphi>0} \Delta\varphi`$ -$`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi`$ , **$`\mathbf{dl_{\varphi}=r\;sin\,\theta\;d\varphi}`$** +__*Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée*__ -* *230* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)** + -Les vecteurs $`\overrightarrow{e_r}`$, $`\overrightarrow{e_{\theta}}`$ et $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ -forment une **base orthonormée** de l'espace. La base $`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ -est la base associée aux coordonnées sphériques. -En coordonnées sphériques, les vecteurs de base associés -changent de direction lorsque le point $`M`$ se déplace. +Lorsque seule la coordonnées $`x`$ d'un point $`M(x,y,z)`$ s'accroît de façon +infinitésimale entre les valeurs $`x`$ et $`x+dx`$ ($`dx>0`$), le vecteur déplacement +$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x`$ du point $`M`$ est le vecteur +tangent à la trajectoire au point $`M`$ qui sc'écrit : -$`||\overrightarrow{e_r}||=||\overrightarrow{e_{\theta}}||=||\overrightarrow{e_{\varphi}}||=1`$ +$`\overrightarrow{MM'}=\partial\overrightarrow{OM}_x=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial x}\cdot dx`$ -$`\overrightarrow{e_r}\perp\overrightarrow{e_{\theta}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\theta}}\perp\overrightarrow{e_{\varphi}}\quad,\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}\perp\overrightarrow{e_r}`$ +Le vecteur unitaire tangent à la trajectoire $`\overrightarrow{e_x}`$ (qui indique la direction et le sens +de déplacement du point M lorsque seule la coordonnée x croît de façon infinitésimale) s'écrit : -$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartesiana *directa* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base esférica asociada *directa*. -
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ base cartésienne *directe* $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ base sphérique associée *directe*. -
$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ *direct* Cartesian base $`\quad\Longleftrightarrow\quad (\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\theta}},\overrightarrow{e_{\varphi}})`$ *direct* associated spherical base. +$`\overrightarrow{e_x}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_x}{||\partial\overrightarrow{OM}_x||}`$ -$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$
+de même : + +$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial y}\cdot dy`$, +$`\quad\overrightarrow{e_y}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_y}{||\partial\overrightarrow{OM}_y||}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\dfrac{\partial \overrightarrow{OM}}{\partial z}\cdot dz`$, +$`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\overrightarrow{OM}_z||}`$ + +##### Base et repère cartésiens + + + +Les vecteurs déplacement élémentaire $`\partial\overrightarrow{OM}_x , \partial\overrightarrow{OM}_y , \partial\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$. + +Les vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +forment une **base orthonormée** de l'espace. C'est la base associée aux coordonnées cartésiennes. +En coordonnées cartésiennes, les **vecteurs de base** gardent la +**même direction et le même sens quelque-soit la position du point $`M`$**. + +$`||\overrightarrow{e_x}||=||\overrightarrow{e_y}||=||\overrightarrow{e_z}||=1`$
+$`\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_y}\quad,\quad\overrightarrow{e_y}\perp\overrightarrow{e_z}\quad,\quad\overrightarrow{e_x}\perp\overrightarrow{e_z}`$ + +$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ +base orthogonale indépendante de la position de $`M`$ + + + +[FR] Un repère cartésien, noté $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$, +est l'ensemble formé par un point $`O`$ origine des coordonnées et une base vectorielle cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. + +En coordonnées cartésiennes, tout point $`M`$ de l'espace peut se repérer :
+\- soit par ses coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$ dans le système d'axes cartésien $`(Ox, Oy, Oz)`$.
+\- soit par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ d'expression +$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ dans le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+Les composantes d'un vecteur position sont appelées coordonnées, $x, y, z`$ sont les coordonnées cartésiennes du point $`M`$. + +Des grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associées à un point $`M`$ autres que sa position $`\overrightarrow{OM}`$ peuvent s'exprimer avec les vecteurs de la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$:
+$`\overrightarrow{G}=G_x\;\overrightarrow{e_x}+G_y\;\overrightarrow{e_y}+G_z\;\overrightarrow{e_z}`$.
+$`G_x, G_y, G_z`$ sont appelées composantes de la grandeur physique $`G`$ dans la base $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$.
+Exemples grandeurs physiques vectorielles $`G`$ associée à un point $`M`$ :
+\- le vecteur vitesse $`V`$, dont les composantes cartésiennes $`V_x, V_y, V_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-1}`$ dans le S.I.
+\- le vecteur accélération $`a`$, dont les composantes cartésiennes $`a_x, a_y, a_z`$ s'expriment en $`m\;s^{-2}`$ dans le S.I.
+\- la force totale appliquée $`F`$, dont les composantes cartésiennes $`F_x, F_y, F_z`$ s'expriment en $`N`$ (newton) dans le S.I.
+\- ... + + +forment le repère cartésien +$`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$. -* *235* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
+Un point $`M`$ de l'espace est repéré par son vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$. +Le vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ en coordonnées cartésiennes s'écrit en fonctio -Méthode 1 pour le calcul de $`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ -$`(\overrightarrow{e_r},\overrightarrow{e_{\varphi}},\overrightarrow{e_z})`$ -base ortogonal dependiente de la posición de $`M`$ / base orthogonale dépendante -de la position de $`M`$ / orthogonal basis dependent of the position of $`M`$.
-
$`\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM}(t)\quad\Longrightarrow\quad\left\{ \begin{array}{l} -\overrightarrow{e_r} = \overrightarrow{e_r}(t) \\ -\overrightarrow{e_{\theta}} = \overrightarrow{e_{\theta}}(t) \\ -\overrightarrow{e_{\varphi}} = \overrightarrow{e_{\varphi}}(t) \\ -\end{array} \right.`$ -$`\overrightarrow{e_r}(t)=sin\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;sin\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\theta}}(t)=cos\,\theta(t)\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\theta(t)\;sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;-\;sin\,\theta(t)\;\overrightarrow{e_z}`$
-
$`\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)=- sin\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_x}`$$`\;+\;cos\,\varphi(t)\;\overrightarrow{e_y}`$ -dans la base cartésienne $`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ : +##### Déplacement, surface et volume élémentaires -$`\overrightarrow{e_r}(t)= -\left| \begin{array}{l} -sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ -sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ -cos\,\theta(t) \\ -\end{array} \right.\quad`$ , -$`\quad\overrightarrow{e_{\theta}}(t)= -\left|\begin{array}{l} -cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \\ -cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t) \\ --\,sin\,\theta(t) \\ -\end{array}\right.\quad`$ , -$`\quad\overrightarrow{e_{\varphi}}(t)= -\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\varphi(t) \\ -cos\,\varphi(t) \\ -0 \\ -\end{array}\right.`$ - -Dans le référentiel $`\mathcal{R}(O,\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z},t)`$ de l'observateur, c'est à dire dans le référentiel où le repère cartésien $`(O, \overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})`$ est fixe, donc tel que l'origine $`O`$ est fixe et les trois vecteurs de base vérifient - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_x}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_y}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{e_z}}{dt}=0`$ : - -en se rappelant : $`(fg)'=f'g+fg'`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d}{dt} [\,sin\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, sin\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\, ] \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad = -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;sin\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -et en se rappelant : $`(f \circ g)'=(f' \circ g)\,g'`$ , - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\\ -cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; sin\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ -\\ --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}= -\dfrac{d\theta}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,sin\,\theta \\ -\end{array} \right.`$ -$`\;+\; -sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\varphi \\ -cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}+sin\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$** +__*Vecteur déplacement élémentaire*__ + + + +La norme du vecteur $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}`$ +est l'élément de longueur $`dl_x`$, donc le vecteur $`\overrightarrow{e_x}`$ s'écrit : + +$`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}=dl_x\;\overrightarrow{e_x}=dx\;\overrightarrow{e_x}`$ de même : -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_\theta}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d}{dt} [\,cos\,\theta(t)\cdot cos\,\varphi(t) \,]\\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [\, cos\,\theta(t)\cdot sin\,\varphi(t)\, ] \\ -\\ -\dfrac{d}{dt} [-\, sin\,\theta(t)\, ] \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad = -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,cos \,\varphi}{dt} \\ -\\ -\dfrac{d\,cos\,\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\;cos\,\theta\cdot \dfrac{d\,sin\,\varphi}{dt} \\ -\\ --\,\dfrac{d\,sin\,\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$ - - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot cos\,\varphi\;-\; cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt} \\ -\\ --\,sin\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot sin\,\varphi\;+\; cos\,\theta \cdot cos\,\varphi \cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\\ -\\ --\,cos\,\theta\cdot \dfrac{d\theta}{dt} \\ -\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}= -\dfrac{d\theta}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,cos\,\theta \\ -\end{array} \right.`$ -$`\;+\; -cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot -\left| \begin{array}{l} --\,sin\,\varphi \\ -cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$
-
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}`$
-
-**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}+cos\,\theta\cdot\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot \overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
- - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}= -\left| \begin{array}{l} -\dfrac{d\,[-\,sin\,\varphi(t)]}{dt} \\ -\dfrac{d\cos\,\varphi(t)}{dt} \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`\quad= -\left| \begin{array}{l} --\,cos\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ --\,sin\,\varphi(t)\cdot\dfrac{d\varphi}{dt} \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ - -$`\quad\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - -**$`\mathbf{\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=-\,\dfrac{d\varphi}{dt}}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$**
- -avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : - -$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. - - -* *240* : **N3 ($`\rightarrow`$ N4)**
-Méthode 2 pour le calcul de -$`\dfrac{d e_r}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\theta}}{dt}`$ , $`\dfrac{d e_{\varphi}}{dt}`$ - -$`\overrightarrow{e_r}=sin\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;sin\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$$`\;+\;cos\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`=\overrightarrow{e_r}(\theta, \varphi)`$
-$`\overrightarrow{e_{\theta}}=cos\,\theta\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;cos\,\theta\;sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ -$`\;-\;sin\,\theta\;\overrightarrow{e_z}`$ -$`=\overrightarrow{e_{\theta}}(\theta, \varphi)`$
-$`\overrightarrow{e_{\varphi}}=- sin\,\varphi\;\overrightarrow{e_x}`$ -$`\;+\;cos\,\varphi\;\overrightarrow{e_y}`$ -$`=\overrightarrow{e_{\varphi}}=\overrightarrow{e_{\varphi}}(\theta, \varphi)`$ - -$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot d\theta\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot d\varphi`$ - -$`\theta=\theta(t)`$ , $`\varphi=\varphi(t)\quad\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal, $`\theta`$ et $`\varphi`$ varient de : - -$`d\theta=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt`$ et $`d\varphi=\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ - -$`\Longrightarrow\quad`$ pour un même $`dt`$ infinitésimal : - -$`d\overrightarrow{e_r}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-$`d\overrightarrow{e_{\theta}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$
-$`d\overrightarrow{e_{\varphi}}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\cdot dt\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\cdot dt`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$
-$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,sin\,\theta \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\overrightarrow{e_{\theta}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(sin\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=sin\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,sin\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ --\,sin\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ --\,cos\,\theta \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=-\,\overrightarrow{e_r}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot cos\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\theta\cdot sin\,\varphi)] \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\theta) \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\left|\begin{array}{l} --\,cos\,\theta\cdot sin\,\varphi \\ -cos\,\theta\cdot cos\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=cos\,\theta\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(-\,sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\theta}(cos\,\varphi) \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`= -\left|\begin{array}{l} -0 \\ -0 \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=\overrightarrow{0}`$ - -$`\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}= -\left|\begin{array}{l} -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(-\,sin\,\varphi) \\ -\dfrac{\partial}{\partial\varphi}(cos\,\varphi) \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`= -\left|\begin{array}{l} --\,cos\,\varphi \\ --\,sin\,\varphi \\ -0 \\ -\end{array} \right.\quad`$ -$`=-\,\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - -avec $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ vecteur de la base cylindrique : -$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\phi}}, \overrightarrow{e_z})`$. - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_r}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}\quad`$ -$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\theta}}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\sin\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\theta}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\theta}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ -$`=-\,\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\,+\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\cos\,\theta\,\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - -$`\dfrac{d\overrightarrow{e_{\varphi}}}{dt}=\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\theta}\cdot \dfrac{d\theta}{dt}\;+\;\dfrac{\partial\overrightarrow{e_{\varphi}}}{\partial\varphi}\cdot \dfrac{d\varphi}{dt}`$ -$`=\dfrac{d\theta}{dt}\cdot\overrightarrow{0}\,-\,\dfrac{d\varphi}{dt}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}`$ - - - - - - - - - - - - - -* *245* : -$`\overrightarrow{v}(t)=\dfrac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dfrac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}=\dfrac{d}{dt}\left[\,r(t)\cdot\overrightarrow{e_r}(t)\,\right]`$$`=\dfrac{dr(t)}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r(t)}\;+\;r(t)\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}(t)}{dt}`$ -$`=\dfrac{dr}{dt}\cdot\overrightarrow{e_r}\;+\;r\cdot\dfrac{d\overrightarrow{e_r}}{dt}`$ +$`\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}=dl_y\;\overrightarrow{e_y}=dy\;\overrightarrow{e_y}`$
+$`\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}=dl_z\;\overrightarrow{e_z}=dz\;\overrightarrow{e_z}`$ + + + + +L'**élément vectoriel d'arc** ou vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dOM}=\overrightarrow{dl}`$ en +coordonnées cartésiennes est le vecteur déplacement du point $`M(x,y,z)`$ au point +$`M'(x+dx,y+dy,z+dz)`$ quand les coordonnées varient infinitésimalement des quantités +$`dx`$, $`dy`$ y $`dz`$, et il s'écrit : + +$`\overrightarrow{MM'}=d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dr}=\overrightarrow{dl}`$ +$`=\partial\overrightarrow{OM}_x+\partial\overrightarrow{OM}_y+\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\overrightarrow{dl_x}+\overrightarrow{dl_y}+\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}`$ +$`=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}`$ + +**$`\mathbf{d\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{dl}}`$** +**$`\mathbf{=dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z}}`$** +**$`\mathbf{=dx\;\overrightarrow{e_x}+dy\;\overrightarrow{e_y}+dz\;\overrightarrow{e_z}}`$** + +__*Scalaire déplacement élémentaire*__ + + +[FR] et sa norme el l'élément de longueur : + +$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{dl_x^2+dl_y^2+dl_z^2}=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ + +$`||\overrightarrow{dl}||=\sqrt{\overrightarrow{dl}\cdot\overrightarrow{dl}}`$ +$`=\left[(dl_x\;\overrightarrow{e_x}+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\cdot +(dl_x\;\overrightarrow{e_x}\right.`$ +$`\left.+dl_y\;\overrightarrow{e_y}+dl_z\;\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ +$`=\left[(dl_x)^2\;(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_x})\right.`$ +$`+(dl_y)^2\;(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ +$`+(dl_z)^2\;(\overrightarrow{e_z}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ +$`+(2\,dl_x\,dl_y)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_y})`$ +$`+(2\,dl_x\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_x}\cdot\overrightarrow{e_z})`$ +$`\left.+(2\,dl_y\,dl_z)\,(\overrightarrow{e_y}\cdot\overrightarrow{e_z})\right]^{1/2}`$ +$`=\sqrt{(dl_x)^2+(dl_y)^2+(dl_z)^2}`$ +$`=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}=dl`$ + +__*Surfaces élémentaires*__ + + + +Les 3 vecteurs $`\partial\overrightarrow{OM}_x=\overrightarrow{dl_x}\quad`$, +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_y=\overrightarrow{dl_y}\quad`$ et +$`\quad\partial\overrightarrow{OM}_z=\overrightarrow{dl_z}`$ sont orthogonaux 2 à 2. + +$`\Longrightarrow`$ : + +L'aire d'un élément de surface construit par 2 de ces vecteurs s'exprimera +simplement comme le produit de leurs normes. Et le volume définit par ces 3 vecteurs +sera simplement le produits de leurs normes. + + + +Selon la direction choisie, les **éléments scalaires de surface $`dS`$** en coordonnées cartésiennes sont : + +\- dans un plan $`z = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{xy}=dS_{yx}=dl_x\;dl_y=dx\;dy\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_y=dx\;dy}`$**
+\- dans un plan $`y = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{xz}=dS_{zx}=dl_x\;dl_z=dx\;dz\quad`$ , **$`\mathbf{dS=dl_x\;dl_z=dx\;dz}`$**
+\- dans un plan $`x = cst`$ :
+$`\quad dS=dS_{yz}=dS_{zy}=dl_y\;dl_z=dy\;dz`$, **$`\mathbf{dS=dl_y\;dl_z=dy\;dz}`$** + + + +et les **éléments vectoriels de surface $`\overrightarrow{dS}`$** correspondants sont : + +$`d\overrightarrow{S_{xy}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_y`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_y}`$ +$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_y\;\overrightarrow{e_y})`$ +$`=\pm\; dl_x\;dl_y\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_y})`$ +$`= \pm \; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ + +$`d\overrightarrow{S_{xz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_x\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_x}\land\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=\pm\; (dl_x\;\overrightarrow{e_x})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dl_x\;dl_z\;(\overrightarrow{e_x}\land\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\mp\; dx\;dy\;\overrightarrow{e_z}`$ + +$`d\overrightarrow{S_{yz}}=\pm\;\partial\overrightarrow{OM}_y\land\partial\overrightarrow{OM}_z`$ +$`=\pm\;\overrightarrow{dl_y}\land\overrightarrow{dl_z}`$ +$`=\pm\; (dl_y\;\overrightarrow{e_y})\land(dl_z\;\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dl_y\;dl_z\;(\overrightarrow{e_y}\land\overrightarrow{e_z})`$ +$`=\pm\; dy\;dz\;\overrightarrow{e_x}`$ + +__*Volume élémentaire*__ + + + +Élément de volume $`d\large\tau`$ en coordonnées cartésiennes : + +$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$ , **$`d\large\tau\normalsize=dx\;dy\;dz`$** + + +#### Vecteur position + + + +Vecteur position d'un point $`M(x,y,z)`$ en coordonnées cartésiennes :
+[EN] Position vector of a point $`M(x,y,z)`$ in Cartesian coordinates:
+ +$`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}`$ + +**$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overrightarrow{e_z}}`$** + +#### Vecteur vitesse + +#### Vecteur accélération +