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@@ -53,7 +53,13 @@ Las *herramientas matemáticas de los niveles 1 y 2* **$`+`$** :
 * funcion exponencial **$`e^x`$**    
   Euler **$`e^{\,i\theta}=\cos\theta+ i\sin\theta`$**       
   **$`\cos\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}+e^{\,-i\theta}}{2}`$**     
-  ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$**
+  ** $`\sin\theta=\dfrac{e^{\,i\theta}-e^{\,-i\theta}}{2i}`$**   
+  <br>    
+  y unciones hiperbólicas    
+  **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}`$**   
+  **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$** 
+  **$`\cosh(x)=\dfrac{e^x-+e^{\,- x}}{2}`$**   
+  **$`\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{\,- x}}{2}`$**
 
 * **$`e^0=1 \quad , \quad`$**
 **$`e^{\,i\frac{\pi}{2}}=i\quad , \quad`$**
@@ -276,7 +282,31 @@ RESPONDER / COMENTAR :
 ------------------------------------------------------------------------------->
 ! Ecuaciones diferenciales*
 
-* por hacer
+
+* ecuaciones diferenciales lineales de orden 1 (para el concepto de constante de tiempo, carga y descarga de un condensador)
+   * por ejemplo : $`x(t)`$ es una función del tiempo
+**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=0`$**   
+(la o las notaciones utilizadas no estan definidas aquí)
+   * luego con el segundo miembro sinusoidal  
+**$`a\cdot\dfrac{dx}{dt}+b x=c`$** 
+
+* équations différentielles linéaires d'ordre 2  (pour étude des oscillateurs mécaniques ou électriques) 
+   * par exemple : $`x(t)`$ est une fonction du temps      
+**$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=0`$**   
+(la ou les notations utilisées ne sont pas définies ici) 
+   * puis avec second membre sinusoïdal    
+**$`a\cdot\dfrac{d^2 x}{dt^2}+b\cdot\dfrac{dx}{dt}+b\cdot x=d \cdot\cos(\omega t)`$**    
+
+* équation d'onde    
+**$`\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\dfrac{1}{v}\cdot\dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2}`$**  
+
+* Système d'ordre 1 et de dimension 2 (une première approche dynamique des populations ou un cours transverse sur les systèmes)
+   * **$`\left\{\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt} = f(x,y)\\ \dfrac{dy}{dt}=g(x,y) \end{array}\right.`$** 
+       avec par exemple le modèle proies prédateurs de Lotka-Volterra : $`f(x,y)= a\cdot x -b\cdot xy`$ et $`f(x,y)= - c\cdot x +d\cdot xy`$ (à ce niveau 3?) 
+
+
+* **savoir mettre sous forme d'un système d'équations différentielles** une situation, même si *on ne le résoud pas*.
+
 
 RESPONDER / COMENTAR :
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