[ES] La lógica matemática representa las aserciones mediante letras.<br>
[FR] En logique mathématiques, les assertions sont représentées par des lettres majuscules.<br>
[ES] (¡ auto-transl !) La lógica matemática representa las **aserciones** mediante *letras mayúsculas*.<br>
[FR] En logique mathématiques, les **assertions** sont représentées par des *lettres majuscules*.<br>
[EN]
[EN]
**valor de verdad** / **valeur de vérité** / ...
**valor de verdad** / **valeur de vérité** / ...
@ -38,7 +41,7 @@ visible: false
[FR] La valeur de vérité d'une proposition $`P`$ s'écrit $`v(P)`$.
[FR] La valeur de vérité d'une proposition $`P`$ s'écrit $`v(P)`$.
[EN]
[EN]
[ES]
[ES] (¡ auto-transl !) Notaciones :
* el valor **verdadero** está representado por la letra *V* o el número *1*.
* el valor **verdadero** está representado por la letra *V* o el número *1*.
* el valor **falso** está representado por la letra *F* o el número *0*.
* el valor **falso** está representado por la letra *F* o el número *0*.
[FR] Notations :
[FR] Notations :
@ -54,7 +57,7 @@ visible: false
[FR] Que dire ?<br>
[FR] Que dire ?<br>
[EN] What to say?<br>
[EN] What to say?<br>
[ES] La paradoja del mentiroso que dice "En esta oración presente, estoy mintiendo.".<br>
[ES] (¡ auto-transl !) La paradoja del mentiroso que dice "En esta oración presente, estoy mintiendo.".<br>
[FR] Le paradoxe du menteur qui dit "Dans cette phrase présente, je mens.".<br>
[FR] Le paradoxe du menteur qui dit "Dans cette phrase présente, je mens.".<br>
[EN]
[EN]
@ -62,77 +65,93 @@ visible: false
*[Math_Logic-20] Lógica / logique / logic*
*[Math_Logic-20] Lógica / logique / logic*
[ES]<br>
[FR] La logique étudie les rapports entre les propositions et leurs valeurs, sans se soucier de leurs sens.<br>
[EN]
[ES]<br>
[FR] De même que l'algèbre les propriétés des opérations et équations sans se soucier des valeurs des nombres en jeu.<br>
exemple : l'algèbre établit que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$<br>
[EN]
[ES] (¡ auto-transl !) Así como el álgebra estudia las propiedades de las operaciones y ecuaciones realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por los valores de los números involucrados, <br>
_ejemplo : el álgebra establece que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **lógica** estudia las *propiedades de los operadores lógicos y equivalencias entre expresiones lógicas* realizadas con sus combinaciones, sin preocuparse por el significado de las aserciones involucradas.<br>
Los **operadores lógicos** son la *negación* ($`\neg`$), la *equivalencia* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjunción* ($`\land`$), la *disyunción* ($`\lor`$), la *implicación* ($`\Longrightarrow`$) y la *incompatibilidad* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que $`\neg(\,P \land Q\,) \Longleftrightarrow \neg P \lor \neg Q`$._
[FR] De même que l'algèbre étudie les propriétés des opérations et des équations réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier des valeurs des nombres mis en jeu,<br>
_exemple : l'algèbre établit que $`a\times (b+c) = a\times b + a\times c`$_<br>
la **logique** étudie les *propriétés des opérateurs logiques et des équivalences entre expressions logiques* réalisées avec leurs combinaisons, sans se soucier du sens des assertions mises en jeu,<br>
Les **opérateurs logiques** sont la *négation* ($`\neg`$), l'*équivalence* ($`\Longleftrightarrow`$), la *conjonction* ($`\land`$),la *disjonction*($`\lor`$), l'*implication* ($`\Longrightarrow`$) et l'*incompatibilité* ($`|`$).<br>
_ejemplo : la lógica establece que $`\neg(\,P \land Q\,) \Longleftrightarrow \neg P \lor \neg Q`$._
[ES] La lógica matemática representa las proposiciones mediante letras.<br>
[FR] En logique mathématiques, les assertions sont représentées par des lettres majuscules.<br>
[EN]
[EN]
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*[Math_Logic-30] axiomas y teoremas / axiomes et théorèmes / axioms and theorems*
*[Math_Logic-30] axiomas y teoremas / axiomes et théorèmes / axioms and theorems*
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !) Un **axioma** es una *aserción* que se declara y se considera *verdadera, sin demonstración*. <br>
Un **teorema** es una *aserción* cuyo *valor verdadero se demuestra mediante un razonamiento lógico a partir de otras afirmaciones (axiomas o teoremas).
[FR] Un **axiome** est une *assertion* qui est posée et considérée comme *vraie, sans démonstration*.<br>
[FR] Un **axiome** est une *assertion* qui est posée et considérée comme *vraie, sans démonstration*.<br>
Un **théorème** est une *assertion* dont *la valeur vraie est démontrée* par un raisonnement logique à partir d'autres assertions (axiomes ou théorèmes).
Un **théorème** est une *assertion* dont *la valeur vraie est démontrée* par un raisonnement logique à partir d'autres assertions (axiomes ou théorèmes).
[EN]
[EN] (auto-transl !)
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*[Math_Logic-40] théorie mathématique*
*[Math_Logic-40] théorie mathématique*
[ES] <br>
[FR]
[EN]
[ES] ? <br>
[FR] ? <br>
[EN] ?
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--------------------------
*[Math_Logic-50]*<br>
*[Math_Logic-50]*<br>
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] *Théorie contradictoire ou cohérente*<br>
[FR] *Théorie contradictoire ou cohérente*<br>
[EN]
[EN] (¡ auto-transl !)
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] Une théorie est **contradictoire** si *une assertion est à la fois vraie et fausse* car dans ce cas *toutes les assertions sont à la fois vraies et fausses*.<br>
[FR] Une théorie est **contradictoire** si *une assertion est à la fois vraie et fausse* car dans ce cas *toutes les assertions sont à la fois vraies et fausses*.<br>
[EN]
[EN] (auto-transl !)
[ES] <br>
[ES] (¡ auto-transl !)<br>
[FR] Une théorie est **cohérente** si elle n'est *pas contradictoire*.<br>
[FR] Une théorie est **cohérente** si elle n'est *pas contradictoire*.<br>
[EN]
[EN] (auto-transl !)
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*[Math_Logic-60] Tabla de verdad / table de vérité / ...*
*[Math_Logic-60] Tabla de verdad / Table de vérité / Truth table
[FR] Donne la valeur de vérité d'une assertions composée<br>
[ES] (¡ auto-transl !)
[FR] Donne la valeur de vérité d'une assertion composée<br>
La **négation de $`P`$** est une nouvelle assertion qui s'écrit **$`\mathbf{\text{NON}(P)}`$** ou **$`\mathbf{\neg P}`$**, et dont la valeur est *définie par* :
La **négation de $`P`$** est une nouvelle assertion qui s'écrit **$`\mathbf{\text{NON}(P)}`$** ou **$`\mathbf{\neg P}`$**, et dont la valeur est *définie par* :
* *$`\neg P`$ est vraie si $`P`$ est fausse*.
* *$`\neg P`$ est fausse si $`P`$ est vraie*.<br>
[EN]
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est vraie si $`\mathbf{P}`$ est fausse**.
* **$`\mathbf{\\neg P}`$ est fausse si $`\mathbf{P}`$ est vraie**.
[EN] (auto-transl !)
[ES][FR]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| :-------------------: | :-------------------: |
| V | F |
| V | F |
| F | V |
| F | V |
ou
[EN]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| T | F |
| F | T |
o / ou / or [ES][FR][EN]
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| $`\quad P\quad`$ | $`\quad\neg P\quad`$ |
| :-------------------: | :-------------------: |
| :-------------------: | :-------------------: |
@ -140,8 +159,8 @@ ou
| 0 | 1 |
| 0 | 1 |
!!! *Ejemplos / exemples / examples* :
!!! *Ejemplos / exemples / examples* :
!!! * $`\neg (3\lt 5)`$ est une assertion fausse.
!!! * $`\neg (3 = 5)`$ est une assertion vraie.
!!! * $`\neg (3\lt 5)`$ es una aserción falsa /est une assertion fausse / is a false statement
!!! * $`\neg (3 = 5)`$ es una aserción verdarera / est une assertion vraie / is a true statement
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@ -149,7 +168,8 @@ ou
Símbolo / symbole / symbol : **$`\mathbf{\Longleftrightarrow}`$**
Símbolo / symbole / symbol : **$`\mathbf{\Longleftrightarrow}`$**
!!! [ES] (¡ auto-transl !) "Juan es el hijo de José" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$" José es el padre de Juan ".
!!! [FR] "Jean est le fils de Jacques" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$ "Jacques est le père de Jean".<br>
!!! [FR] "Jean est le fils de Jacques" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$ "Jacques est le père de Jean".<br>
!!! [EN]
!!! [EN] (auto-transl !) "Oliver is Daniel's son" $`\quad \Longleftrightarrow \quad`$" Daniel is Oliver's father".
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@ -200,8 +223,8 @@ ou
L'assertion **$`\mathbf{P \land Q}`$** :
L'assertion **$`\mathbf{P \land Q}`$** :
* se lit *conjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
* se lit *conjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
* est **vraie si et seulement si** les assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont vraies toutes les deux*,<br>
donc si et seulement si **$`v(P)=v(Q)=1`$**.
* est **vraie si et seulement si** les assertions *$`\mathbf{P}`$ et $`\mathbf{Q}`$ sont vraies toutes les deux*,<br>
donc si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=v(Q)=1}`$**.
* donc est fausse dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est fausse.
* donc est fausse dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est fausse.
[ES] <br>
[ES] <br>
@ -239,7 +262,7 @@ ou
L'assertion **$`\mathbf{P \lor Q}`$** :
L'assertion **$`\mathbf{P \lor Q}`$** :
* se lit *disjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
* se lit *disjonction de $`P`$ et de $`Q`$*.
* est **fausse si et seulement si** les assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont fausses toutes les deux*,<br>
* est **fausse si et seulement si** les assertions *$`P`$ et $`Q`$ sont fausses toutes les deux*,<br>
donc $`v(P \lor Q)=1`$ si et seulement si **$`v(P)=v(Q)=0`$**.
donc $`v(P \lor Q)=1`$ si et seulement si **$`\mathbf{v(P)=v(Q)=0}`$**.
* donc $`P \lor Q)`$ est vraie dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est vraie.
* donc $`P \lor Q)`$ est vraie dès que l'une au moins des deux assertions $`P`$ et $`Q`$ est vraie.
[ES] <br>
[ES] <br>
@ -274,7 +297,7 @@ ou
!!!!
!!!!
!!!! _Par exemple, si dans un restaurant un menu indique que vous avez droit au "fromage ou déssert", cela signifie que vous avez le droit de commander soit le fromage, soit le déssert, mais pas les deux en même temps._
!!!! _Par exemple, si dans un restaurant un menu indique que vous avez droit au "fromage ou déssert", cela signifie que vous avez le droit de commander soit le fromage, soit le déssert, mais pas les deux en même temps._
!!!!
!!!!
!!!! *En mathématique*, le *OU* est *inclusif*. Cela signifie que la proposition $`(P OU Q)`$ est vraie, si $`P`$ est vraie, si $`Q`$ est vraie, et si $`P`$ et $`Q`$ sont toutes les deux vraies.
!!!! *En mathématique*, le *OU* est *inclusif*. Cela signifie que la proposition $`(P OU Q)`$ est vraie, si $`P`$ est vraie, si $`Q`$ est vraie, et si $`P`$ et $`Q`$ sont toutes les deux vraies.
[FR] Avant d'écrire la table de vérité de ces propositions, allégeons le tableau en notant :<br>
[EN]
[FR] Démontrer que $`\text{NON}(P\;ET\;Q) \Longleftrightarrow \big{(}\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$, c'est montrer que $`\text{NON}(\,P\;ET\;Q\,)`$ et
$`\big{(}\,\text{NON}(\,P\,)\;OU\;\text{NON}(\,Q\,)\big{)}`$ partagent la même table de vérité.
Avant d'écrire la table de vérité de ces propositions, allégeons le tableau en notant :<br>
