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Claude Meny 5 years ago
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00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/cylindrical/cheatsheet.fr.md
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@ -7,7 +7,7 @@ visible: false
<!--MétaD : INSAT-TR_--> <!--MétaD : INSAT-TR_-->
!!!! Cours en construction ! !!!! Cours en construction !
!!!! Imparfiat, incomplet
!!!! Imparfait, incomplet
!!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible !!!! Ne pas publier, ne pas mettre visible
#### Que sont les coordonnées cylindriques ? #### Que sont les coordonnées cylindriques ?
@ -18,22 +18,32 @@ visible: false
* **$`\mathbf{\rho}`$** et **$`\mathbf{z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*. * **$`\mathbf{\rho}`$** et **$`\mathbf{z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*.
* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angles* exprimés en rad *($`\mathbf{rad}`$)*.
<br><br>
* **$`\mathbf{\varphi}`$** est un *angle* exprimés en radian *($`\mathbf{rad}`$)*.
----
![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif) ![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif)
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#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ? #### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ?
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![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif) ![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif)
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#### Comment passer des cylindriques aux cartésiennes ? #### Comment passer des cylindriques aux cartésiennes ?
* Méthode : *projeter* le vecteurs $`\overrightarrow{OM}`$ sur l'axe $`Oz`$, sur le plan $`xOy`$ au point $`M_{xOy}`$ puis sur chacun des axes $`Ox`$ et $`Oy`$, *en utilisant les fonctions* trigonométriques *sinus* et *cosinus*. * Méthode : *projeter* le vecteurs $`\overrightarrow{OM}`$ sur l'axe $`Oz`$, sur le plan $`xOy`$ au point $`M_{xOy}`$ puis sur chacun des axes $`Ox`$ et $`Oy`$, *en utilisant les fonctions* trigonométriques *sinus* et *cosinus*.
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![](cylindrical_coordinates_projection.png) ![](cylindrical_coordinates_projection.png)
------
* $`\Longrightarrow`$ * $`\Longrightarrow`$
**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$** **$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$**
@ -43,11 +53,16 @@ visible: false
##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ ##### Vecteur unitaire $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$
---------
![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif) ![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif)
--------
* Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M''(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br> * Déplacement **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M''(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**<br>
(avec $`\Delta\varphi^+ =\Delta\varphi>0`$)<br>
<br>**$`\Longrightarrow`$** **direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
(avec $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)<br>
<br>
**$`\Longrightarrow`$ direction et sens** de **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**<br>
$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`M`$ au cercle de rayon $`\rho_M`$ dans le plan $`z_M=const`$, orienté dans le sens des $`\varphi`$ croissants. $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`M`$ au cercle de rayon $`\rho_M`$ dans le plan $`z_M=const`$, orienté dans le sens des $`\varphi`$ croissants.
* Longueur parcourue : $`l_{\Delta\varphi}`$<br> * Longueur parcourue : $`l_{\Delta\varphi}`$<br>
@ -63,6 +78,12 @@ $`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : vecteur unitaire tangent en $`
##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$ ##### Vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ et $`\overrightarrow{e_z}`$
---------
![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif)
--------
* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br> * **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**<br>
**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br> **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$** <br>
(avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br> (avec $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ et $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)<br>
@ -83,6 +104,12 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée #### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est orthonormée
----
![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg)
---
* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*. * $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ est la *base associée à un point $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*.
* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe**, et *inverse dans le cas contraire*. * **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** est orthonormée **directe**, et *inverse dans le cas contraire*.
@ -95,6 +122,12 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ? #### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ?
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![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif)
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* **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$** * **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$**
#### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ? #### Que sont l'élément de longueur $`dl`$ et vecteur déplacement élémentaire $`\overrightarrow{dl}`$ ?
@ -123,8 +156,25 @@ $`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad
* Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br> * Permet de calculer la longueur $`\mathscr{l}`$ d'une trajectoire $`L`$, lorsque les coordonnées $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ et $`z(t)`$ varient en fonction du temps de façon indépendantes les une des autres :<br>
**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$** **$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$**
#### Qu'est-ce la surface élémentaires associée à chaque coordonnée ?
#### Qu'est-ce que la surface élémentaire associée à chaque coordonnée ?
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![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)<br>
<br>
![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)<br>
<br>
![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)<br>
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#### Qu'est-ce que le volume élémentaire ?
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![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)<br>
#### Fin
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