diff --git a/12.temporary_ins/08.grad-div-rot/30.rot/10.main/textbook.fr.md b/12.temporary_ins/08.grad-div-rot/30.rot/10.main/textbook.fr.md new file mode 100644 index 000000000..3255c7f9d --- /dev/null +++ b/12.temporary_ins/08.grad-div-rot/30.rot/10.main/textbook.fr.md @@ -0,0 +1,275 @@ +--- +title : The curl vector +published : false +routable: false +visible : false +--- + +## EN CONSTRUCTION ! + +---------------------- + +## Le rotationnel + +### Opérateur, vecteur, champ rotationnel + +### Intérêt du vecteur rotationnel + +La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage +de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point +dans un plan donné. + +Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis +parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif +qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction +commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels +les lignes de champ s'enroulent. + +Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour +de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe. +Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de +l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante, +celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du +troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan +donné passant par M. + +L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ +vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au voisinage d'un point M est importante, et sera +donné par le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$, $`\overrightarrow{X_M}`$ +étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$. + +L'ensemble des vecteurs $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}`$ étendu +à tous les points M de l'espace définit le champ rotationnel +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ . + +### Définition du vecteur rotationnel + +Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. +A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de +laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue. +Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ en un point M +et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . + +Je considère, dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$ au point P, +un contour fermé C entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation +sur ce contour C le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : +si mon pouce tendu indique la direction du vecteur $`\overrightarrow{n}`$, alors +l'orientation de les quatre autres doigts indique le sens positif de rotation. +La circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C s'écrit + +$`\displaystyle\oint_{C} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}`$ + +Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S + +$`\displaystyle S = \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ + +Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la +longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent +toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque C tend vers zéro du rapport +"circulation de $`\overrightarrow{X}`$ le long du contour C" par "l'aire S de la +surface plane délimitée par C" donne la composante dans la direction $`\overrightarrow{n}`$ +d'un vecteur appelé rotationnel du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ au point M. +L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup plus simple : + +$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n} +=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot +\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (1) + +! *POINT DE DETAIL* :
+! Dire qu'un contour C tend vers zéro signifie que le rayon du cercle dans lequel +! s'inscrit du contour C tend vers zéro, la forme du contour restant inchangée. + +Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ +au voisinage de M est bien le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{n}`$, alors +le vecteur $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} indique bien la direction +et le sens de l'axe de rotation au point M. + +En posant + +$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{C \to 0} \: \oint_C \overrightarrow{X} +\cdot \overrightarrow{dl}\hspace{0.5 cm}`$, et $`\displaystyle \hspace{0.5 cm}dS_M = +\lim_{C \to 0} \: \iint_{S \leftrightarrow C} dS`$ + +l'équation (1) se réécrit + +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{n}= + \dfrac{d\mathcal{C}_M}{dS_M}`$ + +La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ +sur un contour élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur +unitaire $`\overrightarrow{n}`$ s'écrit + +$`d\mathcal{C}_M = (\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{n} +) \ dS_M `$ + +soit encore + +$`d\mathcal{C}_M = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M}\cdot \overrightarrow{dS_M} +\hspace{1 cm}`$ (2) + +où $`\overrightarrow{dS_M}`$ est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire +à la surface élémentaire $`dS_M`$ au point M et de norme égale à l'aire de la surface +élémentaire $`dS_M`$. + +Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre +de préciser le point, et écrire plus simplement + +$`\displaystyle \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{n} +=\lim_{C \to 0} \: \dfrac{\oint_C \overrightarrow{X} \cdot +\overrightarrow{dl}}{\iint_{S \leftrightarrow C} dS}\hspace{1 cm}`$ (3) + +$`d\mathcal{C} = \overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}\cdot \overrightarrow{dS} +\hspace{1 cm}`$ (4) + +### Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes + +Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux $`Ox`$, $`Oy`$ et $`Oz`$ se coupant +en un point origine $`O`$, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre +direct. Tout point quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées +cartésiennes $`(x_M, y_M, z_M)`$ et en M les trois vecteurs unitaires +$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$ associés aux +coordonnées définissent une base orthonormée directe. + +Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ de +composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ s'écrit + +$`\overrightarrow{X_M} = X_M \cdot \overrightarrow{e_x} + Y_M \cdot \overrightarrow{e_y}+ +X_M \cdot \overrightarrow{e_z}`$ + +Je vais tester la circulation du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$ dans les +trois directions indiquées par les vecteurs unitaires +$`(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$. Pour l'étude +de la composante de $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X}`$ selon z (composante +d'expression mathématique $`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{e_z}`$ ), +je choisis dans le plan perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ et passant +par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle +ABCD de côtés parallèles aux vecteurs $`\overrightarrow{e_x}`$ et $`\overrightarrow{e_y}`$, +de centre M et de côtés $`dl_x=dx`$ et $`dl_y=dy`$. J'oriente ce rectangle infinitésimal +ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu en direction et sens du vecteur +$`\overrightarrow{n}`$. Ainsi, si le vecteur $`\overrightarrow{e_z}`$ pointe vers +mon oeil, alors le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique +direct (sens inverse des aiguilles d'une montre). + +Je connais l'expression analytique du champ vectoriel $`\overrightarrow{X}`$, c'est +à dire les expressions analytique des composantes. + +Je connais les composantes cartésiennes $`(X_M, Y_M, Z_M)`$ du vecteur $`\overrightarrow{X_M}`$ +au point M. Pour établir le champ rotationnel, je dois obtenir une expression analytique +de ce champ en tout point de l'espace. La circulation de sur ABDC est la somme des circulations +de $`\overrightarrow{X}`$ sur chacune des quatre branches AB, BC, CD et DA. + +Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent $`x_M-\dfrac{dx}{2}`$ +comme coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement +élémentaire $`\overrightarrow{dl_{AB}}`$ de A vers b s'écrit + +$`\overrightarrow{dl_{AB}}=-dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ + +Au premier ordre, le vecteur $`\overrightarrow{X_P}`$ au point P est le vecteur moyen +du champ sur la branche AB, et son expression en fonction des composantes de $`\overrightarrow{X_M}`$ +et du déplacement élémentaire pour passer de M en P est + +$`\displaystyle \overrightarrow{X_P}=\left[X_M + +\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ +$`+\left[Y_M + \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ +$`+\left[Z_M + \left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ + +Le calcul de la circulation élémentaire de $`\overrightarrow{X}`$ sur la branche +AB me donne + +$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= +\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (-dy)`$ + +La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne + +$`\overrightarrow{dl_{AB}}=+dy \cdot \overrightarrow{e_y}`$ + +$`\displaystyle \overrightarrow{X_R}=\left[X_M + +\left.\dfrac{\partial X}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ +$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ +$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ + +$`\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= +\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dx}{2}\right)\right] \cdot (+dy)`$ + +La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie + +$`\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ +\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}= +dx \cdot dy \cdot \left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M \hspace{1 cm}`$ (5) + +Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne + +$`\overrightarrow{dl_{BC}}=+dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , + +$`\displaystyle \overrightarrow{X_Q}=\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ +$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ +$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ , + +$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}= +\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(-\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot (+dx)`$ , + +$`\overrightarrow{dl_{DA}}=-dx \cdot \overrightarrow{e_x}`$ , + +$`\displaystyle \overrightarrow{X_S}= +\left[X_M+\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_x}`$ +$`+\left[Y_M+\left.\dfrac{\partial Y}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_y}`$ +$`+\left[Z_M+\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M \cdot +\left(+\dfrac{dy}{2}\right)\right] \cdot \overrightarrow{e_z}`$ + +ce qui conduit à + +$`\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_Q}+ +\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_S}= - dx \cdot dy \cdot +\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\hspace{1 cm}`$(6) + +J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre, +l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel sur le rectangle ABCD +perpendiculaire à $`\overrightarrow{e_z}`$ : + +$`\displaystyle d\mathcal{C}_M = \lim_{ABCD \to 0} \: \oint_{ABCD} \overrightarrow{X} +\cdot \overrightarrow{dl}`$ +$`=\overrightarrow{dl_{AB}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ +\overrightarrow{dl_{BC}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ +\overrightarrow{dl_{CD}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}+ +\overrightarrow{dl_{DA}} \cdot \displaystyle \overrightarrow{X_P}`$ +$`= \left(\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M - +\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M\right)\cdot dxdy `$ + + +La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement $`dxdy`$, +je peux maintenant calculer la composante selon du vecteur rotationnel du champ +vectoriel au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens + + + +$`\displaystyle \overrightarrow{rot} \; \overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_z} = +\lim_{C \to 0} \; \dfrac{\oint_{ABCD} \overrightarrow{X} \cdot \overrightarrow{dl}}{\iint_{ABCD} dS}`$ +$`=\left.\dfrac{\partial Y}{\partial x}\right|_M -\left.\dfrac{\partial X}{\partial y}\right|_M`$ + + +Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles +élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs et , et j'obtiendrai + +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_x}= +\left.\dfrac{\partial Z}{\partial y}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Y}{\partial z}\right|_M`$ + +$`\overrightarrow{rot}\;\overrightarrow{X_M} \cdot \overrightarrow{e_y}= +\left.\dfrac{\partial X}{\partial z}\right|_M -\left.\dfrac{\partial Z}{\partial x}\right|_M`$ + + +