Update textbook.fr.md

00.brainstorming-pedagogical-teams/40.collection-existing-pedagogical-content/04.reference-frames-coordinate-systems/coordinates-systems/main/textbook.fr.md

@@ -5,7 +5,7 @@ routable: true
 visible: false
 ---
 
-### sistema de coordenadas / Systèmes de coordonnées / Coordinates systems
+### Sistema de coordenadas / Systèmes de coordonnées / Coordinates systems
 
 (cartesian, cylindrical, spherical, Euler angles)
 
@@ -57,7 +57,7 @@ YYY your 3 initials and LL your language (ES, FR or EN)*
 -->
 
 
-### Coordonnées cartésiennes / coordenadas Cartesianas / Cartesian coordinates
+### 1 - Coordonnées cartésiennes / coordenadas Cartesianas / Cartesian coordinates
 
 #### Définitions / definiciónes 
 
@@ -181,9 +181,9 @@ $`M(x,y,z)`$, **$`\mathbf{M(x,y,z)}`$**
 **$`\mathbf{x\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{y\in\mathbb{R}}`$  ,  $`\mathbf{z\in\mathbb{R}}`$**
 
 
-#### Base vectorielle et repère de l'espace associés
+--------------------------------------------------------------------------------
 
-##### Longueur du parcours associée à une variation de coordonnée
+#### Elementos escalar y  vectorial de línea / Element scalaire et vectoriel d'arc / Scalar y vector line elements
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -237,7 +237,7 @@ $`dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}`$ , **$`\mathbf{dl=\sqrt{dx^2+dy^2+dz^2}}`$**
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-##### Vecteur unitaire associé à chaque coordonnée
+#### Vectores de base / Vecteurs de base / Basis vectors
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -264,10 +264,6 @@ $`\quad\overrightarrow{e_z}=\dfrac{\partial\overrightarrow{OM}_z}{||\partial\ove
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-#### Base et repère cartésiens
-
---------------------------------------------------------------------------------
-
 * *COOSYS-180*
 
 Les vecteurs déplacement élémentaire $`d\overrightarrow{OM}_x , d\overrightarrow{OM}_y , d\overrightarrow{OM}_z`$ associés aux trois coordonnées $`x , y, z`$ et définis en un même point $`M`$ de l'espace sont orthogonaux deux à deux <'--, et forment un trièdre direct-->. Il en est donc ainsi de même pour les vecteurs unitaires $`\overrightarrow{e_x}`$, $`\overrightarrow{e_y}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$.
@@ -478,9 +474,9 @@ $`\overrightarrow{OM}=x\;\overrightarrow{e_x}+y\;\overrightarrow{e_y}+z\;\overri
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-### Les Coordonnées cylindriques
+### 2 - Coordenadas cilíndricas /  Coordonnées cylindriques / Cylindrical coordinates 
 
-#### Définition des coordonnées et domaines de définition
+#### Definiciones / Définitions
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -608,9 +604,7 @@ $`M(\rho, \varphi, z)`$ , **$`\mathbf{M(\rho, \varphi, z)}`$** -->
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-#### Base vectorielle cylindrique et repère de l'espace associés
-
-##### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
+#### elementos escalar y  vectorial de línea / Element scalaire et vectoriel d'arc / Scalar y vector line elements
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -669,7 +663,7 @@ $`\quad\Longrightarrow\quad dl_{\phi}=\rho\,d\varphi`$ , , **$`\mathbf{dl_{\varp
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-##### Base vectorielle cylindrique et repère de l'espace associés
+#### Vectores de base / Vecteurs de base / Basis vectors
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -1165,9 +1159,9 @@ $`\Longrightarrow d\overrightarrow{A_{\rho\varphi}}=-\,d\rho\;\rho\,d{\varphi}\,
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-### Les coordonnées sphériques
+### 3 - Coordenadas esféricas / Coordonnées sphériques / Spherical coordinates
 
-#### Définition des coordonnées et domaines de définition
+#### Definiciones / Définitions
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
@@ -1195,7 +1189,9 @@ $`M(r, \theta, \varphi)`$ , **$`\mathbf{M=M(\rho, \theta, \varphi)}`$**
 
 --------------------------------------------------------------------------------
 
-#### Variation d'une coordonnée et longueur du parcours associée
+#### elementos escalar y  vectorial de línea / Element scalaire et vectoriel d'arc / Scalar y vector line elements
+
+--------------------------------------------------------------------------------
 
 * *C0OSYS-560*