From be5243d458de71b0d455beb3fb5a6ceed3bcdc79 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Claude Meny <claude.meny@irap.omp.eu>
Date: Tue, 25 May 2021 20:07:21 +0200
Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md

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@@ -23,6 +23,13 @@ lessons:
 
 ---------------------------------------------
 
+<!--Idée de valeur ajoutée pour ce niveau 4 :
+- niveau 3 : calcul vectoriel dans un espace euclidien de dimension 2 ou 3,
+en utilisant des bases cartésiennes, cylindriques et sphérique.
+- niveau 4 : calcul vectoriel dans un espace pseudo-riemannien, en utilisant les bases naturelles
+de systèmes de coordonnées quelconques.
+-------------------------------------------->
+
 
 ### Géométries non euclidienne
 
@@ -116,11 +123,19 @@ d'une variété de dimension $`n`$. Plusieurs systèmes peuvent être imaginés.
 Il est toujours possible de changer de système de coordonnées pour repérer les points d'une variété.
 
 Considérons deux systèmes de coordonnées $`x^i`$ et $`x'^i`$ d'une variété de dimension $`n`$. 
-Connaissant les coordonnées $`x^i`$ de tout point $`M`$, trouver les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ du point $`M`$ necessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x'_i=f_i(x_i)`$.
-
-Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(x^i)=0`$, déterminer l'équation correspondante qui sera vérifiée par les nouvelles coordonnées $`x^i`$ nécessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x_i=f'_i(x'_i)`$.
+Connaissant les coordonnées $`x^i`$ de tout point $`M`$, trouver les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ 
+du point $`M`$ necessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x'_i=f_i(x_i)`$.
 
+$`\begin{matrix}
+x'_1=f_1(x_1, x_2, ... , x_n) \\
+x'_2=f_2(x_1, x_2, ... , x_n) \\
+...
+x'_n=f_n(x_1, x_2, ... , x_n) 
+\end`$
 
+Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(x^i)=0`$, déterminer 
+l'équation correspondante qui sera vérifiée par les nouvelles coordonnées $`x^i`$ nécessite de connaître 
+les $`n`$ fonctions $`x_i=f'_i(x'_i)`$.
 
 
 
@@ -128,9 +143,10 @@ Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(
 
 
 
+#### Invariant et métrique d'une variété
 
+*GEOM-NO-EUC-4.200* : variété
 
-#### Invariant et métrique d'une variété