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@@ -198,7 +198,7 @@ unité d'invariant.
 La sphère est plongée dans l'espace tridimensionnel euclidien classique.   
 Dans tout système de coordonnées cartésiennes $`\mathscr{S}_O=(O, x, y, z)`$ où l'origine $`O`$
 des coordonnées est située au centre de la sphère de rayon $`R`$, les coordonnées
-$`(x_M, y_M, z_M`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :
+$`(x_M, y_M, z_M)`$ de tout point $`M`$ situé à la surface de la sphère vérifient :
 
 $`x_M^2+y_M^2+z_M^2=R^2`$,
 
@@ -221,16 +221,41 @@ Nous pouvons alors faire 3 remarques :
 
 Dans ce système $`\mathscr{S}_M=(M, x, y, z)`$, les coordonnées de tout point $`P`$ de la sphère vérifient :   
 
-$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$   
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2\quad`$(équ.1)
  
 En notation indicielle :  
-$`(x^1_P)^2+(x^2_P)^2+(x^3_P-R)^2=R^2`$.
+$`(x^1_P)^2+(x^2_P)^2+(x^3_P-R)^2=R^2`$   
+
+Considérons deux points $`P_1`$ et $`P_2`$ infiniment proches de coordonnées $`(x_P, y_P, z_P)`$ et
+$`(x_P+dx, y_P+dy, z_P+dz)`$ dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, mais situés 
+tous deux à la surface de la sphère.   
+Dans l'espace euclidien tridimensionnel classique, l'invariant $`ds_{3D}`$ entre ces deux points est
+la distance euclidienne qui vérifie :
+
+$`ds_{3D}^2=dl_{P_1P_2}^2=dx^2+dy^2+dz^2`$
+
+Les deux points appartiennent à la surface de la sphère, ils appartiennent à la variété 2D perçue par la fourmie mais
+celle-ci n'a pas perception d'une troisième dimension liée à l'axe $`Mz`$. L'invariant $`ds_{2D}`$ entre ces deux points perçus
+par la fourmie ne peut s'exprimer qu'avec les coordonnées $`x`$ et $`y`$. L'équation (équ.1) permet
+
+<!---
+
+* d'obtenir $`z_P`$ en fonction de $`x_P`$ et de $`y_P`$   
+  $`z_P=
+
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$ permet d'obtenir l'expression de $`dz`$ en fonction de $`x`$ et $`y`$ :    
+
+$`x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2=R^2`$
+
+$`d(x_P^2+y_P^2+(z_P-R)^2)=d(R^2)`$
+
+$`2\,x_P\,dx+2\,y_P\,dy+2\,z_P\,dz)=0`$
+
+$`dz=
+
+--->
 
 
-Pour un être confiné dans les deux dimensions de la surface de la sphère (appellons-le "fourmie"), la dimension
-portée par l'axe $`Mz`$ n'existe pas. Il ne peut décrire sa variété 2D qu'avec le système de coordonnées
-$`\mathscr{S}_M=(M\,,x\,,y)`$ qu'il s'est construit (ou un système équivalent). Pour lui, l'équation vérifiée
-par les coordonnées de tout point $`P`$ est :