From cd9a2799973306a734e8d1e9231fa680f244ce39 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 18 Jan 2021 16:56:24 +0100 Subject: [PATCH] Update cheatsheet.es.md --- .../20.overview/cheatsheet.es.md | 176 +++--------------- 1 file changed, 26 insertions(+), 150 deletions(-) diff --git a/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/20.overview/cheatsheet.es.md b/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/20.overview/cheatsheet.es.md index 8d58e7481..40cd1da4a 100644 --- a/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/20.overview/cheatsheet.es.md +++ b/12.temporary_ins/05.coordinates-systems/20.cartesian-coordinates/20.overview/cheatsheet.es.md @@ -28,170 +28,46 @@ $`\def\PSclosed{\mathscr{S}_{\displaystyle\tiny\bigcirc}}`$ -#### Que son +#### Que sont les coordonnées cartésiennes ? -* 3 coordonadas +* 3 coordonnées *spatiales* : **$`\mathbf{x\;,\;y\;,\;z}`$** -* ... +* définies à partir d'un **système de référence** :
+\- **1 point $`O`$** de l'espace, *origine* des coordonnées.
+\- **3 axes** *orthogonaux 2 à 2*.
+\- **1 unité de longueur** identique pour les axes. -* **$`\mathbf{\rho}`$** y **$`\mathbf{z}`$** son ... - -* **$`\mathbf{\varphi}`$** es un *angulo* expr... *($`\mathbf{rad}`$)*. - ----- - -![](cylindrical_coordinates_definition_L1200.gif) - ------ - -#### Que son ... ? - ------ - -![](cylindrical_coordinates_variation_range_L1200_v2.gif) - ------ - -#### Commo ...s ? - -* Métoda : ... $`\overrightarrow{OM}`$ ... $`Oz`$, ... $`xOy`$ ... $`M_{xOy}`$ -* ... $`Ox`$ et $`Oy`$, *...* ... *sine* y *cosine*. - ----- - -![](cylindrical_coordinates_projection.png) - ------- - -* $`\Longrightarrow`$ -**$`\quad\mathbf{}\left\{\begin{array}{l} \mathbf{ x=\rho\cdot\cos\varphi} \\\mathbf{ y=\rho\cdot\sin\varphi} \\\mathbf{ z=z} \\ \end{array}\right. `$** - -#### Como ... ? - -* ... $`\overrightarrow{e_{\alpha}}`$ ... **...** ... $`M`$ ... *s... $`\alpha`$* ... $`M`$ *... $`d\alpha^+`$*. - -##### Vector ... $`\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ - ---------- - -![](cylindrical_coordinates_unit_vector_phi_definition_L1200_v3.gif) - --------- - -* D... **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M"(\rho,\varphi+\Delta\varphi^+,z)}`$**
- (con $`\Delta\varphi^+=\Delta\varphi>0`$)
-
**$`\Longrightarrow`$ ...** ... **$`\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
-$`\Longrightarrow\overrightarrow{e_{\varphi}}`$ : ... $`M`$ ... $`\rho_M`$ ... $`z_M=const`$, ... $`\varphi`$ .... - -* ... : $`l_{\Delta\varphi}`$
- ... : $`\overrightarrow{MM''}`$ - -* ... *... : $`\mathbf{l_{\Delta\varphi} \ne\, ||\overrightarrow{MM''}||}`$*. -* ... **infinitésimal : $`\mathbf{dl_{\varphi}=\,||\overrightarrow{MM''}||}`$**. +* **$`\mathbf{x, y, z}`$** sont des *longueurs*, de coordonnées SI : le mètre *($`\mathbf{m}`$)*. +

+![](cartesian_coordinates_definition_L1200.gif) -* ... ($`d\varphi=d\varphi^+>0`$ o $`d\varphi^-<0`$) :
-
**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\varphi}}}`$** *$`\displaystyle=\lim_{\Delta\varphi\rightarrow 0} \overrightarrow{MM''}`$* **$`\mathbf{=\rho_M\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}}`$**
+#### Quels sont les domaines de variation des coordonnées ? +![](cartesian_coordinates_variation_range_L1200_v1.gif) -##### Vectores unitarios $`\overrightarrow{e_{\rho}}`$ y $`\overrightarrow{e_z}`$ +#### Quelle est la propriété spécifique des coordonnées cartésiennes ? ---------- +* **Pour tout point $`M`$** de l'espace $`\mathscr{E}`$ de *coordonnées cartésiennes $`(x, y, z)`$*, la distance $`OM`$ +s'exprime simplement en fonction des coordonnées :

+**$`\mathbf{OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}}`$**. -![](cylindrical_coordinates_e-z_e-rho_unit_vector_L1200.gif) +* Cette propriété est **propre aux coordonnées cartésiennes** :
+
+Soit $`(O,\alpha,\beta,\gamma)`$ un système de coordonnées, +
+$`\mathbf{\forall M(\alpha;\beta,\gamma)\in\mathscr{E}\quad| \quad OM=\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2})}`$ +$`\mathbf{\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha;\beta,\gamma)}`$ sont des coordonnées cartésiennes. --------- +















-* **$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'(\rho+\Delta\rho^+,\varphi,z)}`$**
-**$`\mathbf{M(\rho,\varphi,z) \longrightarrow M'''(\rho,\varphi,z+\Delta z^+)}`$**
-(con $`\Delta\rho^+=\Delta\rho>0`$ y $`\Delta z^+=\Delta z>0`$)
-
**$`\Longrightarrow`$ ...** de
-**$`\quad\overrightarrow{e_{\rho}}`$** : ... $`Om_{xOy}`$.
-**$`\quad\overrightarrow{e_z}`$** : ... $`Oz`$. -* ... $`M`$ : ...
-$`\Longrightarrow`$ ... = ....
-$`\Longrightarrow`$ $`l_{\Delta\rho}=||\overrightarrow{MM'}||\quad`$ et $`\quad l_{\Delta z}=||\overrightarrow{MM'''}||`$ - - -* ... ($`d\rho\;, dz >0\;\text{ou}<0`$) :
-**$`\mathbf{\overrightarrow{dl_{\rho}}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta\rho\rightarrow 0} \overrightarrow{MM'}`$ **$`\mathbf{ = d\rho \cdot \overrightarrow{e_{\rho}}}`$**.
- **$`\mathbf{\overrightarrow{dl_z}}`$** $`\displaystyle=\lim_{\Delta z \rightarrow 0} \overrightarrow{MM'''}`$ - **$`\mathbf{=dz \cdot \overrightarrow{e_z}}`$**. - -#### La base $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ esta ortonormada. - ----- - -![](cylindrical_coordinates_orthogonal_base_L1200.jpg) - ---- - -* $`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$ ... *... $`M(\rho_M,\varphi_M,z_M)`$*. - -* **$`(\overrightarrow{e_{\rho}}, \overrightarrow{e_{\varphi}}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **directa si $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$** ... **direc...**, y *...*. - -* **$`\left\{ \begin{array}{l}\mathbf{\overrightarrow{e_{\rho}}=\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \\\mathbf{\overrightarrow{e_{\varphi}}=-\sin\varphi\cdot\overrightarrow{e_x}+\cos\varphi\cdot\overrightarrow{e_y}} \end{array}\right.`$** - -* ... $`(O,\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z},t)`$, .. *... $`(\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y}, \overrightarrow{e_z})`$* :
-\- ... **...**.
-\- **...** *cuando $`\varphi_M`$ ...*. - -#### Como ... $`\overrightarrow{OM}`$ ? - ----- - -![](cylindrical_coordinates_vector_OM_L1200.gif) - ---- - -* **$`\mathbf{\overrightarrow{OM}=\rho_M\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+z_M\cdot\overrightarrow{e_z}}`$** - -#### Que son ... $`dl`$ y ... $`\overrightarrow{dl}`$ ? - -* Un punto **$`M(\rho,\varphi,z)`$** ... **...** ... $`M'(\rho+d\rho,\varphi+d\varphi,z+dz)`$, con *$`d\rho`$, $`d\varphi`$ y $`dz`$ ..., ...*, ... $`\rho\;,\;\varphi\;,\;z`$. - -##### Vector ... $`\overrightarrow{dl}`$ - -* vector ... = *...c* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-02) - -* El **vector ...** ... -**$`\overrightarrow{dl}`$** $`\;=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+dl_{\varphi}\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$ -**$`\quad=dl_{\rho}\cdot\overrightarrow{e_{\rho}}+\rho\,d\varphi\cdot\overrightarrow{e_{\varphi}}+dl_z\cdot\overrightarrow{e_z}`$** - -* permite de calcular los vectores ... $`\overrightarrow{v}(t)`$ y ... $`\overrightarrow{a}(t)`$ de un punto M a cada instante t :
-**$`\overrightarrow{v}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dOM}}{dt}`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}`$**
-**$`\overrightarrow{a}(t)`$**$`\;=\dfrac{\overrightarrow{d^2 OM}}{dt^2}`$**$`\;=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\overrightarrow{dl}}{dt}\right)`$** - -##### Elemento de longitud $`dl`$ - -* elemento de longitud = *...* [Norme IEC](http://www.electropedia.org/iev/iev.nsf/display?openform&ievref=102-05-01) - -* El **elemento de longitud $`dl`$** ... *...* ... $`M`$ y $`M'`$ :
-**$`dl`$**$`\;=\sqrt{dl_{\rho}^2+dl_{\varphi}^2+dl_z^2}`$**$`\;=\sqrt{d\rho^2+\rho^2\,d\varphi^2+dz^2}`$** - -* Permite de calcular la longitud $`\mathscr{l}`$ de una trayectoria $`L`$ ... $`\rho(t)`$, $`\varphi(t)`$ y $`z(t)`$ ...s :
-**$`\displaystyle\mathbf{\mathscr{l}=\int_L dl}`$** - -#### Que es la superficia... ? - ---- - -![](cylindrical_coordinates_surface_4_L1200.jpg)
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-![](cylindrical_coordinates_surface_2_L1200.jpg)
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-![](cylindrical_coordinates_surface_3_L1200.jpg)
- ---- - -#### Que es ... ? - ---- -![](cylindrical_coordinates_volume_L1200.jpg)
+#### Comment définir le vecteur unitaire associé à chaque coordonnée ? +#### Comment s'exprime le vecteur position $`\overrightarrow{OM}`$ ? - +![](cartesian_coordinates_position_vector_OM_L1200.gif) +##### Quelle différence entre coordonnées d'un point $`M`$, et composantes du vecteur $`\overrightarrow{OM}`$ ?