diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md deleted file mode 100644 index fb131c37b..000000000 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/02.electromagnetic-waves-in-media/main/textbook.fr.md +++ /dev/null @@ -1,818 +0,0 @@ ---- -title : Ondes électromagnétiques dans la matière -published : true -visible : false ---- -(en construction) - - -### Propagation dans les milieux L.H.I. - - -#### Principe général de la propagation d'un signal électromagnétique dans un matériau - -##### Equations de propagation dans un milieu - -L'équation de propagation des champs électrique et magnétique d'une onde se propageant -dans un milieu fait intervenir la densité de charge $`\rho`$ et la densité de courant -de charge $`\vec{j}`$ du milieu. Pour le champ électrique, les variations temporelles -et spatiales de $`\vec{E}`$ sont ainsi liées à $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ de la façon -suivante : - -$`\Delta\vec{E}\left(M,t\right)-\dfrac{1}{c^{2}}\dfrac{\partial^{2}\vec{E}\left(M,t\right)}{\partial t^{2}}`$ -$`=\dfrac{1}{\varepsilon_{0}}\;grad\left(\rho\left(M,t\right)\right)+\mu_{0}\dfrac{\partial\vec{j}\left(M,t\right)}{\partial t}`$ - -r, le passage de l'onde dans le milieu va nécessairement perturber l'équilibre électrostatique -des charges présentes dans celui-ci et contribuer ainsi localement à leur mouvement -et/ou à leur accumulation. Afin de résoudre les équations de propagation, il est donc -nécessaire de connaître les relations de dépendance de $`\rho`$ et $`\vec{j}`$ à $`\vec{E}`$ -et $`\vec{B}`$. Dans ces conditions seulement, il sera possible d'obtenir la forme exacte -de l'onde électromagnétique qui se propage dans le milieu en question. - -##### Notion d'échelle mésoscopique - -La dépendance du mouvement des charges à l'onde é.m. qui se propage ne peut pas être -déterminée expérimentalement à l'échelle microscopique. A cette échelle en effet, -on passe sur de très courtes distances d'une situation où le point considéré est -proche d'un noyau (de charge positive) à celle où il est plutôt proche d'un électron -(de charge négative). Cela signifie que les champs électriques et magnétiques locaux -$`\vec{E}_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{B}_{\textrm{local}}`$ fluctuent de façon très -abrupte lorsque l'on considère le problème à l'échelle atomique. Il n'est donc pas -possible d'en évaluer l'orientation et l'amplitude, ni même de déterminer -$`\rho_{\textrm{local}}`$ et $`\vec{j}_{\textrm{local}}`$. Pour décrire le système, -il faut donc travailler à une échelle intermédiaire entre l'échelle microscopique -et l'échelle macroscopique : on la définira comme l'échelle mésoscopique. Les grandeurs -étudiées seront alors des moyennes spatiales des grandeurs locales réalisées sur des -volumes mésoscopiques. La dimension caractéristique de ces volumes est de l'ordre de -3 à 10 nm. A cette échelle, on s'affranchit des fluctuations rapides de densité de -charge (et donc de champ électrique) liées à la structure de l'atome dont la dimension -caractéristique est inférieure à l'Angström ($`10^{-10}\,m)`$. -Ainsi : - -$`\vec{E}=\langle \vec{E}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ et -$`\vec{B}=\langle \vec{B}_{\textrm{local}}\rangle_{3 - 10~\textrm{nm}}`$ - - -![](Mesoscopique.PNG) - -Suite au choix de cette échelle, on doit nécessairement se limiter aux ondes é.m. -dont les champs ne varient que très peu sur des distances de 3 à 10 nm, i.e. $`\lambda\gg 3`$ -nm, soit $`\lambda\geq`$ 300 nm. En considérant une vitesse de phase égale à $`c`$, -cela signifie qu'on doit se limiter à des fréquences $`\nu \leq 10^{15}`$ Hz. Cette -condition sera vérifiée dans la suite du cours et nous permettra de définir des relations -"macroscopiques" entre $`\rho`$, $`\vec{j}`$, $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. - -##### Décomposition d'un signal électromagnétique périodique en une somme d'OPPM (série de Fourier) - -Tant que l'on reste dans un régime linéaire pour le comportement du milieu vis à -vis des champs électrique et magnétique des ondes qui s'y propagent, on peut considérer -que si plusieurs ondes vérifient les équations de propagation, alors tout signal représenté -comme la combinaison linéaire de ces ondes vérifie lui aussi les équations de propagation. -Or, tout signal périodique peut être décomposer en une somme de fonctions sinusoïdales -selon l'équation suivante (en notation complexe avec $`T`$ la période): - -$`f(u)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_{n}(f)\cdot e^{2i\pi\frac{n}{T}u}`$ - -De ce fait, on pourra se limiter dans la suite du cours à l'étude des signaux é.m. -les plus simples, c'est-à-dire les OPPMs. - -##### Notion de vitesse de groupe - -Lorsque l'on étudie la propagation d'un paquet d'ondes (ensemble d'OPPMs caractérisant -un signal réel par exemple) dans un milieu, chacune d'entre elles est caractérisée par -sa pulsation $`\omega`$, donc par son nombre d'onde $`k`$ et par une certaine vitesse -de phase $`v_\varphi`$ qui en découle. Pour des pulsations différentes, la vitesse -de phase peut varier. De ce fait, les ondes du paquet ne se déplacent pas toutes à -la même allure et le paquet se disperse dans le temps en fonction de la distance -parcourue dans le milieu. On peut définir une vitesse de propagation du paquet d'onde, -appelée vitesse de groupe $`v_g`$, qui tient compte de cette dispersion et qui se -détermine de la façon suivante : - - -$`v_g = \dfrac{\omega}{k}.`$ - -La vitesse de groupe est une des grandeurs caractéristiques de la propagation des -ondes dans un milieu comme nous allons le voir par la suite. - -#### Propriétés des milieux - -Afin de résoudre l'équation de propagation des champs, il est nécessaire d'introduire -d'abord quelques notions sur le comportement des milieux soumis à des champs électrique -et magnétique. Nous allons nous intéresser à l'interaction de trois principaux types -de milieu avec $`\vec{E}`$ et $`\vec{B}`$. - - -##### Milieux conducteurs : conductivité - -Les milieux conducteurs sont définis comme les milieux contenant des charges électriques -libres de se déplacer. Ils comprennent donc les métaux qui sont de bons conducteurs, -les solutions ioniques et les plasmas (gaz ionisés). Les conducteurs sont caractérisés -par une densité de charges libres $`\rho_{\textrm{libre}}`$ (en $`C.m^{-3}`$), et par -une conductivité $`\sigma`$ (en $`\Omega.m^{-1}`$). - -Lorsque ces charges libres sont soumises à un champ électrique, elles se mettent -en mouvement et génèrent une densité volumique de courant de charges libre $`\overrightarrow{j}_{lib}`$ -caractérisée par la loi d'Ohm locale : - -$`\vec{j}_{\textrm{lib}}=\sigma \vec{E}`$ - -Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. -La réponse à un champ électrique tend à annuler la cause : la séparation des charges -positives et négatives dans des directions opposées vis à vis du champ électrique -appliqué génère un champ électrique induit opposé et dont l'amplitude augmente jusqu'à -annuler totalement le champ initial. Le conducteur revient alors à l'équilibre électrostatique. -Ce retour à l'équilibre est relativement rapide dans le cas des très bons conducteurs -et on peut considérer alors qu'une onde é.m. ne peut pas y pénétrer car le champ -électrique moyen y est maintenu nul constamment (voir le modèle du métal parfait -en fin de chapitre). - - -#### Milieux diélectriques : polarisation - -Les milieux diélectriques (ou isolants) sont caractérisés par la présence de charges -dites de polarisation ou liées (par opposition aux charges libres). Sous l'influence -d'un champ électrique, ces charges peuvent se déplacer sur des distances limitées -(électron en interaction forte avec un noyau par exemple). La séparation locale -des charges induit la création de petits moments dipolaires dont la somme $`\Delta\vec{p}`$ -sur un volume mésoscopique $`\Delta\tau`$ est caractérisée par le vecteur polarisation -diélectrique $`\vec{P}`$ telle que : - -$`\vec{P}=\dfrac{\Delta\vec{p}}{\Delta\tau}`$ - - -La norme de $`\vec{P}`$ s'exprime en C.m$^{-2}$. -Si le vecteur polarisation diélectrique n'est pas homogène dans tout le milieu, il -y aura des accumulations locales de charges de polarisation telles que : - -$`\rho_{p}=- div \vec{P}`$ - -Cette relation reste valide si le champ électrique varie avec le temps. Dans ce cas, -$`\rho_p`$ dépend aussi du temps et ses variations temporelles entraînent la création -d'une densité volumique de courant de charges de polarisation $`\vec{j}_{p}`$ définie -par : - - -$`\vec{j}_{p}=\dfrac{\partial\vec{P}(t)}{\partial t}`$ - -Ces définitions de $`\rho_p`$ et de $`\vec{j}_{p}`$ permettent de vérifier l'équation -de conservation des charges de polarisation. - - -! *Remarque} :* -! -! A la surface du milieu, la discontinuité de $`\vec{P}`$ entraîne la création d'une densité surfacique de charges de polarisation $`\sigma_p`$ telle que ($\vec{n}$, vecteur unitaire orthogonal à la surface) : -! -! $`\sigma_p = \vec{P}.\vec{n}`$ -! - - -##### Milieux magnétiques : aimantation - -Les milieux magnétiques sont caractérisés par l'existence de moments dipolaires -magnétiques individuels $`\vec{m}_i`$ localisés sur les atomes, ions ou molécules -qui les composent. Pour un volume $`\Delta\tau`$, le moment magnétique $`\Delta\vec{m}`$ -n'est autre que la somme de ces moments magnétiques individuels contenus dans $`\Delta\tau`$. -La densité volumique des moments magnétiques est représentée par le vecteur aimantation -$`\vec{M}`$ défini par : - -$`\vec{M} = \dfrac{\Delta\vec{m}}{\Delta\tau}`$ - -Le vecteur aimantation, ou plus simplement l'aimantation, a pour unité $`A.m^{-1}`$. -Lorsque l'aimantation d'un milieu n'est pas homogène, il y apparaît une densité -volumique de courant d'aimantation $`\vec{j}_M`$ non nulle telle que : - -$`\vec{j}_M = rot \vec{M}`$ - -A la surface du matériau, cela se traduit par une densité surfacique de courant -d'aimantation $`\vec{j}_{M_{\textrm{ surf}}}`$ telle que : - -$`\vec{j}_{M_{\textrm{surf}}} = \vec{M}\wedge\vec{n}`$ - -où $`\vec{n}`$ est le vecteur unitaire normal à la surface du matériau. -Toutes ces relations restent valides lorsque l'aimantation $`\vec{M}(t)`$ dépend du temps. - -! *Remarque :* -! -! Il n'existe pas en physique de charge magnétique, \emph{i.e.} un point de l'espace -qui pourrait à lui seul générer un champ magnétique (par analogie avec une charge -électrique et le champ électrique qu'elle génère). De ce fait, on ne peut pas définir -de densité volumique de charge magnétique, contrairement à ce que nous venons de voir -dans le cas des charges liées dans les milieux diélectriques. -! - -#### Equations de Maxwell généralisées aux milieux - -##### Equations de Maxwell - -En écrivant les équations de Maxwell dans un milieu différent du vide, il faut maintenant -tenir compte de toutes les contributions à la densité volumique de charge et à la -densité volumique de courant. On obtient alors : - -$`\quad div\;\vec{B} \; = \; 0`$, - -$`\quad rot \; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}`$, - -$`\quad div \; \vec{E} \; = \; \dfrac{\rho_{total}}{\epsilon_0}`$, - -$`\quad rot\; \vec{B} \; = \; \mu_0\;\left( \vec{j}_{total} +\epsilon_0\; \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)`$, - - -avec $`\;\rho_{total}=\rho_{libre}+\rho_{P}\;`$ et $`\;\vec{j}_{total}= \vec{j}_{libre} + \vec{j}_{P} + \vec{j}_{M}.`$ - -D'après le paragraphe précédent et après développement, ces équations deviennent : - -$`\quad div\; \vec{B} \; = \; 0\;`$, - -$`\quad rot\; \vec{E} \; = \; -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}\;`$, - -$`\quad div\; \vec{D} \; = \; \rho_{libre}`$ , - -$`\quad rot\; \vec{H} \; = \; \vec{j}_{libre} +\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}`$ - -avec - -$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon_0 \vec{E}+\vec{P}\quad`$ , l'induction électrique -(en $`C.m^{-2}`$), et - -$`\quad \vec{H} \; = \; \dfrac{\vec{B}}{\mu_0}-\vec{M}\quad`$, l'excitation -magnétique (en $`A.m^{-1}`$). - -Ces 4 équations de Maxwell dites généralisées prennent en compte les propriétés -du milieu traversé par l'onde électromagnétique. - -De plus, dans un milieu, le vecteur de Poynting s'écrit de façon générale (exprimé -en $`W.m^{-2}`$) : - - -\begin{equation} -\vec{\Pi} = \vec{E} \wedge \vec{H} \, \text{,} -\end{equation} -et la densité volumique d'énergie (exprimé en W.m$^{-3}$) : -\begin{equation} -u = \dfrac{1}{2} (\vec{E}.\vec{D} + \vec{B}.\vec{H}) \, \text{.} -\end{equation} - -##### Relations constitutives des milieux - -**Lorsque les milieux sont linéaires** (au sens vectoriel du terme) , ils sont alors -caractérisés par des grandeurs intrinsèques qui permettent de relier simplement -la densité volumique de courant de charge libre $`\vec{j}_{libre}`$, l'induction -électrique $`\vec{D}`$ et l'excitation magnétique $`\vec{H}`$ aux champs électrique -$`\vec{E}`$ et magnétique $`\vec{B}`$ auxquels ils sont soumis. On peut ainsi définir -*trois relations constitutives des milieux* : - -**$`\quad \vec{j}_{libre} \; = \; \sigma \vec{E}\quad`$** , avec *$`\sigma`$* la -*conductivité électrique* du milieu, - -**$`\quad \vec{D} \; = \; \epsilon \vec{E}\quad`$**, avec *$`\epsilon`$* la *permittivité -diélectrique* du milieu, - -**$`\quad \vec{B} \; = \; \mu \vec{H}\quad`$**, avec *$`\mu`$* la *perméabilité -magnétique* du milieu. - - - -Il est possible de définir des **grandeurs relatives par rapport au vide** pour -les deux dernières, à savoir : - -**$`\quad \epsilon_r \; = \; \dfrac{\epsilon}{\epsilon_0}\quad `$** la *permittivité -diélectrique relative* du milieu, - -**$`\quad \mu_r \; = \; \dfrac{\mu}{\mu_0}\quad`$** la *perméabilité magnétique -relative* du milieu - - - -Les relations constitutives pour $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ dérivent des deux relations suivantes : - -**$`\quad\vec{P}=\epsilon_0\, \chi_e\, \vec{E}\quad`$** avec *$`\chi_e`$* la *susceptibilité diélectrique* du milieu, - -**$`\quad\vec{M}=\chi_m\, \vec{H}\quad`$** , avec *$`\chi_m`$* la *susceptibilité magnétique* du milieu. - - - -Ceci permet aussi d'écrire : - -**\begin{equation} -\epsilon_r = 1 + \chi_e \quad \text{ et } \quad -\mu_r = 1 + \chi_m. -\end{equation}** - -##### Milieux linéaires, homogènes et isotropes (M.L.H.I.) - -Dans le cas général d'un milieu linéaire quelconque, les grandeurs $`\sigma`$, -$`\epsilon`$ et $`\mu`$ définies précédemment, sont des tenseurs de rang 2 qui dépendent -du point $`M`$ considéré dans le milieu : - -\[ -\vec{\vec{\sigma}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\epsilon}}(M,t) \,\text{ , } \vec{\vec{\mu}}(M,t). -\] - -Cela signifie que $`\vec{j}_{libre}`$, $`\vec{D}`$ et $`\vec{B}`$ ne sont pas nécessairement -colinéaires à $`\vec{E}`$ et $`\vec{H}`$. - -Par contre, lorsque le milieu est homogène, ces grandeurs sont indépendantes du point -$`M`$ considéré. Si le milieu est isotrope, ce qui signifie si sa réponse à une -perturbation électromagnétique est identique quelle que soit l'orientation de la -perturbation, alors ces tenseurs de rang 2 deviennent des scalaires. De ce fait, -un milieu linéaire, homogène et isotrope sera caractérisé par les trois relations -constitutives où $`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$ seront des scalaires indépendants -du point de l'espace considéré. On note ces milieux des M.L.H.I. - -Nous nous limiterons dans la suite du cours à l'étude de la propagation d'une onde -électromagnétique. dans ces milieux particuliers afin de simplifier la résolution -des équations de propagation des champs. - - -#### OPPM dans un M.L.H.I. - -Nous allons maintenant nous attacher à déterminer les caractéristiques d'une OPPM -se propageant dans un M.L.H.I. en résolvant l'équation de propagation de champs -électrique et magnétique. - -##### Equation de dispersion et constante diélectrique généralisée - -Le calcul de l'équation de propagation du champ $`\vec{E}`$ ou $`\vec{B}`$ à partir -des équations de Maxwell généralisées conduit, lorsque l'on travaille en notation -complexe, à l'équation de dispersion du milieu : - -\begin{equation} -k^2=\underline{\mu} \,\underline{\epsilon}_{g} \,\omega^2 \, \text{ ,} -\end{equation} - -où $`\underline{\epsilon}_{g}`$ est la constante diélectrique généralisée définie par : - -\begin{equation} - \underline{\epsilon}_{g}(\omega) = \underline{\epsilon} + \dfrac{i \underline{\sigma}}{\omega}. -\end{equation} - -! *Remarque :* Dans certains livres de référence la notation de $`\underline{\epsilon}_{g}`$ -est souvent $`\underline{\epsilon}^{\ast}`$. -! - -L'équation de dispersion relie donc le nombre d'onde $`k`$ aux propriétés du milieu -L.H.I. ($`\sigma`$, $`\epsilon`$ et $`\mu`$) et à la pulsation de l'onde $`\omega`$. -Dans le cas général :` - -\begin{eqnarray} -\underline{\sigma}(\omega) & = & \sigma^{'}(\omega) + i\sigma^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ -\underline{\epsilon}(\omega) & = & \epsilon^{'}(\omega) + i\epsilon^{''}(\omega) \, \text{ ,} \\ -\underline{\mu}(\omega) & = & \mu^{'}(\omega) + i\mu^{''}(\omega) \, \text{ .} -\end{eqnarray} - -$`\underline{k}`$ sera par conséquent un nombre complexe dépendant de $`\omega`$. - - -##### Trois types de propagation - -L'analyse de l'équation de dispersion conduit à la distinction de 3 types de propagation -en fonction de $`k^2`$. - -**Si $`k^2`$ réel positif** : - -Dans ce cas, *$`k`$ sera un réel pur* tel que $`k=\pm k^{'}`$, avec $`k^{'}(\omega) \in \Re^+`$ -; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation. En optant ici pour le signe -positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : - -**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k\,'}.\vec{r}-\omega t)}`$** - -On retrouve l'expression d'une **OPPM qui se propage sans atténuation dans le milieu**. - -![](prop_lib_g.png) - -* **Si $`k^2`$ réel négatif** - -Dans ce cas, *$`k`$ sera un imaginaire pur* tel que $`k=\pm i k''`$, avec $`k''(\omega) \in \Re^+`$ -; le signe de $`k`$ sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra -nécessairement conduire à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à -mesure que l'onde s'y enfonce (s'il n'y a aucune source extérieure apportant de -l'énergie à l'onde). En optant ici pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ -s'écrit alors : - -$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{k}.\vec{r}-\omega t)} = \vec{E}_0 \exp{i(i\vec{k}^{''}.\vec{r}-\omega t)}`$ - -soit - -**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})}\exp{(-i\omega t)}`$** - -On obtient une *expression réelle du champ* sous la forme : - -*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\omega t)}\;`$*, - -ce qui correspond à une *onde stationnaire atténuée*, encore appelée **onde évanescente**. - -![](electromagnetic-wave-media-evanescente.jpg) - -* **Si $`k^2`$ complexe** - -Dans ce cas général, *$`\underline{k}`$ sera un complexe* tel que -$`\underline{k}=\pm (k^{'} + i k^{''})`$, -avec $`k^{'}(\omega)`$ et $`k^{''}(\omega) \in \Re^+`$ ; le signe de $`\underline{k}`$ -sera fonction du sens de propagation et, en physique, devra nécessairement conduire -à une atténuation de l'amplitude des champs au fur et à mesure que l'onde s'y enfonce -(s'il n'y a aucune source extérieure apportant de l'énergie à l'onde). En optant ici -pour le signe positif, le champ $`\underline{\vec{E}}`$ s'écrit alors : - -$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{i(\vec{\underline{k}}.\vec{r}-\omega t)}`$ - -soit - -**$`\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 \exp{(-\vec{k}^{''}.\vec{r})} \exp{i(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)}`$** - -On obtient ainsi une *expression réelle du champ* sous la forme : - -*$`\vec{E} = \vec{E}_0 e^{-\vec{k}^{''}.\vec{r}} \cos{(\vec{k}^{'}.\vec{r}-\omega t)} \, \text{,}`$* - -![](electromagnetic-wave-media-attenuation.jpg) - -Lorsque $`\underline{k}`$ est complexe, \emph{i.e.} lorsque **l'amplitude de l'onde -est atténuée**, ce qui caractérise un **milieu dissipatif**. - - -##### Vitesse de phase, vitesse de groupe, indice - -La **vitesse de phase** *d'une OPPM se propageant dans un M.L.H.I.* est définie par : - -**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega}{k\,'(\omega)}.`$** - -Si *$`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$* alors cela caractérise un **milieu -dispersif** . Ceci revient à dire que la fonction $`k\,'(\omega)`$ n'évolue pas -linéairement avec $`\omega`$. - -Dans le cas d'un milieu dispersif, un paquet d'OPPMs de pulsations différentes -centrées autour d'une valeur de référence $`\omega_0`$ s'étalera au fur et à mesure -qu'il progresse dans le milieu, la vitesse de propagation $`v_\varphi`$ de chaque OPPM -étant différente. Si on souhaite caractériser la vitesse de propagation du paquet d'OPPMs, -il faut utiliser la notion de vitesse de groupe au "point" $`\omega_0`$, définie par : - -\begin{equation} -v_g = \dfrac{d \omega}{dk\,'}. -\end{equation} - -Si $`v_\varphi`$ est fonction de $`\omega`$, alors $`v_g`$ l'est aussi nécessairement. - -On peut enfin définir l'**indice complexe du milieu** par : - -**\begin{equation} -\underline{n}(\omega) = n\,' (\omega) + i~n\,''(\omega) = \dfrac{c \underline{k}}{\omega} -\end{equation}** - -La *partie réelle $`n\,'`$* correspond à l'**indice de réfraction** ou indice optique -$`n_{opt}`$, et la *partie imaginaire $`n\,''`$* à l' **indice d'extinction** du milieu. -D'après ce qu'on vient de voir, on peut aussi définir l'indice de réfraction de la -façon suivante : - -**$`\quad n\,' (\omega) = n_{opt}(\omega) = \dfrac{c}{v_{\phi}(\omega)}`$** - -##### Courbe de dispersion - -Pour faciliter l'analyse rapide du comportement d'un milieu vis-à-vis de la propagation -d'une OPPM, on trace la **courbe de dispersion du milieu $`\omega (k\,')`$**. Celle-ci -n'est bien sûr définie que lorsqu'il peut y avoir propagation, c'est-à-dire lorsque -$`k\,'`$ est non nul. Cette courbe *permet de distinguer* très rapidement les -**bandes passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles $`k^2`$ est réel positif -ou complexe), des **bandes non-passantes** (gammes des pulsations pour lesquelles -$`k^2`$ est réel négatif). La courbe de dispersion d'un milieu est de plus toujours -comparée à celle du vide pour laquelle on a $`\omega = c\,k`$. Il s'agit dans ce cas -d'une droite de pente $`c`$. - -![](electromagnetic-waves-media-dispersion2.jpg) - -Par définition, la **vitesse de phase $`v_\varphi (\omega_1)`$** est donnée par la -*pente du segment reliant l'origine au point $`M_1(k_{1}^{'},\omega_1)`$ de la courbe -de dispersion*. En effet, celle-ci vaut bien : - -**$`\quad v_\varphi = \dfrac{\omega_1}{k_{1}^{'}} \, \text{.}`$** - -Il est donc très facile d'estimer l'évolution de $`v_\varphi`$ en fonction de -$`\omega`$, en suivant l'évolution de cette pente. - -De même, la **vitesse de groupe $`v_{g}(\omega_2)`$** est par définition donnée -par la *pente de la tangente à la courbe de dispersion au point $`M_2(k_{2}',\omega_2)`$.* -En effet : - -**$`\quad v_{g}(\omega_2) = \left(\dfrac{d \omega}{d k\,'}\right)_{M_2} = \omega\,'(k\,'_2)`$** - -Sachant cela, il est alors aisé de déterminer si le milieu est dispersif (i.e si -$`v_\varphi`$ varie en fonction de $`\omega`$), et de comparer $`v_\varphi`$ et $`v_g`$ -en fonction $`c`$, la vitesse de phase et de groupe de toute OPPM dans le vide. - - -#### Cas d'un M.L.H.I. diélectrique - -##### Equation de dispersion - -On se place maintenant dans le cas d'un **milieu L.H.I. diélectrique** tel que -**$`\sigma = 0`$, $`\mu = \mu_0`$** et -**$`\underline{\epsilon}(\omega) = \epsilon\,'(\omega) + i\epsilon\,''(\omega)`$**. -L'équation de dispersion se réduit alors à : - -**\begin{equation} -\quad\underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} -\end{equation}** - -ou encore : - -**\begin{equation} -\quad\underline{k}^2=\dfrac{\omega^2}{c^2} \underline{\epsilon}_r \, \text{,} -\end{equation}** - -avec **$`\underline{\epsilon}_r (\omega) = \epsilon^{'}_r(\omega) + i\epsilon^{''}_r(\omega) = \dfrac{\underline{\epsilon}}{\epsilon_0}`$.** - -L'étude de la propagation d'une OPPM dans ce diélectrique revient à étudier les -variations de $`\underline{\epsilon}(\omega)$. - -##### Diélectrique non-absorbant, et indice optique - -Lorsque le **diélectrique est non-absorbant**, cela se traduit par une *constante -diélectrique réelle* pour toutes valeurs de $`\omega`$ (soit $`\epsilon\,''(\omega)=0`$, -$`\forall \omega`$).
-On en déduit que la **propagation** a bien lieu **sans atténuation**, caractérisée par : - - - -**$`\quad k \, = \, \sqrt{\epsilon_r}~\dfrac{\omega}{c}`$**, - -**$`\quad v_\varphi \, = \, \dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}`$**, - -**$`\quad v_g \, = \, \dfrac{ 2c\,\sqrt{\epsilon_r}(\omega)}{\omega\cdot \epsilon_r'(\omega)+2\;\epsilon_r(\omega)}`$** - -L'**indice optique** s'écrit alors **$`n_{opt}(\omega) = \sqrt{\epsilon_r (\omega)}`$**. - -La **longueur d'onde** de l'OPPM dans ce milieu vaut -**$`\lambda = \dfrac{\lambda_0}{n_{\textrm{opt}}}`$**, où $`\lambda_0 = c/\nu`$ est -la longueur d'onde dans le vide. - -Si on note $`\vec{u}`$ le vecteur unitaire indiquant la direction et le sens de -propagation, le champ magnétique $`\vec{B}`$ s'écrit : - -\begin{equation} -\quad\underline{\vec{B}}=\dfrac{n_{opt}}{c} (\vec{u} \wedge \vec{E}). -\end{equation} - -On en déduit, en notation réelle, que : - - - -$`\quad u \, = \, \epsilon E^2`$ - -$`\quad \vec{\Pi} \, = \, c n_{\textrm{opt}} \epsilon_0 E^2 \, \vec{u}`$ - -soit - -$`\quad \vec{\Pi} \, = \, v_\varphi u \, \vec{u}`$ - -$`\quad \langle \vec{\Pi}\rangle_T \, = \, \dfrac{1}{2} v_\varphi \, \epsilon E^{2}_0 \, \vec{u}`$ - - -##### Diélectrique absorbant - -Un **diélectrique absorbant** est un diélectrique dans lequel le *vecteur polarisation -$`\vec{P}(t)`$* *suit les variations de $`\vec{E}(t)`$ avec un certain retard $`\varphi_p`$* -, de sorte que : - - -**$`\quad \underline{\vec{P}}(t)= \epsilon_0 \,\underline{\chi}_e \,\underline{\vec{E}}(t)`$** - -avec - -**$`\quad \underline{\chi}_e = \chi_e' + i\,\chi_e'' = \chi_e^{0}\cdot e^{i\,\phi_p}`$** - - - -En notation réelle, on obtient finalement pour l'induction électrique : - -$`\displaystyle \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0 \cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \left( \epsilon_r' \; cos (\overrightarrow{k'}.\overrightarrow{r} - \omega t) - \epsilon_r'' \; sin (\overrightarrow{k'} \,\overrightarrow{r}-\omega t) \right) \overrightarrow{E}_0`$ - -avec - -$`\quad\epsilon_r' (\omega) = 1 + \chi_e' (\omega) \; \text{ et } \; \epsilon_r''(\omega) = \chi_e'' (\omega)`$ - -On peut aussi écrire l'induction électrique sous la forme : - -$`\displaystyle \quad \overrightarrow{D}(\overrightarrow{r},t) = \epsilon_0\;\sqrt{\epsilon_r'^2+\epsilon_r''^2}\cdot e^{-\overrightarrow{k''}.\overrightarrow{r}}`$$`\times \;cos\,\left(\overrightarrow{k'} .\overrightarrow{r}-\omega. t+\phi_D) \right) \overrightarrow{E}_0`$, - -avec - -$`\quad\tan{\varphi_D}=\dfrac{\epsilon^{''}_r}{\epsilon^{'}_r}`$ - - -Comme $`\vec{D}`$ est nécessairement en retard sur $`\vec{E}`$, $`\epsilon_r'' (\omega)`$ -est positive. Pour les très faibles fréquences cependant ($\omega \rightarrow 0$), -le retard à la polarisation tend vers $`0`$ donc $`\epsilon_r''`$ tend vers $`0`$ -et $`\epsilon_r'`$ tend vers $`(1+\chi'_{e}(\omega))`$. - -##### Indice complexe - -L'équation de dispersion s'écrit à nouveau : - -\begin{equation} -\quad \underline{k}^2=\mu_0 \underline{\epsilon} \omega^2 \, \text{,} -\end{equation} - -ce qui se décompose en un système de 2 équations à 2 inconnues lorsqu'on identifie -les parties réelles et imaginaires : - -$`\left\{ \begin{array}{ccc} -k'^{2} - k''^{2} \, = \, \mu_0\, \epsilon' \omega^2 \\ -2\, k' k'' \, = \, \mu_0\, \epsilon'' \omega^2 -\end{array} -\right.`$ - -L'indice complexe $`\underline{n}`$ du milieu est défini par : - -$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \underline{\epsilon}_{r}\quad`$ , ou encore -$`\quad \underline{n}^{2} \, = \, \dfrac{c^2 \underline{k}^2}{\omega ^2}`$ - -Dans ces conditions, le système d'équations à résoudre devient : - -$`\left\{ \begin{array}{ccc} -n'^{2} - n''^{2} \, = \, \epsilon_r' \\ -2 \,n' n'' \, = \, \epsilon_r' -\end{array} -\right.`$ - -La vitesse de phase $`v_\varphi`$ se définit comme : -$`v_\varphi = \dfrac{\omega}{k'} = \dfrac{c}{n'}`$ - -**Définition :** - -La **partie réelle $`n'`$** est appelée *indice de réfraction* du milieu alors que -la **partie imaginaire** correspond à l' *indice d'extinction*. - - -##### Propagation de l'énergie - -Le vecteur de Poynting associé à une OPPM qui se propage selon $`(Ox)`$ vers les -$`x`$ croissants, dans ce diélectrique absorbant est le suivant : - -$`\vec{\Pi}=\dfrac{\vec{E}\wedge \vec{B}}{\mu_0}=c \,\epsilon_0\,{E_0}^2 \,e^{-2k''x}`$ -$`\times \left[ n^{'} \cos^2 (k'x-\omega t) - n'' \sin (k'x-\omega t)\right.`$ -$`\left.\,cos (k'x-\omega t)\right]~\vec{e}_x `$, - -et sa valeur moyenne associée : - -$`\displaystyle\langle \vec{\Pi} \rangle_T =c n' \frac{\epsilon_0 {E_0}^2}{2} \;e^{\left(-2n'' \dfrac{\omega}{c}x\right)}~\vec{e}_x `$ - -La décroissance de la puissance propagée par l'onde est caractérisée par le coefficient -d'extinction $`\beta`$ (ou coefficient d'atténuation) du milieu : -$`\beta = 2 k'' = 2 n'' \dfrac{\omega}{c}`$. - -#### Cas d'un M.L.H.I. très bon conducteur - -##### Temps de relaxation d'un bon conducteur - -D'après l'équation de conservation de la charge et la loi d'Ohm locale dans un -conducteur, la densité volumique de charge libre $`\rho_{\textrm{libre}}`$ vérifie -l'équation différentielle suivante : - -$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} \,+ \,div\, \vec{j}_{libre} = 0`$ - -avec $`\quad\vec{j}_{libre}=\sigma \vec{E}\quad`$ et -$`\quad div\, \vec{E}=\dfrac{\rho_{libre}}{\epsilon_0}`$ - -d'où : - -$`\dfrac{\partial \rho_{libre}}{\partial t} + \dfrac{\sigma}{\epsilon_0}\rho_{libre} = 0`$ - -Si on suppose une accumulation de charge de densité non-nulle $`\rho_0`$ à l'instant -$`t = 0`$ dans le métal, celle-ci disparaîtra exponentiellement selon la loi : - -$`\rho_{libre} = \rho_0\;e^{-\frac{t}{\tau}}\quad`$ avec $`\quad \tau = \dfrac{\epsilon_0}{\sigma}`$ - -Dans le cas du cuivre par exemple où $`\sigma = 0,57.10^{8}~\Omega^{-1}\,m^{-1}`$, -$`\tau = 1,5.10^{-19}\,s`$. Pour des temps si courts, la loi d'ohm locale n'est plus -valable car la conductivité est définie par l'intermédiaire du temps de libre parcours -moyen des porteurs de charge entre 2 chocs qui est de l'ordre de $`10^{-14}\,s `$. -A l'échelle mésoscopique, nous travaillons cependant avec des OPPMs de période temporelle -$`T`$ supérieure à $`10^{-14}\,s`$. Ainsi, comme $`\tau \gg T`$, nous pourrons considérer -que $`\rho_{libre} = 0`$ à tout instant dans le bon conducteur. - -De plus, la comparaison des amplitudes des densités volumiques de courant de charges -libres et de courant de déplacement conduit à : - -\begin{equation} -\dfrac{\left| \underline{\overrightarrow{j}} \right|}{\left| \epsilon_0 \dfrac{\partial \underline{\overrightarrow{E}}}{\partial t} \right|} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 \omega} = 2 \pi \dfrac{T}{\tau} \ll 1 -\end{equation} - -Ceci montre que nous pouvons négliger dans ce cas la densité volumique de courant -de déplacement. - -##### Equation de dispersion et profondeur de pénétration - -Les 4 équations de Maxwell s'écrivent alors : - - -$`\quad div\, \vec{B} \, = \, 0 `$ - -$`\quad rot\, \vec{E} \, = \, -\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t}`$ - -$`\quad div\, \vec{E} \, = \, 0 `$ - -$`\quad rot\, \vec{B} \, = \, \mu_0 \,\vec{j}_{libre} = \mu_0 \,\sigma\, \vec{E} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0 c^2}\, \vec{E}`$ - - -Ceci conduit à l'équation de propagation pour le champ électrique suivante (en notation complexe) : - -\begin{equation} -\Delta \underline{\vec{E}} + i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2} \underline{\vec{E}} = \vec{0}. -\end{equation} - -D'où l'équation de dispersion du milieu : - -\begin{equation} -\underline{k}^2 = i\dfrac{\sigma \omega}{\epsilon_0 c^2}. -\end{equation} - -Ainsi $`\underline{k}`$ s'écrit pour une onde se propageant dans le sens "positif" : - -\begin{equation} -\underline{k} = \dfrac{1+i}{\delta} \, \text{ avec } \delta = \sqrt{\dfrac{2 \epsilon_0 c^2}{\sigma \omega}}. -\end{equation} - -$`\delta`$ est appelé la profondeur de pénétration de l'onde dans le métal, exprimée -en m. On est donc dans le cas d'une propagation avec atténuation de l'OPPM avec comme -vitesse de phase $`v_\varphi = \omega \delta`$. L'indice de réfraction du milieu -est donc défini par $`n' = \dfrac{c}{\omega \delta}`$. Ces 2 dernières grandeurs -dépendent de la pulsation de l'OPPM donc le milieu est dispersif. - -##### Modèle du métal parfait - -Pour un bon conducteur, la profondeur de pénétration $`\delta`$ n'excède généralement -pas quelques mm aux fréquences les plus basses comme on peut le voir dans le tableau -donné ci-dessous pour le cuivre.\\ - ------------------ - | | | | | -| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | -| Fréquence | $`\lambda`$ | $`\delta`$ | $`v_\varphi`$ | $`n'`$ | -| 100 Hz | 3000 km | 6,5 mm | 4,1 m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^7`$ | -| 10 GHz | 3 cm | 0,65 $`\mu`$m | 4,1 10$`^4`$ m.s$`^{-1}`$ | 7,4 10$`^3`$ | --------------- - -_Valeurs à deux fréquences typiques de la profondeur de pénétration et des grandeurs -associées pour le cuivre massif._ - - -Ceci nous permet de justifier l'utilisation du modèle du métal parfait, c'est-à-dire -un métal de conductivité infinie. Dans ce cas, $`\tau`$ tend vers $`0`$, ainsi que $`\delta`$. -L'OPPM est donc instantanément, et totalement atténuée dès son entrée dans le métal -parfait. On considère alors qu'en tout point du métal parfait le champ électrique $`\vec{E}`$ -est nul (et par conséquent le champ magnétique $`\vec{B}`$ aussi), et qu'il ne peut -exister d'onde é.m. L'utilisation de ce modèle rend bien compte, -comme nous allons -le voir au chapitre suivant-, de la très bonne réflectivité des métaux (utilisés -comme miroir de ce fait). - -A l'interface de 2 matériaux dont un modélisé par un métal parfait, la réflexion -d'une OPPM génère une densité surfacique de courant non nulle sur la surface. -Ce qui reste en accord avec une loi d'Ohm locale pour laquelle $`\sigma`$ est -infinie et $`\vec{E}`$ est égal à $`\vec{0}`$. - - - - - -