From d3595932b2c0ea29fbcd7088f17266f1c5a471f7 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 23 Mar 2020 19:35:36 +0100 Subject: [PATCH] Add new file --- .../textbook.fr.md | 304 ++++++++++++++++++ 1 file changed, 304 insertions(+) create mode 100644 01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/interferences-diffraction/interference-diffraction-main/textbook.fr.md diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/interferences-diffraction/interference-diffraction-main/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/interferences-diffraction/interference-diffraction-main/textbook.fr.md new file mode 100644 index 000000000..d2978da76 --- /dev/null +++ b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/interferences-diffraction/interference-diffraction-main/textbook.fr.md @@ -0,0 +1,304 @@ +--- +text : "Phénomènes d'interférences et de diffraction" +published : false +visible : false +---- +### Aspect ondulatoire de la lumière + +Les **phénomènes d'interférences et de diffraction** sont *caractéristiques des ondes*. + +Interférences et diffraction lumineuses *traduisent l'aspect ondulatoire de la lumière*. + +![](interferences_diffraction_general.jpg) + + +### Le phénomène d'interférences + +Le **phénomène d'interférence** est observé lorsque la *superposition de deux ou plusieurs ondes* de même nature (sonores, mécaniques, électro-magnétiques) donne lieu à une *intensité résultante qui n'est pas égale à la simple addition des intensités* prises individuellement. + +!!Note : pour l'onde électromagnétique, une interférence peut se traduire localement par le phénomène : lumière + lumière = obscurité. + +**En pratique** sur un écran d'observation, les *intensités individuelles* des ondes incidentes *varient lentement* alors que les **différences de phase** entre les ondes qui interfèrent et qui sont à l'origine du phénomène d'interférence **varient rapidement**. + +On appelle **franges d'interférences** le *lieu des points M* caractérisés par une *intensité moyenne $\overline{\,I\,}`$ donnée* : + +* Les **franges brillantes** correspondent à une *intensité maximale : $`I=I_{max}`$* +* Les **franges sombres** correspondent à une *intensité minimale : $`I=I_{min}`$* + +### Quantification du phénomène d'interférences : le contraste + +Le **contraste** (ou visibilité) des franges quantifie notre *aptitude à discerner les franges*. + +Il se définit localement à partir de la distribution d'intensité résultante des ondes qui interfèrent. Si localement *$`I_{max}`$* est l'*intensité maximum* et *$`I_{min}`$* l'*intensité minimum*, le contraste (ou visibilité) des franges se définit par : + +$`\mathcal{V} = \dfrac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}`$ + +Cette caractérisation des franges permet une **mesure comprise entre 0 et 1**, valeurs limites qui représentent les *deux cas extrêmes* : + +* Pas de franges, donc **intensité uniforme** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{max}=I_{min}`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 0`$*. + +* **Franges de visibilité maximum** $`\Longleftrightarrow`$ $`I_{min}=0`$ $`\Longleftrightarrow`$ *$`\mathcal{V} = 1`$*. + +### Interférences entre deux ondes électromagnétiques monochromatiques planes + +Soient **deux ondes planes** dans le vide, notées 1 et 2, de **même pulsation $`\omega`$** et d'**amplitudes $`A_1`$ et $`A_2`$**, de **polarisations rectilignes selon $`\overrightarrow{e_1}`$ et $`\overrightarrow{e_2}`$**, et qui *se superposent en un point M* de l'espace localisé, par rapport à un point pros comme origine de l'espace, par le vecteur $`\overrightarrow{r} = \overrightarrow{OM}`$ + +Ces deux ondes s'écrivent : + +* _Expression en notation réelle :_ + +$`\overrightarrow{E_1}(\overrightarrow{r},t) += A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1}`$ et + $`\overrightarrow{E_2}(\overrightarrow{r},t) += A_2 \cdot cos(\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$ + +* _Expression en notation complexe :_ + +$`\underline{\overrightarrow{E_1}}(\overrightarrow{r},t) += A_1 \cdot e^{-i\,(\omega t-\phi_1)} \cdot \overrightarrow{e_1} +`$ et $`\underline{\overrightarrow{E_2}}(\overrightarrow{r},t) += A_2 \cdot e^{-i\,(\omega t-\phi_2)} \cdot \overrightarrow{e_2}`$ + +! IMPORTANT : +! L'écriture réelle seule décrit la réalité de l'onde physique. +! Le champ réelle est la partie réelle du champ complexe : +$`\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)= +\Re \; [\underline{\overrightarrow{E}}(\overrightarrow{r},t)]`$ + +Le *champ électrique résultant* est : + +* _Expression en notation réelle :_ + +$`\overrightarrow{E_{tot}}(\overrightarrow{r},t) += A_1 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1} +\;+\; +A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2}`$ + +* _Expression en notation complexe :_ + +$`\underline{\overrightarrow{E}_{tot}}(\overrightarrow{r},t) +=A_1 \; e^{-i\,\omega t} \, e^{i\,\phi_1}\cdot \overrightarrow{e_1} +\;+\; + A_2 \; e^{-i\,\omega t} \, e^{i\,\phi_2}\cdot \overrightarrow{e_2}`$ + + $`\underline{\overrightarrow{E}}_{tot}(\overrightarrow{r},t) += e^{-i\,\omega t} +\cdot + [A_1 \, e^{i\,\phi_1}\cdot \overrightarrow{e_1} ++ + A_2 \, e^{i\,\phi_2}\cdot \overrightarrow{e_2}]`$ + + L'*intensité de l'onde résultante $`I_{tot}`$* s'écrit : + + $`\langle I_{tot} \rangle= \epsilon_0 \,c \; ||\overrightarrow{E}||^2=\dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}||`$ + + * _Calcul en notation réelle :_ + +$`I_{tot}= \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; [A_1^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_1)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}`$ $`\;+\;A_2^2 \cdot cos^2 (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}`$ $`\;+\;2 \;A_1\,A_2 \cdot cos (\omega t-\phi_1)\,cos (\omega t-\phi_2)\cdot \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}]`$ + + + * _Calcul en notation complexe :_ + +$`I_{tot} += \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; ||\overrightarrow{E}|| += \dfrac{\epsilon_0\,c}{2} \; \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{E^*} += A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} + A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1 \, A_2\; \overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}`$ + +$`\quad\quad = A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} + A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2} + \,A_1 \, A_2\;e^{i(\phi_1-\phi_2)} \;\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2} + \,A_2 \, A_1\;e^{i(\phi_2-\phi_1)} \;\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_1}`$ + +-------------------- + +* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \perp \overrightarrow{e_2}) `$**, alors + +$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1} + A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}=I_1 + I_2`$ + +Il n'y a *pas interférence* entre ces deux ondes. + +----------------------- + +* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes non orthogonales $`(\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_2}) =cos \Phi `$**, telles que , alors + +$`I_{tot}=A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 + \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$ + +Un *terme d'interférence $`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2) \cdot cos \Phi`$* apparait. + +------- + +* Si les deux ondes ont des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors $`cos\, \Phi = 1`$ et : + +$`I_{tot}= A_1^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A_2^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A_1\,A_2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=I_1 + I_2 + \,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$ + +Le *terme d'interférence* se limite à *$`\,2\,\sqrt{I_1\,I_2} \, cos(\phi_1 - \phi_2)`$*. + +------------ + +* Si les deux ondes ont une **même amplitude $`A`$** et des **polarisations rectilignes dans la même direction $`(\overrightarrow{e_1} = \overrightarrow{e_2}) `$** alors : + +$`I_{tot}=A^2\,\overrightarrow{e_1} \cdot \overrightarrow{e_1}+A^2\,\overrightarrow{e_2} \cdot \overrightarrow{e_2}+2 \,A^2\,cos(\phi_1 - \phi_2)=2 \;I \cdot [\,1+ cos(\phi_1 - \phi_2)]`$ + +Ce sont les *meilleures conditions de réalisation et d'observation*. + +L'**interférence** est : + +* **totalement destructive** en tous les point de l'espace où les deux ondes sont en *opposition de phases*, soit : + +*$`|\phi_1 - \phi_2|=(2n+1)\,\pi`$ avec $`n \in \mathbb{Z}`$ $`\Longrightarrow cos(\phi_1 - \phi_2)=-1`$* + +En ces points là * $`I_{tot}=I_{min}=0`$* , l'*intensité est nulle* et donc l'obscurité totale. + +* **totalement constructive** en tous les point de l'espace où les deux ondes sont *en phase*, soit : + +*$`|\phi_1 - \phi_2|=2n\,\pi`$, avec $`n \in \mathbb{Z} `$ $`\Longrightarrow cos(\phi_1 - \phi_2)=+1`$* + +En ces points là, *$`I_{tot}=I_{max}= 4 \,A^2`$*. + +### Interférences par N ondes de même amplitude, déphasés avec un pas constant + +Soient **N ondes** de *même amplitude $`A`$* déphasées entre-elles d'un *pas constant $`\phi`$*. + +$`A_{tot}=A\,e^0\,+\,A\,e^{i\phi}\,+\,A\,e^{i\phi}\,+\,\cdot\cdot\cdot\,+\,A\,e^{i\,(N-1)\,\phi}`$ + +$`\quad =A\,\cdot \,(1 \,+\,e^{i\phi}\,+\,e^{i\phi}\,+\,\cdot\cdot\cdot\,+\,e^{i\,(N-1)\,\phi})`$ + +Le *terme entre parenthèse* forment une **progression géométrique de raison $`e^{i\phi}`$**. + +-------------------------- + +La somme $`S_N`$ des termes d'une suite géométrique de premier terme $`a`$ et de raison $`q`$ avec $`q \ne 0`$ et $`q \ne 1`$ s'écrit : + +$`S_N=a + a\,q + a\,q^2 + a\,q^3 + \cdot\cdot\cdot + a\,q^{N-1}`$ + +donc + +$`q\,S_N= a\,q + a\,q^2 + a\,q^3 + a\,q^4 + \cdot\cdot\cdot + a\,q^N`$ + +et + +$`q\,S_N-S_N= a\,q^N \,- a`$ + +$`S_N\,(q-1)= a\,(q^N-1)`$ + +$`S_N=a \cdot \dfrac{q^N-1}{q-1}`$ + +---------------------- + +Si *j'applique ce résultat* concernant les suites géométriques pour calculer le terme d'**amplitude totale résultantes** de la superposition des ondes considérées, j'obtiens + +$`\underline{A_{tot}}=A\cdot \dfrac{e^{i\,N\,\phi}-1}{e^{i\,\phi}-1}=\dfrac{(1-cos\,N\phi)+i\,sin\, N\phi}{(1-cos\,\phi)+i\,sin\,\phi}`$ + +L'**intensité résultante** est alors + +$`I_{tot}=\underline{A_{tot}}\,\underline{A^*_{tot}}=|\,A^2\,|=A^2\cdot\dfrac{(1-cos^2\,N\phi)+sin^2\,N\phi}{(1-cos^2\,\phi)+sin^2\,\phi}`$ + +$`\quad=A^2\cdot\dfrac{1-2\cos\,N\phi+cos^2\,N\phi+sin^2\,N\phi}{1-2\cos\,\phi+cos^2\,\phi+sin^2\,\phi}= A^2\cdot\dfrac{2-2\cos\,N\phi}{2-2\cos\,\phi}`$ + +$`\quad= A^2\cdot\dfrac{1-cos\,N\phi}{1-cos\,\phi}`$ + +---------------------------------------- + +Avec les relations trigonométriques + +$`cos(a-b)=cos\,a \;cos\,b \;+\; sin\,a \;sin\,b `$
+$`cos(a+b)=cos\,a \;cos\,b \;-\; sin\,a \;sin\,b `$ + +j'obtiens + +$`cos(a-b)-cos(a+b)=2\; sin\,a \;sin\,b `$ + +--------------------- + +L'identification $`a=b=\dfrac{N\,\phi}{2}`$ conduit à + +$`cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}-\dfrac{N\,\phi}{2}\right)-cos\left(\dfrac{N\,\phi}{2}+\dfrac{N\,\phi}{2}\right)=2\; sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} \;sin\,\dfrac{N\,\phi}{2} `$ + +$`cos\,0 - cos\,N\,\phi=1 - cos\,N\,\phi =2\; sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}`$ + +De même, l'identification $`=b=\dfrac{\phi}{2}`$ conduit à $`1 - cos\,\phi =2\; sin^2\,\dfrac{\phi}{2}`$ . + +Au total, la **distribution d'intensité en fonction du pas de déphasage $`\phi`$** entre deux rayons consécutifs s'écrit : + +$`I_{tot}= A^2\cdot\dfrac{sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}}{sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$ + +Cette **fonction $`\dfrac{sin^2\,\dfrac{N\,\phi}{2}}{sin^2\,\dfrac{\phi}{2}}`$** est la *fonction très importante dans l'étude et le calcul des phénomènes d'interférences*. + +#### J'étudie analytiquement cette fonction + +* Quelle est sa valeur en $`\phi=0`$ ? + +* Pour quelles valeurs de $`\phi`$ l'intensité s'annule-t-elle totalement ? + +Et questions de compréhension qualitative : + +* Que se passe-t-il si les ondes qui interfèrent n'ont pas la même amplitude ? + +* Que se passe-t-il si les ondes EM qui interfèrent sont polarisées rectilignement, mais toutes dans des directions différentes ? + +#### Je visualise cette fonction + +* $`N=1 \Longrightarrow`$ amplitude et intensité de l'onde uniforme : pas d'interférences. + + +* $`N=2 \Longrightarrow`$ amplitude set intensité de l'onde uniforme : interférences à deux ondes. + +![](interferences_N2_L1200.jpg) + +Faisons croître le nombre $`N`$ des ondes qui interfèrent, et observons : + +![](interferences_N5_L1200.jpg) + +![](interferences_N20_L1200.jpg) + + + + +### Pour prendre un peu d'avance : + +Après l'études des phénomènes d'interférences et de diffraction, je regarderai quelques situations physiques simples ou quelques éléments optiques qui réalisent ces phénomènes. Le cours se construit. + +Mais déjà, je verrai qu'une façon d'obtenir de telles interférences est d'illuminer un réseau de diffraction avec une onde (je préciserai les conditions). + +Dans ce cas, lors de l'observation de la lumière à l'infini dans une direction donnée, la différence de phase $`\phi`$ entre deux ondes est fonction de la longueur d'onde selon l'expression : + +$`\phi=\dfrac{2 \pi \, \delta}{\lambda}`$. + +Deux longueurs d'onde différentes donneront deux systèmes de franges différentes, qui se superposeront. + +Je regarde bien les figures suivantes, pour comprendre visuellement le phénomène observé. Cela donne une première piste pour décomposer une lumière polychromatique en ses différentes composantes. + +![](reseau-intensity-N2_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N3_L1200.jpg) + +![](reseau-intensity-N4_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N5_L1200.jpg) + +![](reseau-intensity-N8_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N12_L1200.jpg) + +![](reseau-intensity-N16_L1200.jpg)![](reseau-intensity-N24_L1200.jpg) + + + +Et une première compréhension des ordres de travail d'un réseau de diffraction : + +![](reseau-order-N8_L1200.jpg) ![](reseau-order-N16_L1200.jpg) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +