diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/03.reflexion-refraction-transmission/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/03.reflexion-refraction-transmission/textbook.fr.md deleted file mode 100644 index c1eea597b..000000000 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/04.Niv4/04.electromagnetism/04.electromagnetism-in-media/03.reflexion-refraction-transmission/textbook.fr.md +++ /dev/null @@ -1,1044 +0,0 @@ ---- -title : Reflexion, refraction and transmission at an interface between two meida linear, homogeneous and isotrope. -published : false -visible : false ---- -## Réflexion, réfraction et transmission à l'interface entre deux milieux LHI - -Dans ce chapitre, nous allons démontrer dans un premier temps les relations de passage -des champs électriques et magnétiques au travers d'une interface (notée $`\mathcal{P}`$) -séparant deux milieux Linéaires Homogènes et Isotropes (LHI) dont les propriétés -telles que la permittivité et la perméabilité sont différentes. Dans le milieu $`1`$, -il y règne un champ électromagnétique ($`\vec{E}_1$, $\vec{B}_1`$) -et potentiellement des vecteurs $`\vec{D}_1$, $\vec{H}_1`$. De même dans le milieu $`2`$, -on y trouve un champ électromagnétique ($`\vec{E}_2$, $\vec{B}_2`$) et potentiellement -des vecteurs $`\vec{D}_2`$, $`\vec{H}_2`$. Après l'obtention des relations de continuité, -autrement dit les conditions aux limites à l'interface, nous étudierons certains cas typiques de propagation. - - -### Relations de continuité - -Afin de déterminer le caractère continue ou pas, des vecteurs $\vec{E}$, $\vec{B}$, $\vec{D}$ et $\vec{H}$ au passage de l'interface entre deux milieux LHI aux propriétés différentes, nous allons nous intéresser en premier lieu aux composantes normales de ces champs puis aux composantes tangentielles, en revenant encore une fois aux équations de Maxwell sous forme intégrale. - -#### Composante normale - -Afin de dériver, les relations de continuité des composantes normales de $\vec{B}$ et $\vec{D}$ au travers de l'interface $(\mathcal{P})$, il est nécessaire d'étudier le voisinage d'un point $M$ appartenant à $\mathcal{P}$. Avec un point $M_1$ du milieu $1$, infiniment proche de $M$ et un autre point $M_2$ dans le milieu $2$, infiniment proche de $M$, il est possible de définir un élément infinitésimal de volume $V$ de forme cylindrique (cf. \ref{fig:comp_norm}), grâce à l'élément infinitésimal de surface $d S$ autour de M. Ecrivons les équations de Maxwell sous forme intégrales, avec pour volume d'intégration le cylindre $V$ de hauteur $d h$, et un élément de volume infinitésimal $d\tau=d h \times d S$. - -![comp-norm.jpg](comp-norm.jpg) -_Définition géométrique de l'interface $(\mathcal{P})$ et volume d'intégration $V$ utilisé pour calculer le flux des vecteurs $\vec{B}$ et $\vec{D}$._ - -##### Champ magnétique - -Grâce au théorème de la divergence, il vient : - -\begin{equation} -\int_V div\, ~\vec{B}~d\tau =\oint_S \vec{B}.d\vec{S} = 0, -\end{equation} - - -\begin{equation} -\int_V div\, ~\vec{B}~d\tau =\oint_S \vec{B}.d\vec{S} = 0, -\end{equation} - -\begin{equation} -\scriptstyle\oint_S \vec{B} d\vec{S} = \int_{S_1} A.d\vec{S} -\end{equation} - - -\begin{equation} -\oint_S \vec{B} d\vec{S} = \int_{S_1} \vec{B}_1 d\vec{S}_1 + \int_{S_2} \vec{B}_2 d\vec{S}_2 +\int_{S_lat} \vec{B} d\vec{S}, -\end{equation} - - -En faisant tendre $d h~\to 0$, comme le champ magnétique est une fonction bornée, la dernière intégrale (sur la surface latérale du cylindre) tend aussi vers 0. \\ - -De plus, en écrivant $d \vec{S}_1=-d S~\vec{n}_{1 \to 2}$ et $d \vec{S}_2=d S~\vec{n}_{1 \to 2}$, il vient : - -\begin{equation*} -\int_{S_1} \left(\vec{B}_2-\vec{B}_1\right).\vec{n}_{1\to2}. d S = 0, -\end{equation*} - -c'est à dire : - -\begin{equation} -\vec{n}_{1\to2}.\left(\vec{B}_2-\vec{B}_1\right)= B_{2N}-B_{1N}=0. -\end{equation} - - + \int_{S_2} \vec{B}_2 d\vec{S}_2 +\int_{S_lat} \vec{B} d\vec{S}, - -La composante normale du champ magnétique est continue à la traversée de l'interface $(\mathcal{P})$.\\ - -\item Vecteur d'induction électrique\\ - -Grâce au théorème de la divergence, il vient : - -\begin{equation} -\int_V div\, ~\vec{D}~d\tau =\oint_S \vec{D}.d\vec{S} = \int_V \rho_l~d\tau=\int_{S'} \sigma_S~d S, -\end{equation} - -car en faisant tendre $d h \to 0$, seule une densité surfacique peut être prise en compte. - -\begin{equation*} -\oint_S \vec{D}.d\vec{S} = \int_{S_1} \vec{D}_1.d\vec{S}_1 + \int_{S_2} \vec{D}_2.d\vec{S}_2 +\int_{S_{\textrm{lat}}} \vec{D}.d\vec{S}=\int_{S'} \sigma_S~d S. -\end{equation*} - -En faisant tendre $d h~\to 0$, comme l'induction électrique est une fonction bornée, la dernière intégrale (sur la surface latérale du cylindre) tend aussi vers 0. \\ - -De plus, en écrivant $d \vec{S}_1=-d S~\vec{n}_{1 \to 2}$ et $d \vec{S}_2=d S~\vec{n}_{1 \to 2}$, il vient: - -\begin{equation*} -\int_{S_1} \left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right).\vec{n}_{1\to2}~d S =\int_{S'} \sigma_S~d S, -\end{equation*} - -et comme $S_1=S'$ on peut écrire: - -\begin{equation} -\vec{n}_{1\to2}~.\left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right)= D_{2N}-D_{1N}=\sigma_S. -\end{equation} - -La composante normale du vecteur d'induction électrique est discontinue à la traversée de l'interface $(\mathcal{P})$. -\end{itemize} - -### composante tangentielle - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/comp-tang.pdf} -\end{center} -\caption{Définition géométrique de l'interface $(\mathcal{P})$ et surface d'intégration $S$ utilisée pour calculer la circulation des vecteurs $\vec{E}$ et $\vec{H}$.} -\label{fig:comp_tang} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -\begin{itemize} -\item Champ électrique\\ - -Grâce au théorème du rotationnel, il vient : - -\begin{equation} -\int_S \rota ~\vec{E}~d\vec{S}=\oint_{\mathcal{C}}\vec{E}.d\vec{l} =-\pdiff{}{t}\int_S \vec{B}.d\vec{S}=0. -\end{equation} - -En faisant tendre $d h~\to 0$, comme le champ magnétique est une fonction bornée, l'intégrale du flux de $\vec{B}$ au travers de la surface $(S)$ tend vers 0. \\ - -La circulation de $\vec{E}$ sur le contour $(\mathcal{C})$ peut être décomposée comme - -\begin{equation*} -\oint_{\mathcal{C}}\vec{E}.d\vec{l}=\vec{E}_1.\vec{AB}+\vec{E}_2.\vec{CD}+C_{BC}+C_{DA}. -\end{equation*} - -En faisant tendre $d h~\to 0$, et comme le champ électrique est une fonction bornée, les termes $C_{BC}$ et $C_{DA}$ vont tendre vers 0. - -De plus, en écrivant $\vec{AB}=-\vec{CD}=d\vec{l}$, il vient: - -\begin{equation*} -\left(\vec{E}_1-\vec{E}_2\right).d\vec{l}=0,~{\textrm{pour}}~\forall~d\vec{l}~//~(\mathcal{P}), -\end{equation*} - -c'est à dire: - -\begin{equation*} - \vec{n}_{1 \to 2} \wedge \left(\vec{E}_2-\vec{E}_1\right)= \vec{0}, -\end{equation*} - -c'est à dire: - -\begin{equation} -\vec{E}_{{2}_T}-\vec{E}_{{1}_T} = \vec{0}. -\end{equation} - -La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée de l'interface $(\mathcal{P})$. - -\item Vecteur d'excitation magnétique\\ -Grâce au théorème du rotationnel, il vient : - -\begin{equation} -\int_S \rota ~\vec{H}~d\vec{S}=\oint_{\mathcal{C}}\vec{H}.d\vec{l} =\int_S \vec{j}.d\vec{S}+\pdiff{}{t}\int_S \vec{D}.d\vec{S}. -\end{equation} - -En faisant tendre $d h~\to 0$, comme l'induction électrique est une fonction bornée, l'intégrale du flux de $\vec{D}$ au travers de la surface $(S)$ tend vers 0. \\ - -La circulation de $\vec{H}$ sur le contour $(\mathcal{C})$ peut être décomposée comme - -\begin{equation*} -\oint_{\mathcal{C}}\vec{H}.d\vec{l}=\vec{H}_1.\vec{AB}+\vec{H}_2.\vec{CD}+C_{BC}+C_{DA}. -\end{equation*} - -En faisant tendre $d h~\to 0$, et comme le vecteur d'excitation magnétique est une fonction bornée, les termes $C_{BC}$ et $C_{DA}$ vont tendre vers 0. - -De plus, en écrivant $\vec{AB}=-\vec{CD}=d\vec{l}$, il vient: - -\begin{equation*} -\left(\vec{H}_1-\vec{H}_2\right).d\vec{l}= \vec{j}.d\vec{S} = d I =\vec{j}_S. \left(d \vec{l}\wedge \vec{n}_{1 \to 2}\right),~{\textrm{pour}}~\forall~d\vec{l}~//~(\mathcal{P}) , -\end{equation*} - -d'où - -\begin{equation} -\vec{n}_{1 \to 2} \wedge \left(\vec{H}_2-\vec{H}_1\right)=\vec{j}_S. -\end{equation} - -La composante tangentielle du vecteur d'excitation magnétique est discontinue à la traversée de l'interface $(\mathcal{P})$. -\end{itemize} - -! *Remarques :* -! -! Si $\sigma_S=0$, $\vec{E}$ sera continu à la traversée de l'interface, -! Si $\vec{j}_S=\vec{0}$, $\vec{B}$ sera continu à la traversée de l'interface. -! - -### Application à la réflexion métallique sous incidence normale - -Nous allons traiter, dans la suite, un premier exemple d'applications des relations de continuité à l'interface entre l'air (indice optique $n$=1) et un conducteur supposé parfait. Afin de simplifier le problème dans un premier temps, le calcul sera fait sous incidence normale. - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/interf-metal-normal.pdf} -\end{center} -\caption{Définition géométrique de l'interface diélectrique-métal avec une onde incidente normale.} -\label{fig:comp_interfmetalnorm} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -#### Cas idéal - -En règle générale, pour une onde incidente, à l'interface entre deux milieux, il sera possible de retrouver une onde réfléchie ($\underline{\vec{E}}_r$) et une onde transmise ($\underline{\vec{E}}_t$) encore appelée onde réfractée. Dans le cas d'un conducteur parfait, nous avons vu que sa conductivité est infiniment grande ($\sigma=\infty$), ce qui implique qu'aucun champ électrique ne peut régner à l'intérieur de ce milieu modèle ($\vec{E}=\vec{0}$). -Ainsi dans le cas d'une réflexion sur un métal parfait, il n'y aura pas d'onde transmise ($\underline{\vec{E}}_t=\vec{0}$), mais seulement une onde réfléchie. - -Choisissons une onde incidente : du type OPPM polarisée rectilignement suivant l'axe $(Ox)$ - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_i=\vec{E}_i^0~\textrm{e}^{i(kz-\omega t)}=E_i^0~\vec{u}_x~\textrm{e}^{i(kz-\omega t)}, -\end{equation} - -et étudions la nature de l'onde réfléchie qui {\it{a priori}} peut s'écrire: - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_r=\vec{E}_r^0~\textrm{e}^{i(k'z-\omega' t)}, -\end{equation}
-avec $\vec{E}_r^0$, $k'$ et $\omega'$ des grandeurs inconnues. - -#### Utilisation des relations de continuité à l'interface - -A l'interface, c'est à dire en $z=0$, et à tout instant $t$, comme $\vec{E}_i^0$~($=E_i^0~\vec{u}_x$) et $\vec{E}_r^0$ sont des vecteurs constants, nous devons avoir l'égalité des phases de ces deux ondes: - -\begin{equation*} -kz-\omega t =k'z-\omega' t, -\end{equation*} - -ce qui implique $\omega'=\omega$. Ainsi, l'onde réfléchie se propage à la même fréquence que l'onde incidente, et comme la propagation de l'onde réfléchie se fait dans le même milieu que l'onde incidente, le vecteur d'onde $\vec{k}'$ aura même norme que $\vec{k}$, mais de sens opposé. - -L'onde réfléchie peut donc s'écrire : - -\begin{equation*} -\underline{\vec{E}}_r=\vec{E}_r^0~\textrm{e}^{-i(kz+\omega t)}, -\end{equation*} -reste à déterminer $\vec{E}_r^0$. - -* Du fait de la continuité de la composante normale à l'interface (pas d'accumulation de charges possible dans le conducteur parfait), il vient immédiatement que $E_{r_z}^0$, la composante de $\vec{E}_r^0$ suivant $(Oz)$ est nulle car $E_{i_z}^0=E_{t_z}^0=0$. - -* Du fait de la continuité de la composante tangentielle du champ $\vec{E}$ à l'interface, il est possible d'écrire deux équations correspondant aux projections suivant $(Ox)$ et $(Oy)$: -\begin{equation*} -E_{i_x}^0+E_{r_x}^0=0~~~~\textrm{et}~~~~E_{r_y}=0, -\end{equation*} - -ce qui permet d'écrire le champ électrique réféchie suivant: - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_r=-E_i^0~\vec{u}_x~\textrm{e}^{-i(kz+\omega t)}. -\end{equation} - -\item le champ électrique total régnant dans le milieu diélectrique est donné par: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{E}}_{\textrm{tot}}=\underline{\vec{E}}_i+\underline{\vec{E}}_r=E_i^0~\vec{u}_x~\textrm{e}^{-i \omega t}\left(\textrm{e}^{ikz}-\textrm{e}^{-ikz}\right)=2i E_i^0~\vec{u}_x~\sin \left(kz\right)~\textrm{e}^{-i \omega t}, -\end{equation*} - -soit en réel $\displaystyle \vec{E}_{\textrm{tot}}=2E_i^0 \sin \left(kz\right) \sin \left(\omega t\right) \vec{u}_x$. Ainsi nous obtenons un champ électrique stationnaire, car l'onde ne se propage plus (séparation des variables d'espace et de temps). - -* Pour écrire les champs magnétiques associés, $\displaystyle \underline{\vec{B}}_i={\vec{B}}_i^0~\textrm{e}^{i(kz-\omega t)}$ et $\displaystyle \underline{\vec{B}}_r={\vec{B}}_r^0~\textrm{e}^{-i(kz+\omega t)}$, il est impératif de revenir au fait que les ondes incidente et réfléchie sont des ondes planes, c'est à dire: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{B}}_i=\frac{\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}_i}{\omega},~~\underline{\vec{B}}_r=\frac{-\vec{k}\wedge\underline{\vec{E}}_r}{\omega}, -\end{equation*} -avec les mêmes relations valables en réél, et comme $\vec{E}_r^0=-\vec{E}_i^0$, il vient $\displaystyle \vec{B}_r^0=\vec{B}_i^0=B_i^0~\vec{u}_y= \frac{E_i^0}{c}~\vec{u}_y$. - -* Le champ magnétique total régnant dans le milieu diélectrique est donné par: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{B}}_{\textrm{tot}}=\underline{\vec{B}}_i+\underline{\vec{B}}_r=B_i^0~\vec{u}_y~\textrm{e}^{-i \omega t}\left(\textrm{e}^{ikz}+\textrm{e}^{-ikz}\right)=2 B_i^0~\vec{u}_y~\cos \left(kz\right)~\textrm{e}^{-i \omega t}, -\end{equation*} - -soit en réel $\displaystyle \vec{B}_{\textrm{tot}}=2B_i^0 \cos \left(kz\right) \cos \left(\omega t\right) \vec{u}_y$. Ainsi nous obtenons un champ magnétique stationnaire, car l'onde ne se propage plus (séparation des variables d'espace et de temps). - -* Du fait de la discontinuité de la composante tangentielle de $\vec{H}$, à la traversée de l'interface, une densité de courant surfacique sera présente: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{j}}_S=\vec{u}_z\wedge\left(\vec{0} -\left(\underline{\vec{H}}_i+\underline{\vec{H}}_r\right)\right), -\end{equation*} - -ce qui donne au final : - -\begin{equation} -\underline{\vec{j}}_S=\frac{2B_i^0}{\mu_0}~\vec{u}_x~\textrm{e}^{-i \omega t}. -\end{equation} -\end{itemize} - -#### Vecteur de Poynting -Afin de préciser le bilan énergétique, il est nécessaire de calculer le vecteur de Poynting total réel grâce à $\displaystyle \vec{\Pi}_{\textrm{tot}}=\frac{\vec{E}_{\textrm{tot}}\wedge\vec{B}_{\textrm{tot}}}{\mu_0}$. Il vient facilement: - -\begin{equation} -\vec{\Pi}_{\textrm{tot}}=\frac{E_i^0B_i^0}{\mu_0}~\vec{u}_z~\sin\left(2 kz\right) \sin\left(2 \omega t\right). -\end{equation} - -En moyennant ce terme sur une période, nous obtenons un flux du vecteur de Poynting nul. Nous retrouvons bien le caractère d'onde stationnaire du champ é.m total. - -### Application à la réflexion et à la transmission entre deux diélectriques sous incidence quelconque - -Dans cette section, nous allons nous intéresser à la propagation d'une onde se propageant dans un milieu LHI diélectrique ($1$) dont les constantes diélectriques et magnétiques sont $\epsilon_1,\mu_1$, et rencontrant sous incidence oblique un milieu LHI diélectrique ($2$) dont les -constantes diélectriques et magnétiques sont $\epsilon_2,\mu_2$. Les milieux seront considérés comme neutres, il n'y a donc pas de charges ni de courants associés. - -#### Présentation du problème - -A partir d'une onde incidente de vecteur d'onde $\vec{k}_i$ dont la source est suffisamment éloignée pour ne pas avoir d'effets dans le voisinage de l'interface, un phénomène de réflexion et de réfraction donne naissance à deux ondes. L'une est réfléchie dans le milieu $1$ et possède un vecteur d'onde $\vec{k}_r$, l'autre est transmise dans le milieu $2$ et possède un vecteur d'onde $\vec{k}_t$. {\it{A priori}} ces vecteurs peuvent posséder des composantes sur -chacun des axes $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$ soit: - -\begin{center} -\begin{minipage}[c]{.30\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_i=\left\vert \begin{array}{c} -k_{i_x} \\ -\\ -k_{i_y} \\ -\\ -k_{i_z} -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\begin{minipage}[c]{.30\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_r=\left\vert \begin{array}{c} -k_{r_x} \\ -\\ -k_{r_y} \\ -\\ -k_{r_z} -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\begin{minipage}[c]{.30\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_t=\left\vert \begin{array}{c} -k_{t_x} \\ -\\ -k_{t_y} \\ -\\ -k_{t_z} -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\end{center} - -De plus, nous pouvons repérer les angles d'incidence $\theta_i$, de réflexion $\theta_r$ et de réfraction $\theta_t$ par rapport à la normale à la surface comme dans la figure~(\ref{fig:comp_interfdielobl}). - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/interf-diel-qcque.pdf} -\end{center} -\caption{Définition géométrique de l'interface entre deux diélectriques avec une onde incidente sous incidence oblique.} -\label{fig:comp_interfdielobl} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -Afin de simplifier le problème, nous allons développer le cas d'une onde OPPM incidente polarisée rectilignement, sans pour autant oublier que le cas général d'une onde plane quelconque (polarisée elliptiquement) peut toujours se ramener à la superposition de deux OPPMs polarisées rectilignement. De manière très générale, nous pouvons ainsi écrire les champs électriques présents dans les milieux $1$ et $2$ : - -\begin{eqnarray*} -\underline{\vec{E}}_i & = & {\vec{ \underline{E}^0_i}}~ {\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_i.\vec{r}-\omega t\right)} \\ -\underline{\vec{E}}_r & = & {\vec{ \underline{E}^0_r}}~ {\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_r.\vec{r}-\omega' t\right)} \\ -\underline{\vec{E}}_t & = & {\vec{ \underline{E}^0_t}}~ {\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_t.\vec{r}-\omega'' t\right)}, -\end{eqnarray*} - -où $\omega'$, $\omega''$ sont les pulsations des ondes réfléchie et transmise, et où les vecteurs $ {\vec{ \underline{E}^0_i}}$, $ {\vec{ \underline{E}^0_r}}$ et $ {\vec{ \underline{E}^0_t}}$ sont des vecteurs constants mais pouvant être néanmoins complexes afin de tenir compte d'éventuels déphasages. - -De plus, on peut décomposer chacun de ces vecteurs en une composante normale (suivant $(Oz)$) et une composante tangentielle (suivant $(Ox)$ et $(Oy)$), ainsi pour le vecteur incident par exemple, on a $ {\vec{ \underline{E}^0_i}}= {\vec{ \underline{E}^0_{i_N}}}+ {\vec{ \underline{E}^0_{i_T}}} $. Evidemment, les caractéristiques des ondes réfléchie et transmise vont être déterminées grâce aux relations de continuité à l'interface (en $z=0$). - -#### Relations de continuité - -A l'interface, donc à la limite $z=0$, pour $\forall x$, $\forall y$, et $\forall t$, on a: - -* la continuité de la composante normale de $\vec{B}$ -* la continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$. - -De plus comme il n'y a pas de charges libres et donc pas de courants associés, on a aussi: - -\begin{itemize} -\item la continuité de la composante normale de $\vec{D}$ -\item la continuité de la composante tangentielle de $\vec{H}$. -\end{itemize} - -Prenons en premier lieu la condition de continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$ en un point $M$ de l'interface $\mathcal{P}$, avec $\vec{OM}=\vec{r}_S=x~\vec{u}_x+ y~\vec{u}_y$, elle s'écrit: - -\begin{equation*} - {\vec{ \underline{E}^0_{i_T}}}~{\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_i.\vec{r}_S-\omega t\right)} + {\vec{ \underline{E}^0_{r_T}}}~{\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_r.\vec{r}_S-\omega' t\right)} = {\vec{ \underline{E}^0_{t_T}}}~{\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_t.\vec{r}_S-\omega'' t\right)}. -\end{equation*} - -Comme $ {\vec{ \underline{E}^0_{i}}}$, $ {\vec{ \underline{E}^0_{r}}}$ et $ {\vec{ \underline{E}^0_{t}}}$ sont des vecteurs constants, $ {\vec{ \underline{E}^0_{i_T}}}$, $ {\vec{ \underline{E}^0_{r_T}}}$ et $ {\vec{ \underline{E}^0_{t_T}}}$ le sont aussi. - -Au point $M$, les phases des vecteurs vont être égales donc : - -\begin{equation*} -k_{i_x}x+k_{i_y}y-\omega t = k_{r_x}x+k_{r_y}y-\omega' t =k_{t_x}x+k_{t_y}y-\omega'' t, -\end{equation*} -\begin{itemize} -\item En se plaçant à l'origine des axes $x=y=0$ et à $\forall t$, on a donc: -\begin{equation} -\omega=\omega'=\omega''. -\end{equation} - -On a donc les trois ondes se propageant à la même pulsation. - -La conséquence directe de ce résultat est que les vecteurs d'onde $\vec{k}_i$ et $\vec{k}_r$ ont le même module: - -\begin{equation} -\vert\vert\vec{k}_i\vert\vert=\vert\vert\vec{k}_r\vert\vert=\frac{\omega}{c}n_1=k_0 n_1, -\end{equation} -avec $\displaystyle k_0=\frac{\omega}{c}=\frac{2\pi}{\lambda_0}$, et $n_1$ l'indice optique du milieu $1$. -\item Pour un point quelconque de l'interface, $\forall x$, $\forall y$ et $\forall t$, on a maintenant: -\begin{equation}\label{eq:ph_eq} -\vec{k}_i.\vec{r}_S=\vec{k}_r.\vec{r}_S=\vec{k}_t.\vec{r}_S. -\end{equation} -\end{itemize} - -##### Loi de Snell-Descartes relative à la réflexion - -Prenons les deux premiers termes de l'équation précédente, on a : - -\begin{equation} -\left(\vec{k}_i-\vec{k}_r\right) .\vec{r}_S=0. -\end{equation} - -\begin{itemize} -\item Comme $\vec{r}_S$ appartient au plan $\mathcal{P}$, il faut donc que le vecteur $\left(\vec{k}_i-\vec{k}_r\right)$ soit normal à $\mathcal{P}$. C'est à dire que les vecteurs $\vec{k}_i$, $\vec{k}_r$ et $\vec{n}_{1 \to 2}$ sont coplanaires.\\ -\begin{center} -\underline{Première loi de la réflexion}:\\ l'onde réfléchie est dans le plan d'incidence défini par le vecteur d'onde de l'onde incidente et le vecteur normal à l'interface $\vec{n}_{1 \to 2}$. -\end{center} -\vspace{0.5cm} -\item Les composantes tangentielles de $\vec{k}_i$ et $\vec{k}_r$ sont égales: -\begin{equation*} -\vert\vert\vec{k}_i\vert\vert \sin \theta_i=\vert\vert\vec{k}_r\vert\vert \sin \theta_r, -\end{equation*} -et comme $\vert\vert\vec{k}_i\vert\vert=\vert\vert\vec{k}_r\vert\vert$, on a: -\begin{equation} -\theta_i=\theta_r. -\end{equation} - -\begin{center} -\underline{Seconde loi de la réflexion}:\\ l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.\\ -\end{center} -\vspace{0.75cm} -\underline{Remarque}: Cette relation est valable indépendamment de la nature du milieu $2$, aussi bien pour un diélectrique qu'un conducteur. -\end{itemize} - -##### Lois de Snell-Descartes relative à la réfraction - -En reprenant l'égalité (\ref{eq:ph_eq}), on a: - -\begin{equation} -\left(\vec{k}_i-\vec{k}_t\right) .\vec{r}_S=0. -\end{equation} - -\begin{itemize} -\item Comme $\vec{r}_S$ appartient au plan $\mathcal{P}$, il faut donc que le vecteur $\left(\vec{k}_i-\vec{k}_t\right)$ soit normal à $\mathcal{P}$. C'est à dire que les vecteurs $\vec{k}_i$, $\vec{k}_t$ et $\vec{n}_{1 \to 2}$ sont coplanaires.\\ -\begin{center} -\underline{Première loi de la réfraction}:\\ l'onde réfractée est dans le plan d'incidence défini par le vecteur d'onde de l'onde incidente et le vecteur normal à l'interface $\vec{n}_{1 \to 2}$. -\end{center} -\vspace{0.75cm} -\item Les composantes tangentielles de $\vec{k}_i$ et $\vec{k}_t$ sont égales: -\begin{equation*} -\vert\vert\vec{k}_i\vert\vert \sin \theta_i=\vert\vert\vec{k}_t\vert\vert \sin \theta_t, -\end{equation*} -comme $\vert\vert\vec{k}_i\vert\vert=k_0 n_1$, et aussi $\vert\vert\vec{k}_t\vert\vert=k_0 n_2$ on a:\\ -\begin{center} -\underline{Seconde loi de la réfraction}:\\ -\end{center} -\vspace{0.75cm} -\begin{equation} -n_1\sin \theta_i=n_2 \sin \theta_t. -\end{equation} -\end{itemize} - -Maintenant que l'on dispose des relations liant les vecteurs d'onde, on peut s'intéresser aux relations liant les amplitudes. - -#### Expressions des champs réfléchis et transmis: Relations de Fresnel - -Nous devons séparer deux cas dans la suite: si le champ électrique est polarisé dans la direction perpendiculaire au plan d'incidence, on aura le mode Transverse Electrique (TE). Si le champ électrique est polarisé dans une direction appartenant au plan d'incidence, c'est à dire si le champ magnétique est transverse, alors on sera dans le mode Transverse Magnétique (TM). De plus, avec les conditions obtenues précédemment, et la nature isotrope des milieux, une onde incidente TE donnera naissance à une onde réfléchie TE et une onde transmise TE. De même pour une onde incidente TM. - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/mode-TE-TM.pdf} -\end{center} -\caption{Configuration des champs é.m pour les modes TE et TM.} -\label{fig:mode-TE-TM} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -##### Cas d'une onde incidente TE (polarisée suivant une direction perpendiculaire au plan d'incidence) - -Connaissant ${\vec{ \underline{E}^0_i}}$ (et donc ${\vec{ \underline{B}^0_i}}$), nous avons à déterminer quatre vecteurs inconnus: ${\vec{ \underline{E}^0_r}}$, ${\vec{ \underline{E}^0_t}}$, ${\vec{ \underline{B}^0_r}}$, et ${\vec{ \underline{B}^0_t}}$. Avec : - -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{E}^0_i}}=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -E_i^0 \\ -\\ -0 -\end{array}, \right. -\end{equation*} - -il vient facilement avec les conditions de continuités sur le champ électrique : (pas de composante normale, composante tangentielle uniquement sur $(Oy)$): - -\begin{center} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{E}^0_r}}=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -E_r^0 \\ -\\ -0 -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{E}^0_t}}=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -E_t^0 \\ -\\ -0 -\end{array}. \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\end{center} - -De plus, avec la condition de continuité sur la composante tangentielle du champ électrique à l'interface ($z=0$, $\forall t$), on a: - -\begin{equation} -E_i^0+E_r^0=E_t^0. -\end{equation} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/mode-TE.pdf} -\end{center} -\caption{Configuration des champs é.m pour le mode TE.} -\label{fig:mode-TE} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - -La continuité de la composante tangentielle de $\vec{H}$ à l'interface va nous donner à partir de : - -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{B}^0_i}}=\left\vert \begin{array}{c} --B_i^0 \cos \theta_1 \\ -\\ -0 \\ -\\ -B_i^0 \sin \theta_1 -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\begin{center} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{B}^0_r}}=\left\vert \begin{array}{c} -B_r^0 \cos \theta_1 \\ -\\ -0 \\ -\\ -B_r^0 \sin \theta_1 -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} - -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -{\vec{ \underline{B}^0_t}}=\left\vert \begin{array}{c} --B_t^0 \cos \theta_2\\ -\\ -0 \\ -\\ -B_t^0 \sin \theta_2 -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\end{center} - -la relation suivante: - -\begin{equation} -\left(\frac{B_i^0}{\mu_1}-\frac{B_r^0}{\mu_1}\right) \cos \theta_1= \frac{B_t^0}{\mu_2} \cos \theta_2 -\end{equation} - -En revenant à la définition des champs magnétiques d'une onde plane ($\displaystyle \vec{B}=\frac{\vec{k}}{w} \wedge \vec{E}$), il vient: - -\begin{eqnarray*} -B_i^0 & = & \frac{n_1E_i^0}{c}\\ -B_r^0 & = & \frac{n_1E_r^0}{c}\\ -B_t^0 & = & \frac{n_2E_t^0}{c}. -\end{eqnarray*} - -Nous obtenons donc un système à deux équations à deux inconnues: - -\begin{equation*} - \left\{ - \begin{aligned} - & E_i^0+E_r^0 = E_t^0\\ - & \frac{n_1}{\mu_1} \left(E_i^0-E_r^0\right) \cos \theta_1 =\frac{n_2}{\mu_2}E_t^0 \cos \theta_2\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation*} - -En définissant les coefficients de réflexion et de transmission en mode TE, de la manière suivante: - -\begin{equation} -r_{\perp}=\frac{E^0_r}{E^0_i},~~t_{\perp}=\frac{E^0_t}{E^0_i}, -\end{equation} -on montre facilement que les coefficients de Fresnel pour le mode TE s'écrivent: -\begin{equation} - \left\{ - \begin{aligned} - & r_{\perp}= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_1-\frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_2}{\displaystyle \frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_1+\frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_2}\\ - & t_{\perp}= \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 2 n_1}{\mu_1}\cos \theta_1}{\displaystyle\frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_1+\frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_2}\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation} -\underline{Remarques}: - \begin{itemize} - \item Dans le cas de milieux non magnétiques, on a une simplification des relations avec $\mu_1=\mu_2=\mu_0$. -\item on a $t_\perp > 0$, mais $r_\perp$ peut être positif ou négatif.\\ -Si $\epsilon_1>\epsilon_2$, alors $\theta_1 < \theta_2$ donc $\cos \theta_1 > \cos \theta_2$,\\ -Si $\epsilon_1<\epsilon_2$, alors $\theta_1 > \theta_2$ donc $\cos \theta_1 < \cos \theta_2$. -\item Le symbole $\perp$ est utilisé pour désigner le mode TE ($\vec{E}$ est perpendiculaire au plan d'incidence). -\end{itemize} - -##### Cas d'une onde incidente TM (polarisée dans le plan d'incidence - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/mode-TM.pdf} -\end{center} -\caption{Configuration des champs é.m pour le mode TM.} -\label{fig:mode-TM} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -A partir des expressions des vecteurs $\vec{B}$, dans le système d'axe $(0xyz)$, et grâce à la continuité de la composante tangentielle de $\vec{H}$, il vient facilement que : - -\begin{equation} -\frac{B_i^0-B_r^0}{\mu_1}=\frac{B_t^0}{\mu_2}. -\end{equation} - -La continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$ donne: - -\begin{equation} -\left(E_i^0+E_r^0\right)\cos \theta_1=E_t^0\cos \theta_2. -\end{equation} - -Comme nous avons toujours $\displaystyle B_i^0=\frac{n_1 E^0_i}{c}$, $\displaystyle B_r^0=\frac{n_1 E^0_r}{c}$ et $\displaystyle B_t^0=\frac{n_1 E^0_t}{c}$, il vient: - -\begin{equation*} -\frac{n_1}{\mu_1}\left(E_i^0-E_r^0\right)=\frac{n_2}{\mu_2}E_t^0. -\end{equation*} - -Avec le système d'équations suivant: - -\begin{equation*} - \left\{ - \begin{aligned} - & \left(E_i^0+E_r^0\right)\cos \theta_1 = E_t^0 \cos \theta_2\\ - & \frac{n_1}{\mu_1} \left(E_i^0-E_r^0\right) =\frac{n_2}{\mu_2}E_t^0\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation*} - -on montre facilement que les coefficients de Fresnel pour le mode TM s'écrivent: - -\begin{equation} - \left\{ - \begin{aligned} - & r_{\parallel}= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_2-\frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_1}{\displaystyle \frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_1+\frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_2}\\ - & t_{\parallel}= \displaystyle \frac{\displaystyle\frac{\displaystyle 2 n_1}{\mu_1}\cos \theta_1}{\displaystyle\frac{n_2}{\mu_2}\cos \theta_1+\frac{n_1}{\mu_1}\cos \theta_2}\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation} - -! *Remarques :* -! -! Le symbole $\parallel$ est utilisé pour désigner le mode TM ($\vec{E}$ est contenu dans le plan d'incidence). -\subsection{Bilan énergétique} -! Les pouvoirs de réflexion $R$ et de transmission $T$ sont quant à eux définis par: -! -! \begin{equation} -R= \frac{\mathcal{P}_r}{\mathcal{P}_i}=\frac{\vert\vert\langle\vec{\Pi}_r\rangle\vert\vert}{\vert\vert\langle\vec{\Pi}_i\rangle\vert\vert}, -\end{equation} -\begin{equation} -! -! T= \frac{\mathcal{P}_t}{\mathcal{P}_i}=\frac{\vert\vert\langle\vec{\Pi}_t\rangle\vert\vert}{\vert\vert\langle\vec{\Pi}_i\rangle\vert\vert}. -\end{equation} - -Dans le cas de la propagation en mode TE, on a: - -\begin{equation} - \left\{ - \begin{aligned} - & R_{\perp}= \displaystyle \frac{\vert\vert\vec{E}_r^0\vert\vert^2}{\vert\vert\vec{E}^0_i\vert\vert^2}=r_\perp^2\\ - & T_{\perp}=\displaystyle \frac{n_2}{n_1}\frac{\vert\vert\vec{E}_t^0\vert\vert^2}{\vert\vert\vec{E}^0_i\vert\vert^2}=\frac{n_2}{n_1}t_\perp^2\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation} - -Dans le cas de la propagation en mode TM, on a: - -\begin{equation} - \left\{ - \begin{aligned} - & R_{\parallel}= \displaystyle \frac{\vert\vert\vec{E}_r^0\vert\vert^2}{\vert\vert\vec{E}^0_i\vert\vert^2}=r_\parallel^2\\ - & T_{\parallel}=\displaystyle \frac{n_2}{n_1}\frac{\vert\vert\vec{E}_t^0\vert\vert^2}{\vert\vert\vec{E}^0_i\vert\vert^2}=\frac{n_2}{n_1}t_\parallel^2\\ - \end{aligned}. - \right. -\end{equation} - -\underline{Remarque}:\\ - -On vérifie bien la conservation de l'énergie, en montrant que $R+T=1$. - -### Application à la réflexion métallique sous incidence quelconque - -Nous allons étudier la réflexion oblique d'une onde polarisée rectilignement sur une interface diélectrique (air) conducteur parfait. Le milieu diélectrique aura un indice optique $n$. Ces calculs serviront de base pour le chapitre suivant, puisque nous retrouverons ces configurations dans le cas des guides d'onde métalliques rectangulaires. -Encore une fois nous traiterons deux cas: lorsque le champ électrique sera perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TE), ou bien le champ magnétique perpendiculaire au plan d'incidence (Mode TM). - -\subsubsection{Mode TE} -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/Met-obl-TE.pdf} -\end{center} -\caption{Configuration des champs é.m pour le mode TE.} -\label{fig:metobl-TE} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - -Dans la configuration de la Fig.(\ref{fig:metobl-TE}), le champ électrique incident s'écrit: $\displaystyle \underline{\vec{E}}_i=-E_0~\vec{u}_x~{\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_i.\vec{r}-\omega t\right)}$. Avec les vecteurs d'onde: - -\begin{center} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_i=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ --k \cos \theta \\ -\\ -k \sin \theta -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_r=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -k \cos \theta \\ -\\ -k \sin \theta -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\end{center} -où $\displaystyle k= n\frac{\omega}{c}$, le champ électrique incident vaut donc: -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_i=-E_0~\vec{u}_x~\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}. -\end{equation} - -Ayant choisi pour onde incidente une onde plane, on peut déterminer $\underline{\vec{B}}_i$, avec -$\underline{\vec{B}}_i=\displaystyle \frac{\vec{k}_i\wedge\underline{\vec{E}}_i }{\omega}$, -ce qui donne: - -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_i=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ - \displaystyle-\frac{nE_0}{c} \sin \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - \displaystyle-\frac{nE_0}{c} \cos \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}, \right. -\end{equation} - -En écrivant le vecteur $\underline{\vec{E}}_r= \vec{E}_r^0 \displaystyle {\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_r.\vec{r}-\omega t\right)}$, et du fait de la continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$, en $y=0$, il vient facilement que $E_{r_z}=0$. Du fait de la continuité de la composante normale de $\vec{E}$, on a aussi $E_{r_y}=0$. Il nous reste à utiliser la continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$ suivant $(Ox)$ pour obtenir: - -\begin{equation} -E_{r_x}+E_{i_x}=0. -\end{equation} - -Cela donne pour l'onde réfléchie un champ électrique: - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_r=E_0~\vec{u}_x~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}. -\end{equation} - -L'onde réfléchie possédant le caractère d'onde plane, avec la formule $\displaystyle \underline{\vec{B}}_r=\frac{\vec{k}_r}{w} \wedge \underline{\vec{E}}_r$, on peut écrire: - -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_r=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ - \displaystyle \frac{nE_0}{c} \sin \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - \displaystyle-\frac{nE_0}{c} \cos \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -Nous sommes en mesure de regarder la nature du champ é.m résultant du mode TE ($\underline{\vec{E}}_\perp$, $\underline{\vec{B}}_\perp$) dans le milieu diélectrique avec $\underline{\vec{E}}_\perp=\underline{\vec{E}}_i+\underline{\vec{E}}_r$, et $\underline{\vec{B}}_\perp=\underline{\vec{B}}_i+\underline{\vec{B}}_r$. Concernant le champ électrique nous avons: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{E}}_\perp=E_0~\vec{u}_x~\left(\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)} - \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\right), -\end{equation*} - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_\perp=2~i~E_0~\vec{u}_x~\sin\left(ky \cos \theta\right)\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}. -\end{equation} - -Pour le champ magnétique résultant, nous obtenons après quelques lignes: - -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_\perp=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -2i \displaystyle \frac{nE_0}{c} \sin \theta \sin\left(k y\cos \theta \right)~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - -2\displaystyle\frac{nE_0}{c} \cos \theta \cos\left(k y\cos \theta \right) ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -Ce champ é.m total possède quelques propriétés intéressantes: - -\begin{itemize} -\item il se propage suivant l'axe $(Oz)$ -\item il se propage à la même pulsation $\omega$ que l'onde incidente -\item le champ électrique résultant est polarisé rectilignement (mode TE) -\item le champ magnétique possède une composante suivant la direction de propagation $(Oz)$ -\item il n'est plus une onde plane -\item dans un plan $y=\textrm{Cste}$, le champ magnétique est polarisé elliptiquement -\item la vitesse de phase est donnée par $\displaystyle v_\varphi=\frac{c}{n \sin \theta}\geq c$. -\end{itemize} -\vspace{0.5cm} - - Au voisinage immédiat de l'interface, pour $y \to 0$ on a : - - \begin{itemize} - \item $\underline{\vec{E}}_\perp=\vec{0}$ - \item $\underline{\vec{B}}_\perp=\displaystyle -\frac{2 n E_0}{c} \vec{u}_z\cos \theta ~\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}$, le champ magnétique est tangent à la surface et orienté suivant la direction de propagation. -\end{itemize} -\vspace{0.5cm} - -Ailleurs dans le diélectrique, on observe un régime d'onde stationnaire dans la direction normale à l'interface. Il nous est donc possible de déterminer les surfaces d'équi-amplitudes dans la direction $(0y)$, en recherchant les plans nodaux ou ventraux, c'est à dire les maxima (ventres) et minima (noeuds) de l'onde résultante grâce à: - -\begin{itemize} -\item $\underline{\vec{E}}_\perp=\vec{0}$, pour $\displaystyle y_n=\frac{n \pi}{k \cos \theta}$, $n$ entier -\item $\vert\vert \underline{\vec{E}}_\perp\vert\vert=\vert\vert\vec{E}_{\textrm{max}}\vert\vert$, pour $\displaystyle y_p=\frac{(2p+1)\pi}{k \cos \theta}$, $p$ entier. -\end{itemize} - -Dans une direction quelconque, on observera un régime d'ondes semi-stationnaires seulement. - -Afin d'étudier la propagation de l'énergie, calculons les champs résultants réels: - -\begin{equation} -\vec{E}_\perp=-2~E_0~\vec{u}_x~\sin\left(ky \cos \theta\right)~\sin\left(k z \sin \theta -\omega t\right), -\end{equation} - -\begin{equation} -\vec{B}_\perp=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ --2 \displaystyle \frac{nE_0}{c} \sin \theta \sin\left(k y\cos \theta \right)~ \sin \left(k z \sin \theta -\omega t\right)\\ -\\ - -2\displaystyle\frac{nE_0}{c} \cos \theta \cos\left(k y\cos \theta \right) ~ \cos\left(k z \sin \theta -\omega t\right)\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} -Le calcul du vecteur de Poynting donne à partir de $\displaystyle\vec{\Pi}=\frac{\vec{E}_{\perp}\wedge \vec{B}_\perp}{\mu_0}$, -\begin{equation} -\vec{\Pi}=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -- \displaystyle \frac{nE_0^2}{\mu_0 c} \cos \theta \sin\left(2 k y\cos \theta \right)~ \sin \left(2\left(k z \sin \theta -\omega t\right)\right)\\ -\\ - 4\displaystyle\frac{nE_0^2}{\mu_0 c} \sin \theta \sin^2\left(k y\cos \theta \right) ~ \sin^2\left(k z \sin \theta -\omega t\right)\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -Enfin pour déterminer la puissance active, il ne reste plus qu'à prendre la valeur moyenne sur une période du vecteur $\vec{\Pi}$, ce qui amène: - -\begin{equation} -\langle\vec{\Pi}\rangle_T=\frac{2 E_0^2 n}{\mu_0 c} \sin \theta \sin^2\left(k y\cos \theta \right) \vec{u}_z -\end{equation} - -La puissance active se propage donc suivant la direction de propagation de l'onde, c'est à dire suivant $(0z)$. - -\underline{Remarque}:\\ -Elle est nulle en $y=0$. - -#### Mode TM - -Le champ électrique est maintenant contenu dans le plan d'incidence, c'est le champ magnétique qui se trouve être perpendiculaire au plan d'incidence, cf Fig.~(\ref{fig:metobl-TM}). - -Les vecteurs d'ondes associés au champ é.m incident et réfléchi s'écrivent: -\begin{center} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_i=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ --k \cos \theta \\ -\\ -k \sin \theta -\end{array}, \right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\begin{minipage}[c]{.45\columnwidth} -\begin{equation*} -\vec{k}_r=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -k \cos \theta \\ -\\ -k \sin \theta -\end{array},\right. -\end{equation*} -\end{minipage} -\end{center} -où $\displaystyle k= n\frac{\omega}{c}$. Le champ é.m incident est composé de: -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_i=-\frac{nE_0}{c}\vec{u}_x~\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}, -\end{equation} -et -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_i=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ - \displaystyle E_0 \sin \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - \displaystyle E_0 \cos \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - \begin{figure}[!h] -\begin{center} -\includegraphics[width=0.6\columnwidth, trim=0 0 0 0,clip]{Chap-interf/Fig/Met-obl-TM.pdf} -\end{center} -\caption{Configuration des champs é.m pour le mode TM.} -\label{fig:metobl-TM} -\end{figure} - %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - - -En écrivant le vecteur $\underline{\vec{E}}_r= \vec{E}_r^0 \displaystyle {\textrm{e}}^{i\left(\vec{k}_r.\vec{r}-\omega t\right)}$, et du fait de la continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$, en $y=0$, il vient facilement que $E_{r_x}=0$. Il nous reste à utiliser la continuité de la composante tangentielle de $\vec{E}$ suivant $(Oz)$ pour obtenir: - -\begin{equation} -E_{r_z}+E_{i_z}=0. -\end{equation} -De plus, le conducteur étant parfait, il n'y a pas d'onde transmise donc $\vert\vert\vec{E}_i\vert\vert=\vert\vert\vec{E}_r\vert\vert$. Avec les deux conditions précédentes, nous sommes en mesure d'écrire: -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_r=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ - \displaystyle E_0 \sin \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - \displaystyle -E_0 \cos \theta ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -Cela donne pour l'onde réfléchie un champ magnétique: - -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_r=-\displaystyle\frac{nE_0}{c}~\vec{u}_x~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}. -\end{equation} - -Nous sommes en mesure de regarder la nature du champ é.m résultant du mode TM ($\underline{\vec{E}}_\parallel$, $\underline{\vec{B}}_\parallel$) dans le milieu diélectrique avec $\underline{\vec{E}}_\parallel=\underline{\vec{E}}_i+\underline{\vec{E}}_r$, et $\underline{\vec{B}}_\parallel=\underline{\vec{B}}_i+\underline{\vec{B}}_r$. Concernant le champ magnétique nous avons: - -\begin{equation*} -\underline{\vec{B}}_\parallel=-\displaystyle \frac{nE_0}{c}~\vec{u}_x~\left(\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)} + \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(- k y \cos \theta + k z \sin \theta -\omega t\right)}\right), -\end{equation*} -\begin{equation} -\underline{\vec{B}}_\parallel=-2\frac{nE_0}{c}~\vec{u}_x~\cos\left(ky \cos \theta\right)\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}. -\end{equation} - -Pour le champ électrique résultant, nous obtenons après quelques lignes: - -\begin{equation} -\underline{\vec{E}}_\parallel=\left\vert \begin{array}{c} -0 \\ -\\ -2 E_0 \sin \theta \cos\left(k y\cos \theta \right)~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\\ - -2 i E_0 \cos \theta \sin\left(k y\cos \theta \right) ~ \displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}\\ -\end{array}. \right. -\end{equation} - -Ce champ é.m total possède quelques propriétés intéressantes: - -\begin{itemize} -\item il se propage suivant l'axe $(Oz)$ -\item il se propage à la même pulsation $\omega$ que l'onde incidente -\item le champ magnétique résultant est polarisé rectilignement (mode TM) -\item le champ électrique possède une composante suivant la direction de propagation $(Oz)$ -\item il n'est plus une onde plane -\item dans un plan $y=\textrm{Cste}$, le champ électrique est polarisé elliptiquement -\item la vitesse de phase est donnée par $\displaystyle v_\varphi=\frac{c}{n \sin \theta}\geq c$. -\end{itemize} -\vspace{0.5cm} - - Au voisinage immédiat de l'interface, pour $y \to 0$ on a : - - \begin{itemize} - \item $\underline{\vec{E}}_\parallel=2~E_0~\vec{u}_y~ \sin \theta ~\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}$, le champ électrique est normale à la surface métallique. - \item $\underline{\vec{B}}_\parallel=\displaystyle -\frac{2 n E_0}{c} \vec{u}_x~\displaystyle{\textrm{e}}^{\displaystyle i\left(k z \sin \theta -\omega t\right)}$, le champ magnétique est tangent à la surface et transverse. -\end{itemize} -\vspace{0.5cm} - -Ailleurs dans le diélectrique, on observe un régime d'onde stationnaire dans la direction normale à l'interface. Il nous est donc possible de déterminer les surfaces d'équi-amplitudes dans la direction $(0y)$, en recherchant les plans nodaux ou ventraux, c'est à dire les maxima (ventres) et minima (noeuds) de l'onde résultante grâce à: - -\begin{itemize} -\item $\underline{\vec{B}}_\parallel=\vec{0}$, pour $\displaystyle y_n=\frac{(2n+1) \pi}{2 k \cos \theta}$, $n$ entier -\item $\vert\vert \underline{\vec{B}}_\parallel\vert\vert=\vert\vert\vec{B}_{\textrm{max}}\vert\vert$, pour $\displaystyle y_p=\frac{p\pi}{k \cos \theta}$, $p$ entier. -\end{itemize} - -Dans une direction quelconque, on observera un régime d'onde semi-stationnaires seulement. - -Afin d'étudier la propagation de l'énergie, calculons la valeur moyenne sur une période du vecteur de Poynting: - -\begin{equation} -\langle\vec{\Pi}\rangle_T=\frac{2 E_0^2 n}{\mu_0 c} \sin \theta \cos^2\left(k y\cos \theta \right) \vec{u}_z -\end{equation} - -La puissance active se propage donc suivant la direction de propagation de l'onde, c'est à dire suivant $(0z)$. - -\underline{Remarque}:\\ -Elle est maximale en $y=0$. - - - - - - - - -