From d60d2b87e6960eb14e032daa8190f3f345ae6068 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Claude Meny Date: Mon, 13 Jan 2020 15:18:50 +0100 Subject: [PATCH] Update textbook.fr.md --- .../04.curl/textbook.fr.md | 199 +++++++++++++++++- 1 file changed, 198 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md index a96108686..13833f6d9 100644 --- a/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md +++ b/01.curriculum/01.physics-chemistry-biology/03.Niv3/05.math-tools-for-physics/04.differential-operators/04.curl/textbook.fr.md @@ -2,4 +2,201 @@ title : The curl vector published : false visible : false ---- \ No newline at end of file +--- + +## Le rotationnel + +### Intérêt du vecteur rotationnel + +La visualisation des lignes d'un champ vectoriel montre parfois qu'au voisinage +de certains points de l'espace, les lignes semblent tourner autour de ce point +dans un plan donné. + +Exemple : Visualisation du champ vectoriel créé par trois fils rectilignes infinis +parallèles parcourus par des courant stationnaires (stationnaire est l'adjectif +qui précise "indépendant du temps"), dans un plan perpendiculaires à la direction +commune de ces trois fils : l'humain repère de suite les 3 points autour desquels +les lignes de champ s'enroulent. + +Parfois cette observation d'un mouvement de rotation des lignes de champ autour +de certains points est peu visible. En effet le champ vectoriel peut être complexe. +Il peut par exemple être la somme de trois champs. Au voisinage d'un point M de +l'espace, les lignes du premier champ peuvent garder une direction constante, +celles du second champ converger ou diverger à partir de ce point, et celles du +troisième tourner dans un sens ou dans l'autre autour de ce point dans un plan +donné passant par M. + +L'extraction et la quantification de l'information "rotation" des lignes d'un champ +vectoriel au voisinage d'un point M est importante, et sera donné par le vecteur, +étant le vecteur particulier au point M du champ vectoriel . + +L'ensemble des vecteurs étendu à tous les points M de l'espace définit le champ +rotationnel du champ vectoriel . + +### Définition du vecteur rotationnel + +Un champ vectoriel, par définition, s'étend dans les trois directions de l'espace. +A priori, sauf dans des cas spécifiques très simples, la direction autour de +laquelle une composante tournante du champ vectoriel est non visible et inconnue. +Je ne peux donc que tester la composante rotation du champ vectoriel en un point M +et autour d'un axe arbitraire représenté par un vecteur unitaire . + +Je considère, dans le plan perpendiculaire à au point P, un contour fermé C +entourant le point M. Je choisi comme sens positif de circulation sur ce contour C +le sens positif conventionnel donné par la règle de la main droite : si mon pouce +tendu indique la direction du vecteur , alors l'orientation de les quatre autres +doigts indique le sens positif de rotation. La circulation du champ vectoriel le +long du contour C s'écrit + + + +Ce contour C inscrit dans un plan délimite une surface plane d'aire S + + + +Je diminue maintenant la taille de ce contour entourant le point M, de ce fait la +longueur l du contour C et l'aire S de la surface plane délimitée par C tendent +toutes deux vers zéro. Par définition, la limite lorsque S tend vers zéro du rapport +"circulation de le long du contour C" par "l'aire S de la surface plane délimitée +par C" donne la composante dans la direction d'un vecteur appelé rotationnel du +champ vectoriel au point M. L'écriture mathématique de cette définition est beaucoup +plus simple : + + (1) + +Ainsi, si le plan dans lequel s'effectue la rotation du champ vectoriel au voisinage +de M est bien le plan perpendiculaire à , alors le vecteur indique bien la direction +et le sens de l'axe de rotation au point M. + +En posant + + , et + +l'équation (1) se réécrit + + +La circulation infinitésimal autour d'un point M d'un champ vectoriel sur un contour +élémentaire orienté perpendiculairement à une direction représentée par un vecteur +unitaire s'écrit + + + +soit encore + + (2) + +où est le vecteur surface élémentaire, vecteur perpendiculaire à la surface +élémentaire au point M et de norme égale à l'aire de la surface élémentaire . + +Les équations (1) et (2) restant valables en tout point de l'espace, je peux omettre +de préciser le point, et écrire plus simplement + + (3) + + (4) + +Expression du vecteur rotationnel en coordonnées cartésiennes + +Je repère l'espace avec trois axes orthogonaux , et se coupant en un point origine +, munie d'une même unité de longueur et décrivant un trièdre direct. Tout point +quelconque M de l'espace est ainsi repéré par ses trois coordonnées cartésiennes +et en M les trois vecteurs unitaires associés aux coordonnées définissent une base +orthonormée directe. + +Le vecteur au point quelconque M d'un champ vectoriel a pour composantes cartésiennes +et s'écrit + + + +Je vais tester la circulation du champ vectoriel dans les trois directions indiquées +par les vecteurs unitaires . Pour l'étude de la composante de selon z (composante +d'expression mathématique ), je choisis dans le plan perpendiculaire à et passant +par M le contour infinitésimal à l'expression la plus simple : le petit rectangle +ABCD de côtés parallèles aux vecteurs et , de centre M et de côtés et J'oriente +ce rectangle infinitésimal ABCD selon la règle de la main droite, le pouce tendu +en direction et sens du vecteur . Ainsi, ii le vecteur pointe vers mon oeil, alors +le sens d'orientation du rectangle ABCD est le sens trigonométrique direct (sens +inverse des aiguilles d'une montre). + +Le champ vectoriel est un champ de vecteurs dont je connais les expressions + +Je connais l'expression analytique du champ vectoriel , c'est à dire les expressions +analytique des composantes + +Je connais les composantes du vecteur au point M. Pour établir le champ rotationnel, +je dois obtenir une expression analytique de ce champ en tout point de l'espace. +La circulation de sur ABDC est la somme des circulations de sur chacune des quatre +branches AB, BC, CD et DA. + +Soit la branche AB de centre P et dont l'ensemble des points admettent comme +coordonnée selon x. L'orientation du rectangle élémentaire impose que le déplacement +élémentaire de A vers b s'écrit + + + +Au premier ordre, le vecteur au point P est le vecteur moyen du champ sur la branche +AB, et son expression en fonction des composantes de et du déplacement élémentaire +pour passer de M en P est + + + +Le calcul de la circulation élémentaire de sur la branche AB me donne + + + +La même démarche appliquée à la branche opposée CD de centre R me donne + + + + + + + +La somme des circulations élémentaires sur les branches AB et CD se simplifie + + (5) + +Le travail équivalent sur les branches BC de centre Q, et DA de centre S donne + + + + + + , + + + + + + + , + +ce qui conduit à + + (6) + +J'obtiens maintenant, en additionnant les deux équations (5) et (6) membre à membre, +l'expression de la circulation élémentaire du champ vectoriel sur le rectangle ABCD +perpendiculaire à : + + + + + + + +La surface élémentaire de ce rectangle ABCD élémentaire étant simplement , je peux +maintenant calculer la composante selon du vecteur rotationnel du champ vectoriel +au point M. En reprenant la définition (1), j'obtiens + + + + + +Je peux reprendre la totalité du raisonnement précédent appliqué à des rectangles +élémentaires perpendiculaires respectivement aux vecteurs et , et j'obtiendrai + + + + +