@ -56,14 +56,14 @@ L'espace-temps est l'espace quadridimensionnel où se meuvent les évènements.
La notion intuitive restreinte de notre espace trimdimensionnel se choque avec une signification plus générale du mot "espace", désignant tout ensemble continu de points sur lequel des distances entre points peuvent être déterminés et mesurées.
Afin de lever toute ambiguïté, ce concept plus général d'espace est désigné par le mot "variété".
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*GEOM-NO-EUC-4.110* : de l'espace à la variété
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*GEOM-NO-EUC-4.120* : variété
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<!--(CME-FR)-->
Une variété est ainsi défini comme un ensemble continu de points qui peuvent être individuellement repérés par un même nombre de paramètres appelées coordonnnées. Le nombre minimum de coordonnées nécessaires pour repérer de façon unique tout point de la variété est nommé dimension de la variété. Le continuité de l'ensemble des points d'une variété de dimension $`n`$ vient du fait que chaque coordonnée est un nombre réel (des coordonnées complexes peuvent aussi être imaginées), et qu'à chaque séquence ordonnée de $`n`$ nombres réels peut être associé un point unique de la variété. Les coordonnées d'un point dune variété de
dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^a`$ en précisant que $`a`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.
dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^i`$ en précisant que $`i`$ est un entier qui varie de $`1`$ à $`n`$.
!!! *Exemple* :
!!! * L'espace euclidien est une variété de dimension 3.
@ -72,8 +72,33 @@ dimension $`n`$ se notent $`(x^1,x^2, ..., x^n)`$, et de façon abrégée $`x^a`
!!! * Les espace-temps de la relativité restreinte ou de la relativité générale sont des variétés de dimension 4.
#### Invariant et géométrie
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*GEOM-NO-EUC-4.130* : Invariant et géométrie
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#### Changement de coordonnées
Un système de coordonnée est une façon de définir les $`n`$ paramètres $`x^i`$ qui permettent de repérer tout point
d'une variété de dimension $`n`$. Plusieurs systèmes peuvent être imaginés.
...
Il est toujours possible de changer de système de coordonnées pour repérer les points d'une variété.
Considérons deux systèmes de coordonnées $`x^i`$ et $`x'^i`$ d'une variété de dimension $`n`$.
Connaissant les coordonnées $'x^i`$ de tout point $`M`$, trouver les nouvelles coordonnées $`x'^i`$ du point $`M`$ necessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x'_i=f_i(x_i)`$.
Par ailleurs, si les coordonnées $`x^i`$ vérifient une certaine équation $`g(x^i)=0`$, déterminer l'équation correspondante
qui sera vérifiée par les nouvelles coordonnées $`x^i`$ nécessite de connaître les $`n`$ fonctions $`x_i=f'_i(x'_i)`$.
